Asse Cerniera verticale

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Asse Cerniera verticale

 

Article by  Gianni Frisardi

 

Introduzione

Nel capitolo precedente, 'Transverse Hinge Axis', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare, concentrandoci sul piano sagittale. Abbiamo osservato come, durante i movimenti di protrusione e retrusione, la mandibola non si muova semplicemente lungo l'asse X, ma esegua anche una rotazione sull'asse Y. Questo movimento condilare si riflette a livello anteriore, dove l'incisivo mandibolare si sposta linearmente, incorporando la rotazione generata a livello dell'asse Y condilare. Lo spazio angolare risultante è di fondamentale importanza per permettere alla mandibola di ruotare e scivolare linearmente in modo fluido durante il movimento masticatorio.

Spazio libero inter-incisivo e sistemi di registrazione:

Questo spazio angolare, che chiamiamo spazio libero interincisivo, è cruciale per le funzioni masticatorie. Tuttavia, strumenti come il Sirognatograph e i sistemi elettromagnetici tradizionali tendono a ignorare la componente angolare associata ai movimenti condilari, concentrandosi principalmente sulle traslazioni lineari. Sebbene sembri sufficiente per la registrazione del movimento, tale approccio risulta incompleto, data la complessità dei movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.

Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà

Il movimento mandibolare avviene in uno spazio tridimensionale e richiede una rappresentazione in termini di sei gradi di libertà. Ogni condilo è associato a tre assi principali:

L'asse $Y$ (latero-mediale), attorno al quale ruota la mandibola, creando l'asse cerniera trasversale ($_{t}HA$).

L'asse $Z$ (verticale), con il proprio centro di rotazione sull'asse cerniera verticale ($_{v}HA$).

L'asse $X$ (antero-posteriore), che determina la rotazione attorno all'asse cerniera orizzontale ($_{o}HA$).

Con questi tre assi si formano tre piani:

Piano sagittale, dove possiamo visualizzare il tracciato condilare generato dalla rototraslazione sull'asse trasversale ($_{t}HA$). il Piano coronale ($_{o}HA$) ed il Piano assiale generato dall'asse verticale ($Z$) che denominiamo Asse Cerniera Verticale $_{v}HA$. Ci focalizzeremo sullo $_{v}HA$ per le motivazioni imprescindibili riferibili a sistemi di replicazione patografica ed assiografica ma prima di ciò è bene capirne il razionale su cui si basa la 'Gnatologia Classica'

• Il pantografo analogico complesso è stato lodato come un dispositivo che simulava accuratamente i movimenti di confine del paziente e li trasferiva su un articolatore completamente regolabile tramite le sue 6 piastrine. Successivamente, si è riportato che anche il pantografo elettronico registrava i determinanti condilari con un intervallo accettabile. ( argomento che affronteremo dettagliatamente nei prossimi capitoli)
• Gli investigatori hanno sottolineato l’influenza della corretta registrazione dei movimenti mandibolari sulla morfologia occlusale risultante dei denti posteriori, espressa negli angoli delle cuspidi e nella direzione dei solchi come effetto diretto della variazione dei determinanti condilari.
• Un determinante particolare del movimento condilare, la traslazione laterale immediata mandibolare (IMLT) dei condili, è stato oggetto di notevole dibattito e confusione nella letteratura protesica. Tuttavia, una recente revisione sistematica della letteratura ha riportato una mancanza di prove riguardo al significato clinico o alle implicazioni di questo movimento. ( argomento che discuteremo in questo capitolo)

Come si può notare il tema si basa sostanzialmente sulla meccanica razionale, argomento non banale, in cui si integrano concetti di geometria, matematica e meccanica ed è auspicabile, quindi, capire il profondo senso concettuale del processo di replicazione dei movimenti mandibolare e per evidenziarne l'eventuale anomalia. Per fare ciò è bene rappresentare l'argomento, non banale, con una rappresentazione il più vicino possibile alla tridimensionalità del fenomeno dinamico riprendendo i lavori prestigiosi eseguiti da Lund e Gibbs riguardo alla cinematica mandibolare con lo strumento datato ma ancora attiale chiamato, appunto, 'Replicator'. Focalizzando in questo capitolo la dinamica mandibolare sul piano assiale e cioè generata dalla cinematica dell'asse verticale $_{v}HA$ descriveremo il fenomeno simulando il processo da un tracciato estratto dal lavoro di Lund e Gibs, Figura 1 in cui viene rappresentata la cinematica mandibolare con i punti spaziali rilevati sincronicamente dallo strumento. ( vedi figura e popup Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo. La figura include un sistema di riferimento tridimensionale con assi cartesiani X, Y, e Z. L'asse Z è orientato verticalmente, l'asse Y rappresenta il movimento laterale (sinistra/destra) della mandibola, e l'asse X indica il movimento antero-posteriore (avanti/indietro).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.)

