Asse Cerniera verticale

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Asse Cerniera verticale

 

Article by  Gianni Frisardi

 

Introduzione

Nel capitolo precedente, 'Transverse Hinge Axis', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare concentrandoci sul piano sagittale. Abbiamo osservato come, durante i movimenti di protrusione e retrusione, la mandibola non si muova semplicemente lungo l'asse $X$, ma esegua anche una rotazione attorno al centro di rotazione dell'asse $Y$. Questo movimento condilare si riflette a livello anteriore, dove l'incisivo mandibolare si sposta con traiettorie curvilinee inverse, risultato di un moto spaziale complesso determinato dalla rototraslazione sugli assi condilari. Lo spazio angolare risultante è di fondamentale importanza per permettere alla mandibola di ruotare liberamente senza ostacoli con escursioni fluide durante il movimento masticatorio. Questo fenomeno è anche conosciuto come 'Spazio libero Interincisivo'.

Questo 'Spazio libero Interincisivo' è cruciale per le funzioni masticatorie. Tuttavia, strumenti come il Sirognatograph e i sistemi elettromagnetici tradizionali tendono a ignorare la componente rotazionale associata ai movimenti condilari, concentrandosi principalmente sulle traslazioni. Sebbene sembri sufficiente per la registrazione del movimento, tale approccio risulta incompleto, data la complessità dei movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.

Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà

Il movimento mandibolare avviene in uno spazio tridimensionale e può essere descritto da un complesso moto spaziale. Ogni condilo è associato a tre assi principali:

L'asse $Y$ (latero-mediale), attorno al quale ruota la mandibola, creando l'asse cerniera trasversale ($_{t}HA$ transverse Hinge Axis).

L'asse $Z$ (verticale), con il proprio centro di rotazione sull'asse cerniera verticale ($_{v}HA$)

L'asse $X$ (antero-posteriore), che determina la rotazione attorno all'asse cerniera orizzontale ($_{o}HA$)

In riferimento agli assi appena definiti, andiamo a introdurre tre piani di riferimento:

Nel contesto del movimento spaziale del condilo, è fondamentale comprendere la relazione tra gli assi di rotazione e i piani di riferimento anatomici.

• Piano sagittale: In questo piano possiamo visualizzare il tracciato condilare risultante dal movimento di rototraslazione dell'asse trasversale ($_{t}HA$).
• Piano coronale: Associato all'asse orizzontale ($_{o}HA$).
• Piano assiale: Riferito al movimento generato attorno all'asse verticale ($_{v}HA$, noto anche come asse cerniera verticale).

Va sottolineato che un piano non è generato da un asse: un asse, al più, può essere contenuto in un piano o rappresentare una direzione lungo la quale si possono descrivere movimenti o proiezioni. Più precisamente, l’inviluppo di un asse in movimento genera una 'superficie rigata', che descrive le traiettorie spaziali associate.

Asse cerniera verticale

Ci concentreremo sull’asse cerniera verticale ($_{v}HA$) per la sua rilevanza nei sistemi di replicazione elegnatografici, pantografica ed assiografica. Tuttavia, prima di procedere, è necessario esaminare il razionale su cui si basa la Gnatologia Classica, per comprendere come i piani e gli assi interagiscono nel descrivere i movimenti condilari.

• Il pantografo analogico è stato considerato come un dispositivo che riproduceva accuratamente i movimenti di confine dei tracciati condilari del paziente e li trasferiva su un articolatore completamente regolabile tramite le sue 6 piastrine. Successivamente, si è riportato che anche il pantografo elettronico registrava i determinanti condilari con un intervallo accettabile. ( argomento che affronteremo dettagliatamente nei prossimi capitoli)
• Gli investigatori hanno sottolineato l’influenza della corretta registrazione dei movimenti mandibolari sulla morfologia occlusale risultante dei denti posteriori, espressa negli angoli delle cuspidi e nella direzione dei solchi come effetto diretto della variazione dei determinanti condilari.
• Un determinante particolare del movimento condilare, la traslazione laterale immediata mandibolare (Movimento di Bennett) dei condili, è stato oggetto di notevole dibattito e confusione nella letteratura protesica. Tuttavia, una recente revisione sistematica della letteratura ha riportato una mancanza di prove riguardo al significato clinico o alle implicazioni di questo movimento. ( argomento che approceremo in modo più dettagliato in questo capitolo).