Figura 1: Cinematica mandibolare sul piano assiale#Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo (Questi punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo (Il Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo) e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo (L'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo). La figura include un sistema di riferimento tridimensionale con assi cartesiani X, Y, e Z. L'asse Z è orientato verticalmente, l'asse Y rappresenta il movimento laterale (sinistra/destra) della mandibola, e l'asse X indica il movimento antero-posteriore (avanti/indietro).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.

Per poter descrivere attraverso l'uso dell'immagine riportata la complesso processo cinematico condilare e dei punti occlusali è necessario calibrare la figura e convertirla a pixel.

Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri

Per l'analisi dei movimenti mandibolari, è stato utilizzato un modello grafico derivato da uno studio di bioingegneria meccanica, in cui i movimenti dei condili e degli incisivi sono stati registrati. Per garantire l'accuratezza delle misurazioni, l'immagine è stata calibrata convertendo i valori da pixel a millimetri utilizzando una scala di riferimento presente nell'immagine. La conversione avviene con il seguente fattore di conversione:

${\text{Fattore di conversione}}={\frac {10\,{\text{mm}}}{100.0032\,{\text{pixel}}}}\approx 0.1\,{\text{mm/pixel}}$

Misurazione della Distanza tra i Punti

Per ogni coppia di punti sull'immagine, la distanza è calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea. Ad esempio, la distanza tra il punto 1L e 2L (coordinate: (59.0, -92.3) e (58.3, -50.9)) è:

${\text{Distanza}}={\sqrt {(59.0-58.3)^{2}+(-92.3+50.9)^{2}}}\approx 41.42\,{\text{pixel}}=4.14\,{\text{mm}}$

A questo punto possiamo inziare in primis a rivedere alcuni concetti essenziali di geometria con formalismo matematico per comprendere meglio ciò che poi a volte non si esplicita nella routine clinica.

Cinematica dei Condili

Traslazioni e Rotazioni Lineari dei Condili Spiegazione del Movimento: In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.Esempio di Movimento *Il condilo laterotrusivo non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi $x$, $y$ e $z$, influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.Conclusione Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le posizioni, velocità e accelerazioni dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.

Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come rototraslazione, è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.

Per descrivere in modo preciso la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori rappresentano le coordinate sia di spostamento lineare che di rotazione angolare dei condili nel sistema di riferimento cartesiano.

Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (lavorante)

Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Questo condilo si sposta e ruota in modo complesso. Il vettore di posizione del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{l}(t)=[X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t),\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)]$

Dove:

• $X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$: Rappresentano gli spostamenti lineari del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
  • $X_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
  • $Y_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra).
  • $Z_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso).
• $\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)$: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi:
  • $\theta _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$ (causa una torsione laterale della mandibola).
  • $\phi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$ (controlla l'apertura e chiusura della mandibola).
  • $\psi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$ (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).

Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)

Questo condilo si trova sul lato opposto rispetto al condilo lavorante e si sposta principalmente medialmente e anteriormente durante il movimento laterale della mandibola conosciuto nel gergo gnatologico come 'Condilo orbitante' ma contestualmente non meno complesso del lavorante. Il vettore di posizione del condilo mediotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{m}(t)=[X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t),\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)]$

Dove:

• $X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t)$: Sono gli spostamenti lineari del condilo mediotrusivo:
  • $X_{m}(t)$: Spostamento antero-posteriore.
  • $Y_{m}(t)$: Spostamento latero-mediale.
  • $Z_{m}(t)$: Spostamento verticale.

• $\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)$: Descrivono le rotazioni angolari attorno ai tre assi:
  • $\theta _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$.
  • $\phi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$.
  • $\psi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$.

Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale $_{v}HA$ ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica

Rotazione del Condilo Laterotrusivo

La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse $Z$ (verticale) può essere descritta dalla seguente procedura matematica:

$R_{\psi }(X_{L},Y_{L})={\begin{pmatrix}\cos(\psi )-\sin(\psi )\sin(\psi )\cos(\psi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{L}Y_{L}\end{pmatrix}}$

meglio comprensibile in forma matriciale

$R_{\psi }(X_{L},Y_{L})={\begin{pmatrix}\cos(\psi )&-\sin(\psi )\\\sin(\psi )&\cos(\psi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{L}\\Y_{L}\end{pmatrix}}$

Dove $\psi$ rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale), e $(X_{L},Y_{L})$ sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale $(X,Y)$

Traslazione del Condilo Mediotrusivo

Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione lungo il piano trasversale e sagittale come abbiamo detto conosciuto come tragitto orbitante. Il vettore di traslazione è descritto come:

$T_{M}(t)={\begin{pmatrix}X_{M}(t)\\Y_{M}(t)\\Z_{M}(t)\end{pmatrix}}$

Questa traslazione descrive il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo, il quale influisce significativamente sulla dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Si tenga conto che anche il condilo mediotrusivo, nel proprio tragitto mediale e anteriore, incorpora una rotazione attorno all'asse Z (asse verticale). Da qui possiamo passare all'analisi delle posizioni spaziali dei punti descrivendone lo spostamento lineare ed angolare sia dei condili laterotrusivo e mediotrusivo che del molare ed incisivo.