Come si può notare il tema si basa sostanzialmente sulla meccanica razionale, argomento non banale, in cui si integrano concetti di geometria, matematica e meccanica ed è auspicabile, quindi, capire il profondo senso concettuale del processo di replicazione dei movimenti mandibolare, per evidenziarne l'eventuale anomalia. Per fare ciò si è inizializzato il percorso analitico prendendo i lavori prestigiosi eseguiti da Lund e Gibbs riguardo la cinematica mandibolare con lo strumento datato ma ancora attuale chiamato, appunto, 'Replicator'.

In questo capitolo, si è focalizzata l'attenzione della cinematica mandibolare sul piano assiale e cioè generata dalla cinematica dell'asse verticale $_{v}HA$ e descriveremo ,perciò, il fenomeno interpretando un tracciato estratto dal lavoro di Lund e Gibs, Figura 1 in cui viene rappresentata la cinematica mandibolare marcati ogni 20 msec. ( vedi figura e popup Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo. La figura include un sistema di riferimento tridimensionale con assi cartesiani X, Y, e Z. L'asse Z è orientato verticalmente, l'asse Y rappresenta il movimento laterale (sinistra/destra) della mandibola, e l'asse X indica il movimento antero-posteriore (avanti/indietro).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.)

Figura 1: Cinematica mandibolare sul piano assiale rappresentata dai markers prelevati dallo strumento ogni 20 mSec. Questi punti rappresentano i condili laterotrusivi dal punto $L_{c}$ e mediotrusivi $M_{c}$. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati ($1L_{c}$....$8L_{c}$) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti $1M_{c}$.... $8M_{c}$seguono il condilo mediotrusivo. Nell'area del 'Molar point', 'Incisal point' e del molare controlaterale 'Mediotrusive molar point' rappresenta il percorso occlusali durante la masticazione.

Nota sulla Precisione e Sugli Obiettivi dello Studio

Questo studio si propone di fornire una comprensione concettuale dei principi cinematici coinvolti nella dinamica masticatoria, con particolare riferimento alla biomeccanica mandibolare. Sebbene i calcoli presentati siano stati svolti con rigore e utilizzando metodologie matematiche consolidate, potrebbero emergere discrepanze dovute a:

Approssimazioni nei dati numerici: Lieve differenze nei valori cartesiani utilizzati, imputabili a variabili operative o a scelte dell'operatore nell'acquisizione dei dati.

Limiti di rappresentazione: L'utilizzo di numeri approssimati per motivi pratici, soprattutto in calcoli iterativi, potrebbe introdurre variazioni infinitesimali rispetto ai valori teoricamente perfetti.

Finalità del lavoro: Lo scopo principale è descrivere e comprendere il comportamento cinematico del sistema masticatorio, piuttosto che ottenere una precisione assoluta come richiesto in un contesto di ricerca ingegneristica avanzata o in una tesi di dottorato in ingegneria meccanica.

I risultati e le analisi presentate mirano quindi a illustrare concetti e fenomeni in modo chiaro e applicabile, piuttosto che a fornire un riferimento definitivo. L'interpretazione deve essere orientata verso l'obiettivo clinico e didattico del lavoro, senza pretesa di impeccabilità formale sul piano matematico o ingegneristico.

Iniziamo, perciò, con la descrizione dell'analisi cinematica passando per alcuni cruciali step: la rappresentazione dell'immagine su Geogebra, la calibrazione attraverso scalatura delle distanze e la conversione da pixel a millimetri.

, attraverso l'uso dell'immagine riportata, il complesso processo cinematico condilare e dei punti occlusali e per prima cosa bobbiamo necessariamente calibrare la figura e convertirla in pixel.

Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri

La calibrazione di un'immagine per ottenere misurazioni accurate richiede l'attenzione a diversi fattori critici. Estrarre distanze da un'immagine può essere complesso, poiché la precisione dipende da:

1. Fattori di distorsione: Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento.
2. Effetto prospettico: La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
3. Distorsioni prospettiche: Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.

Con questa premessa, il fattore di scala utilizzato nel nostro studio rappresenta un'approssimazione valida nel contesto specifico delle immagini 2D acquisite in condizioni controllate. Tuttavia, per applicazioni più rigorose, come quelle descritte sopra, è necessario considerare strumenti e metodi avanzati per la calibrazione.

Calcolo della Distanza tra i Punti

Le coordinate dei punti sono:

$Q_{2}(525.3,-406)$ e $R_{2}(764.4,-407.1)$

La formula per la distanza euclidea è:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Sostituendo i valori:

$d={\sqrt {(764.4-525.3)^{2}+(-407.1-(-406))^{2}}}$

$d={\sqrt {(239.1)^{2}+(-1.1)^{2}}}$

$d={\sqrt {57121.81+1.21}}={\sqrt {57123.02}}\approx 239.02\,{\text{pixel}}$

Conversione della Scala in mm

Dato che sappiamo che il segmento di $239.02\,{\text{pixel}}$ equivale a $1\,{\text{cm}}=10\,{\text{mm}}$, calcoliamo la conversione in mm/pixel:

${\text{Scala in mm/pixel}}={\frac {\text{Lunghezza reale (in mm)}}{\text{Distanza in pixel}}}={\frac {10}{239.02}}\approx 0.04184\,{\text{mm/pixel}}$

Quindi, ogni pixel nella figura corrisponde a circa:

$0.04184\,{\text{mm/pixel}}$.

Esempio di Applicazione: Conversione Distanza in mm

Supponiamo di voler calcolare una distanza in mm. Ad esempio, se la distanza in pixel fosse $d=100\,{\text{pixel}}$:

$d_{\text{mm}}=100\cdot 0.04184\approx 4.184{\text{mm}}$

Risultato Finale

La scala è:

• $239.02\,{\text{pixel/cm}}$
• $0.04184{\text{mm/pixel}}$

Questi valori possono essere usati per convertire qualsiasi distanza misurata in pixel nella figura in unità metriche come millimetri o centimetri.

Cinematica dei Condili

Traslazioni e Rotazioni dei Condili

Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come rototraslazione, è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.

Per descrivere in modo accurato la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori, che rappresentano i punti nel sistema di riferimento cartesiano, variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto può essere descritto combinando spostamenti lineari e variazioni angolari, che influenzano la posizione dei vettori stessi all'interno dello spazio tridimensionale.

Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Durante il movimento, la posizione del condilo può essere descritta mediante un vettore di posizione, definito come il segmento orientato che congiunge il condilo a un’origine del sistema di riferimento cartesiano scelto.Il vettore di posizione varia nel tempo sia in modulo che in direzione, a causa della natura complessa del moto elicoidale. Questo permette di rappresentare il movimento del condilo come una combinazione di spostamenti lineari e cambiamenti di orientamento nel sistema tridimensionale.

Il vettore di posizione del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{l}(t)=[X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t),\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)]$

Dove:

• $X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$: Rappresentano gli spostamenti lineari del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
  • $X_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
  • $Y_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (lateralizzazione destra e sinistra).
  • $Z_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso)
  • $\theta _{l}(t)$, $\phi _{l}(t)$, $\psi _{l}(t)$: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi del sistema di riferimento cartesiano scelto. Queste rotazioni rappresentano il cambiamento di orientamento del condilo nello spazio, descritto utilizzando la convenzione degli angoli di Eulero. È fondamentale notare che le rotazioni non sono commutative, e quindi l'ordine in cui avvengono le rotazioni deve essere specificato per garantire una descrizione univoca.

Nel nostro caso, adottiamo la convenzione $X,Y,Z$ che descrive le rotazioni nel seguente ordine:

• $\theta _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$ (causa una torsione laterale della mandibola).

• $\phi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$ (controlla l'apertura e la chiusura della mandibola).