Descrizione delle misure lineari ed angolari

Rappresentazione scalare dei tracciati condilari

Descrizione delle distanze e delle direzioni

Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1) considerato il unto di riferimento essendo la mandibola in una posizione di Massima Intercuspidazione e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi $X$ (antero-posteriore) e $Y$ (latero-mediale).

Punti da confrontare rispetto a 1L

Punto 2L

Coordinate: (59.0, -92.3) Calcolo della distanza 'd'rispetto a 1L: $d={\sqrt {(59.0-58.3)^{2}+(-92.3+50.9)^{2}}}={\sqrt {0.49+1714.56}}\approx {\sqrt {1715.05}}\approx 41.42\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri:  $41.42\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=4.14\,{\text{mm}}$

Punto 3L

Coordinate: (46.3, -169.5) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

$d={\sqrt {(46.3-58.3)^{2}+(-169.5+50.9)^{2}}}={\sqrt {144.0+14065.96}}\approx {\sqrt {14209.96}}\approx 119.2\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri:  $119.2\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=11.92\,{\text{mm}}$

Punto 4L

Coordinate: (44.1, -207.7) Calcolo della distanza rispetto a 1L: $d={\sqrt {(44.1-58.3)^{2}+(-207.7+50.9)^{2}}}={\sqrt {201.64+24596.84}}\approx {\sqrt {24798.48}}\approx 157.5\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $157.5\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=15.75\,{\text{mm}}$

Punto 5L

Coordinate: (38.4, -136.2) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

$d={\sqrt {(38.4-58.3)^{2}+(-136.2+50.9)^{2}}}={\sqrt {396.01+7276.09}}\approx {\sqrt {7672.1}}\approx 87.6\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $87.6\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=8.76\,{\text{mm}}$

Punto 6L

Coordinate: (36.4, -48.2) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

$d={\sqrt {(36.4-58.3)^{2}+(-48.2+50.9)^{2}}}={\sqrt {479.61+7.29}}\approx {\sqrt {486.9}}\approx 22.1\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $22.1\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=2.21\,{\text{mm}}$

Punto 7L

Coordinate: (44.0, -34.9)

Calcolo della distanza rispetto a 1L:

$d={\sqrt {(44.0-58.3)^{2}+(-34.9+50.9)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}\approx {\sqrt {460.49}}\approx 21.5\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $21.5\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=2.15\,{\text{mm}}$

Punto 8L

Coordinate: (52.9, -48.0)

Calcolo della distanza rispetto a 1L:

$d={\sqrt {(52.9-58.3)^{2}+(-48.0+50.9)^{2}}}={\sqrt {29.16+8.41}}\approx {\sqrt {37.57}}\approx 6.13\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $6.13\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=0.61\,{\text{mm}}$

e così via per gli altri lati. L'obiettivo dell'analisi è determinare l'angolo tra due movimenti all'interno di un sistema articolare, in particolare nell'area di studio della cinematica masticatoria. La comprensione di questi angoli ci consente di: Valutare la dinamica mandibolare: Calcolare gli angoli tra i segmenti mandibolari può fornire informazioni essenziali su come la mandibola si sposta durante il movimento, aiutando a descrivere i pattern del movimento articolare. Modellare la biomeccanica del sistema masticatorio: Gli angoli tra i punti permettono di costruire modelli accurati che simulano il comportamento meccanico del sistema mandibolare, utilizzabili in applicazioni cliniche per diagnosi e trattamenti. Confrontare con angoli standard: Gli angoli misurati possono essere confrontati con valori normali o patologici per identificare eventuali alterazioni nei movimenti mandibolari che potrebbero indicare disturbi dell'articolazione temporomandibolare (ATM). Questo calcolo è fondamentale per fornire una descrizione matematica precisa della cinetica mandibolare e per migliorare la modellazione biomeccanica di strutture orofacciali, cruciali per la diagnosi e l'intervento clinico.

A questo punto non ci resto altro da fare che rappresentare e simulare la posizione spaziale dei punti dinamici marcati dalla figura, quantificandone lo spostamento lineare ed angolare.