• $\psi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$ (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).

Questa sequenza di rotazioni consente di determinare in modo univoco l'orientamento del condilo nello spazio, evitando ambiguità derivanti dalla non-commutatività delle rotazioni angolari.

• 

  Figura 2: Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano sagittale

• 

  Figura 2: Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano sagittale

• 

  Figura 3: Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano coronale

• 

  Figura 4: Rappresentazione dei tracciati cinematici masticatori sul piano assiale

Ovviamente, la stessa procedura geometrica matematica impiegata per il condilo laterotrusivo sarà utilizzata anche per il condilo mediotrusivo ma noteremo delle caratteristiche essenziali che descrivo il fenomeno laterotrusivo dal mediotrusivo ed i corrispottivi tracciati condizionati sulle aree occlusali.

Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale $_{v}HA$ ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica

La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse $Z$ (verticale) è descritta matematicamente utilizzando una trasformazione lineare nel piano trasversale $(X,Y)$. Questa trasformazione è rappresentata dalla seguente matrice di rotazione:

$R_{\psi }={\begin{pmatrix}\cos(\psi )&-\sin(\psi )\\\sin(\psi )&\cos(\psi )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X_{L}\\Y_{L}\end{pmatrix}}$

Dove:

• $\psi$ rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale).
• $(X_{L},Y_{L})$ sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale.

Questo descrive il cambiamento di posizione del condilo laterotrusivo nel piano $(X,Y)$ dovuto alla rotazione angolare.

Il condilo mediotrusivo, invece, si muove principalmente con una traslazione nello spazio tridimensionale, lungo i piani trasversale e sagittale, generando un tragitto noto come "Tragitto orbitante". La traslazione è descritta dal seguente vettore:

$T_{M}(t)={\begin{pmatrix}X_{M}(t)\\Y_{M}(t)\\Z_{M}(t)\end{pmatrix}}$

Dove:

• $(X_{M}(t),Y_{M}(t),Z_{M}(t))$ rappresentano le coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano tridimensionale.

Questa traslazione rappresenta il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo principalmente lineare ed è per questo che non compare la matrice rotazionale ma potrebbe anche incorporare una rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale) influenzando significativamente la dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Questo tipo di rotazine aggiuntiva al fenomeno orbitante è difficile da comprendere perchè è di minima entità angolare ma vedremo, in seguito, l'influenza che ha sui tracciati occlusali.

Descrizione delle misure lineari ed angolari

Rappresentazione scalare dei tracciati condilari

Descrizione delle distanze e delle direzioni

Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1, massima intercuspidazione) considerato punto di riferimento e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi $X$ (antero-posteriore) e $Y$ (latero-mediale).

Calcolo delle distanze tra i punti

Le coordinate dei punti estrapolate da Geogebra dopo calibrazione, per il condilo laterotrusivo, sono:

1L: $(58.3,-50.9)$

2L: $(59,-92.3)$

3L: $(46.3,-169.5)$

4L: $(44.1,-207.7)$

5L: $(38.4,-136.2)$

6L: $(36.4,-48.2)$

7L: $(44,-34.9)$

8L: $(52.9,-48)$

Fattore di scala: $0.04184\,{\text{mm/pixel}}$

Distanze rispetto a $1L_{c}$

$2L_{c}$

$d={\sqrt {(59-58.3)^{2}+(-92.3-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(0.7)^{2}+(-41.4)^{2}}}={\sqrt {0.49+1714.36}}\approx 41.41\,{\text{pixel}}$

$d=41.41\cdot 0.04184\approx 1.734\,{\text{mm}}$

$3L_{c}$

$d={\sqrt {(46.3-58.3)^{2}+(-169.5-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-12)^{2}+(-118.6)^{2}}}={\sqrt {144+14063.96}}\approx 119.17\,{\text{pixel}}$

$d=119.17\cdot 0.04184\approx 4.99\,{\text{mm}}$

$4L_{c}$

$d={\sqrt {(44.1-58.3)^{2}+(-207.7-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-14.2)^{2}+(-156.8)^{2}}}={\sqrt {201.64+24589.44}}\approx 157.43\,{\text{pixel}}$

$d=157.43\cdot 0.04184\approx 6.59\,{\text{mm}}$

$5L_{c}$

$d={\sqrt {(38.4-58.3)^{2}+(-136.2-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-19.9)^{2}+(-85.3)^{2}}}={\sqrt {396.01+7275.09}}\approx 87.6\,{\text{pixel}}$

$d=87.6\cdot 0.04184\approx 3.66\,{\text{mm}}$

$6L_{c}$

$d={\sqrt {(36.4-58.3)^{2}+(-48.2-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-21.9)^{2}+(2.7)^{2}}}={\sqrt {479.61+7.29}}\approx 22.06\,{\text{pixel}}$ $d=22.06\cdot 0.04184\approx 0.923\,{\text{mm}}$

$7L_{c}$

$d={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}={\sqrt {204.49+256}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$ $d=21.47\cdot 0.04184\approx 0.898\,{\text{mm}}$

$8L_{c}$

$d={\sqrt {(52.9-58.3)^{2}+(-48-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-5.4)^{2}+(2.9)^{2}}}={\sqrt {29.16+8.41}}\approx 6.13\,{\text{pixel}}$

$d=6.13\cdot 0.04184\approx 0.257\,{\text{mm}}$

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo illustra un processo matematico per calcolare la distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda il calcolo degli angoli tra vettori che rappresentano movimenti articolari, ad esempio i condili durante i movimenti mandibolari (Figura 5 e Tabella 1).

Tabella 1
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione $Y$
Figura 5: Sovrapposizione dei marker in Geogebra nel tracciato cinematico del condilo laterotrusivo	2	1.734	Protrusiva	Parallela
	3	4.99	Protrusiva	Lateralizzazione
	4	6.59	Protrusiva	Lateralizzazione
	5	3.66	Inversione	Inversione
	6	0.923	Retrusiva	Lateralizzazione
	7*	0.898	Protrsiva	Medializzazione
	8	0.257	Protrusiva	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze tra i punti marcati ed in particolare segnaliamo che è stato considerato il punto $7L_{c}$ come punto estremo in cui il condilo inverte il moto ed inizia un percorso mediali verso la massima intercuspidazione. Questo punto, anzi, la distanza tra questo punto ed il punto $1L_{c}$ rappresenta il movimento di Bennett. Ad esempio, questa distanza è stata correttamente calcolata come circa $0.898\,_{\text{mm}}$ con una direzione calcolata come:

$\theta =131.87^{\circ }$ ed il corrispettivo $\theta ^{'}=42^{\circ }$

Per chi desidera approfondire il formalismo matematico, riportiamo il calcolo dettagliato nel popup interattivo. Calcolo dettagliato: distanza tra $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$, distanza euclidea ${\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$, convertita in mm come $21.47\times 0.04184\approx 0.898\,{\text{mm}}$, angolo $\theta =\arccos(-0.6665)\approx 131.87^{\circ }$.

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46laterotrusivo Molare Laterotrusivo

Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 6 e Tabella 2). L'analisi si basa sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli formati tra i vettori utilizzando la trigonometria vettoriale.

Tabella 2
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 6: Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator' nella masticazione sul lato destro del paziente	2	0.39	Indietro	Lateralizzazione
	3	2.18	Indietro	Lateralizzazione
	4	3.57	Indietro	Lateralizzazione
	5	5.68	Indietro	Lateralizzazione
	6	6.76	Indietro	Inversione
	7*	3.93	Indietro	Medializzazione
	8	1.15	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze e le direzioni dei punti marcati. Nello specifico, la distanza del punto $7L_{m}$ rispetto al punto iniziale $1L_{m}$ è stata calcolata come circa $3.93\,_{\text{mm}}$, con un angolo formato tra i vettori pari a $\cong 73^{\circ }$. Definizione dei vettori:${\vec {AB}}=7L_{m}-1L_{m}=(255.7,-816.0)-(345.2,-844.5)=(-89.5,28.5)$, ${\vec {AC}}=R_{p}-1L_{m}=(346.6,-727.1)-(345.2,-844.5)=(1.4,117.4)$. Magnitudine di ${\vec {AB}}$: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-89.5)^{2}+(28.5)^{2}}}\approx 93.93$, magnitudine di ${\vec {AC}}$: $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(1.4)^{2}+(117.4)^{2}}}\approx 117.41$. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.5)(1.4)+(28.5)(117.4)=2928.4$, $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}={\frac {2928.4}{93.93\cdot 117.41}}\approx 0.292$, angolo: $\theta =\arccos(0.292)\approx 73.02^{\circ }$

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Incisal

Il paragrafo descrive un'analisi matematica dei movimenti articolari dell'incisivo sul lato lavorante. Utilizzando le coordinate di tre punti nello spazio 2D $1_{I}$, $7_{I}$ e ${R_{p}}^{+}$, vengono calcolate le distanze lineari tra i punti, oltre all'angolo tra i segmenti che collegano questi punti.

Tabella 3
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 7: Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator' nella masticazione sul lato destro del paziente nell'area inccisale.	2	0.69	Retrusiva	Lateralizzazione
	3	2.30	Retrusiva	Lateralizzazione
	4	4.61	Retrusiva	Lateralizzazione
	5	7.58	Protrusivo	Lateralizzazione
	6	8.54	Retrusiva	Inversione
	7*	5.12	Retrusiva	Medializzazione
	8	1.75	Retrusiva	Medializzazione

Per quanto riguarda i tracciati nell'area dell'incisivo tra il punto $1I$ e $7I$, la distanza risulta essere di $5.12_{mm}$ con un angolo approssimativamente pari a $85.1^{\circ }$. Per approfondimenti di calcolo, vedi la spiegazione dettagliata qui  Coordinate dei punti: $1I=(631.5,-1151.8)$, $7I=(509.6,-1139.9)$, $R_{p}^{+}=(634.3,-912.8)$. Vettori: ${\vec {1I7I}}=(-121.9,11.9)$, ${\vec {1IR_{p}^{+}}}=(2.8,239)$. Norme: $|{\vec {1I7I}}|=122.49$, $|{\vec {1IR_{p}^{+}}}|=238.95$. Prodotto scalare: ${\vec {1I7I}}\cdot {\vec {1IR_{p}^{+}}}=2502.78$. Coseno: $\cos(\theta )={\frac {2502.78}{122.49\cdot 238.95}}\approx 0.0855$. Angolo: $\theta =\arccos(0.0855)\approx 85.1^{\circ }$.

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Molare mediotrusivo

Osservando il moto cinematico mandibolare a livello del molare mediotrusivo, si nota il cambiamento di direzione angolare rispetto al molare laterotrusivo ($73^{\circ }$) ed all'incisivo ($85^{\circ }$). Angolo che tende ad aumentare fino a raggiungere il massimo a livello del condilo ($180^{\circ }$). L'angolo così formato è conosciuto come angolo di svincolo mediotrusivo tra la cuspide centrale e distale del primo molare.La tabella 4 mostra le distanze tra i punti del tracciato ed il punto $1M_{m}$.

Tabella 4
Tracciato mediotrusivo molare	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 8: Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator' nella masticazione sul lato destro del paziente nell'area inccisale.	2	0.68	Retrusiva	Medializzazione
	3	2.19	Retrusiva	Medializzazione
	4	3.22	Retrusiva	Medializzazione
	5	5.79	Protrusiva	Medializzazione
	6	7.22	Protrusiva	Inversione
	7*	4.81	Retrusiva	Lateralizzazione
	8	1.18	Retrusiva	Lateralizzazione

Come per i precedenti, la distanza lineare tra il punto $1M_{m}$ ed il punto $7M_{m}$ è risultata essere $4.81_{mm}$ mentre l'angolo è stato calcolato come:$\theta =\arccos(0.0226)\approx 91.33^{\circ }$ Per approfondire la procedura matematica, vedi la spiegazione dettagliata qui Definizione vettori ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}=(818.8-910.7,-855.1-(-856.2))=(-91.9,1.1)$,${\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(912-910.7,-741.2-(-856.2))=(1.3,115)$. Prodotto scalare: ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}\cdot {\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(-91.9\cdot 1.3)+(1.1\cdot 115)=-119.47+126.5=7.03$. Norme:$|{\vec {1M_{m}7M_{m}}}|={\sqrt {(-91.9)^{2}+(1.1)^{2}}}\approx 91.92$, $|{\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}|={\sqrt {(1.3)^{2}+(115)^{2}}}\approx 115.02$. Coseno: $\cos(\theta )={\frac {7.03}{91.92\cdot 115.02}}\approx 0.000665$. Angolo: $\theta =\arccos(0.000665)\approx 90^{\circ }$.

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Condilo Mediotrusivo

Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $1M_{c}$ e $/M_{c}$, e il segmento che unisce i punti $1M_{c}$ e $R_{p}c$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Tabella 5
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione $Y$
Figura 9: Rappresentazione grafica dei markers rilevati dal 'Replicator'nella masticazione sul lato destro del paziente nell'area inccisale.	2	2.13	Protrusiva	Medializzazione
	3	6.19	Protrusiva	Medializzazione
	4	10.70	Protrusiva	Medializzazione
	5	11.09	Protrusiva	Inversione
	6	6.09	Protrusiva	Lateralizzazione
	7*	2.61	Protrusiva	Lateralizzazione
	8	0.50	Protrusiva	Lateralizzazione

Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di $6.88$mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di $14^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett. Per approfondire la procedura matematica, vedi  Calcolo sintetico: vettore ${\vec {AB}}=(-15.9,-60.4)$, vettore${\vec {AC}}=(0.2,52.5)$, prodotto scalare ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=-3172.62$, norme $|{\vec {AB}}|=62.93$, $|{\vec {AC}}|=52.50$, $\cos(\theta )={\frac {-3172.62}{62.93\cdot 52.50}}\approx -0.971$, $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$.

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Discussione sulla rototraslazione condilari

Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi.

Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "Tragitto orbitante".

Descrizione matematica

Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente:

$x_{m}=x_{m0}\cos(\theta )-y_{m0}\sin(\theta )+T_{x}$

$y_{m}=x_{m0}\sin(\theta )+y_{m0}\cos(\theta )$

Dove:

• $(x_{m0},y_{m0})$ è la posizione iniziale del molare ipsilaterale.
• $T_{x}$ rappresenta la traslazione laterale lungo l'asse $x$.
• $(x_{m},y_{m})$ rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale.

Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate $(x_{m},y_{m})$ del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. Questo fenomeno ellittico si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica.

Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa rotazione attorno all'asse verticale. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi.

È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti.

Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili.

Figura 10a: Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.

In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 10a e approfondito nel prossimo paragrafo.

Analisi Matematica della Componente Lateroretrusiva del Punto Molarare Laterotrusivo

Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.

1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare

Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).

Definiamo:

• $\mathbf {C} _{L}(t)=(x_{L}(t),y_{L}(t),z_{L}(t))$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t$.
• $\mathbf {C} _{M}(t)=(x_{M}(t),y_{M}(t),z_{M}(t))$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t$.
• $\mathbf {M} _{L}(t)=(x_{m_{L}}(t),y_{m_{L}}(t),z_{m_{L}}(t))$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t$.

2. Rotazione e Traslazione dei Condili

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il movimento del condilo laterotrusivo può essere descritto come una combinazione di rotazione (angolo laterotrusivo $\theta _{L}$) e traslazione retrusiva $d_{L}$, dove:

• $\theta _{L}(t)$ è l'angolo di rotazione laterale,
• $d_{L}$ è la componente retrusiva della traslazione del condilo laterotrusivo, dovuta al movimento del condilo mediotrusivo.

La posizione del condilo laterotrusivo può essere descritta come: $\mathbf {C} _{L}(t)=\mathbf {C} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot (x_{L},y_{L},z_{L})+\mathbf {d} _{L}$ dove $R(\theta _{L})$ è la matrice di rotazione intorno a un asse $Y$ inclinato in base all’angolo laterotrusivo $\theta _{L}$, e $\mathbf {d} _{L}=(-d_{L},0,0)$ rappresenta la componente di retrazione sul piano X.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)

Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che possiamo rappresentare con una rotazione e una traslazione. La rotazione del condilo mediotrusivo viene espressa con un angolo orbitante $\theta _{M}$, tale che: $\mathbf {C} _{M}(t)=\mathbf {C} _{M}(0)+R(\theta _{M})\cdot (x_{M},y_{M},z_{M})$ con $R(\theta _{M})$ come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva.

3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, $\mathbf {M} _{L}(t)$, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo: $\mathbf {M} _{L}(t)=\mathbf {M} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot \mathbf {M} _{L}(0)+\alpha \cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)$ dove:

• $R(\theta _{L})$ rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
• $\alpha$ e $\beta$ sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo.

4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva

Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)=\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{L},0,0)$ dove $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)$ rappresenta il tracciato effettivo lateroretrusivo dovuto all’interazione tra la retrazione del condilo lavorante e il percorso orbitale del condilo mediotrusivo.

Interpretazione

Questo formalismo evidenzia che il tracciato lateroretrusivo del punto molare laterotrusivo è determinato sia dalla **componente retrusiva** (presente nel movimento del condilo lavorante) sia dall'**influenza orbitante del condilo mediotrusivo** (che altera passivamente il percorso del molare laterotrusivo).

Considerando il formalismo matematico e la complessità dei movimenti condilari, la domanda se esista un asse cerniera verticale "puro" si rivela più complessa di quanto possa sembrare a prima vista. In effetti, l’idea di un asse cerniera verticale puro, come una linea immutabile intorno alla quale la mandibola ruota esclusivamente in senso verticale, è difficilmente compatibile con la dinamica tridimensionale e coordinata dei condili.

Analisi della Purezza dell'Asse Cerniera

La presenza di un asse cerniera puro presupporrebbe:

1. Rotazione perfettamente bilanciata dei condili, senza influenze reciproche tra loro.
2. Assenza di movimenti traslatori o orbitali che interferiscano, imponendo variazioni direzionali sul tracciato dei punti di riferimento mandibolari, come i molari e gli incisivi.

Tuttavia, come emerso dalla nostra analisi:

• Il movimento orbitale del condilo mediotrusivo influenza passivamente il condilo laterotrusivo, inducendo una componente retrusiva che modifica il tracciato del molare laterotrusivo e rende impossibile una rotazione esclusivamente verticale.
• L’interazione reciproca tra i condili crea un effetto sinergico, nel quale ciascun condilo non opera in isolamento ma è costretto a seguire un movimento composito, regolato da vincoli articolari e muscolari, che rende intrinsecamente asimmetrica la dinamica rotazionale.

Conclusione

Alla luce di queste osservazioni, la nozione di un asse cerniera verticale puro nella mandibola appare un’idealizzazione, utile in teoria per semplificare i modelli di movimento ma che raramente trova riscontro nella complessità anatomica e funzionale reale.

In termini di intelligenza sia umana che artificiale, è più appropriato parlare di un "asse di rotazione virtuale e variabile" che risulta dalla media dinamica dei movimenti condilari. Questo asse virtuale rappresenta la traiettoria funzionale più probabile intorno alla quale si organizza la rotazione mandibolare, anche se non è mai perfettamente verticale o fisso. È dunque un esempio di come il sistema mandibolare realizzi un compromesso biomeccanico che garantisce funzionalità e stabilità articolare, pur non rispettando un asse cerniera verticale "puro".

In sintesi, il concetto di asse cerniera verticale puro rimane una semplificazione utile, ma nel contesto reale della mandibola, siamo di fronte a un asse cerniera funzionale, flessibile e adattivo, modellato dalle interazioni simultanee e complesse dei condili. Questo rappresenta una perfetta sintesi della complessità della biomeccanica umana, alla quale i modelli matematici e le intelligenze artificiali possono solo avvicinarsi, ma non replicare nella sua totalità.

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Bibliography & references