Distanze e Direzioni

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolarela distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola. ( Figura 2 e tabella 1)

Figura 2: Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio

Tabella 1
Punto	Distanza (mm)	Direzione (X - antero-posteriore)	Direzione (Y - latero-mediale)
2	4.14	Avanti	Mediale
3	11.92	Avanti	Mediale
4	15.75	Avanti	Mediale
5	8.76	Avanti	Mediale
6	2.21	Indietro	Laterale
7*	2.15	Indietro	Laterale
8	0.61	Indietro	Laterale
Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del condilo laterotrusivo

Osservando la tabella la distanza tra il punto 1 e il punto 7 è correttamente circa 2.15 mm. Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$. La formula per la distanza euclidea tra due punti $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ è:${\text{distanza}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$Sostituendo i valori:${\text{distanza}}={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9+50.9)^{2}}}$${\text{distanza}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46\,{\text{pixel}}$A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione (che supponiamo essere 0.1 mm/pixel, come indicato nel modello):${\text{distanza in mm}}=21.46\times 0.1=2.146\,{\text{mm}}$ # Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$. La formula per la distanza euclidea tra due punti $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ è:${\text{distanza}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$Sostituendo i valori:${\text{distanza}}={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9+50.9)^{2}}}$${\text{distanza}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46\,{\text{pixel}}$A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione (che supponiamo essere 0.1 mm/pixel, come indicato nel modello):${\text{distanza in mm}}=21.46\times 0.1=2.146\,{\text{mm}}$

Calcolo dell'angolo tra i punti 1, 7 e la linea tratteggiata

Per calcolare l'angolo tra il punto 1, il punto 7 e la linea tratteggiata che interseca il punto 1, dobbiamo utilizzare la trigonometria.

• Punti e coordinate coinvolte
  • Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano
  • Coordinate $P1_{L}$ del punto 1 del condilo laterotrusivo: $(58.3,-50.9)$
  • Coordinate $P7_{L}$ del punto 7 del condilo laterotrusivo: $(44,-34.9)$
  • Coordinate $R$ del punto di riferimento del condilo laterotrusivo: $(60.7,158.7)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $P7_{L}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $R$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Iter matematico per il calcolo dell'angolo

L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale** e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.

1. Definizione dei vettori

Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:

• Il vettore tra il punto 1_L e il punto 7_L:

${\vec {AB}}=P7_{L}-P1_{L}=(44,-34.9)-(58.3,-50.9)=(-14.3,16.0)$

• Il vettore tra il punto 1_L e il punto H₃:

${\vec {AC}}=R-P1_{L}=(60.7,158.7)-(58.3,-50.9)=(2.4,209.6)$

2. Prodotto scalare

Il **prodotto scalare** tra due vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$

Sostituendo i valori calcolati:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-14.3)\cdot (2.4)+(16.0)\cdot (209.6)=-34.32+3353.6=3319.28$

3. Calcolo delle norme

Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:

$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46$

$|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(2.4)^{2}+(209.6)^{2}}}={\sqrt {5.76+43944.16}}={\sqrt {43949.92}}\approx 209.68$

4. Calcolo dell'angolo

Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$

Sostituendo i valori:

$\cos(\theta )={\frac {3319.28}{21.46\cdot 209.68}}={\frac {3319.28}{4498.77}}\approx 0.738$

Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arcoseno:

$\theta =\arccos(0.738)\approx 42.44^{\circ }$

Con lo stesso procedimento calcoliamo le distanze e l'angolo per il molare laterotrusivo, l'incisivo, il molare mediotrusivo ed il condilo mediotrusivo per verificarne l'andamento spaziale.

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Conclusione sul Condilo Laterotrusivo

L'analisi cinematica del condilo laterotrusivo evidenzia come il suo tracciato articolare sia il risultato di una complessa combinazione di movimenti rotatori e traslatori, orientati non solo in direzione laterale ma anche in direzione retrusiva. Questo comportamento tridimensionale, che si discosta da una pura rotazione laterale, si manifesta attraverso un tracciato che comprende componenti antero-posteriore e latero-mediale, influenzate dall'interazione con il condilo mediotrusivo. Il movimento laterotrusivo del condilo lavorante è fondamentale per l’equilibrio funzionale mandibolare, poiché determina la traiettoria e la stabilità dei contatti occlusali durante il ciclo masticatorio.

Attraverso l’applicazione del calcolo vettoriale, in particolare il prodotto scalare e il calcolo degli angoli tra vettori, siamo riusciti a quantificare l’orientamento e la distanza relativa tra i punti articolari chiave del condilo laterotrusivo, rappresentati nella Tabella 1 e Figura 2. Il calcolo dell’angolo tra i vettori del movimento articolare permette di comprendere come la traiettoria segua un percorso specifico di adattamento, probabilmente influenzato da microvariazioni nella morfologia articolare e dall’interazione con i tessuti circostanti. Questo schema articolare riflette le caratteristiche fisiologiche del movimento mandibolare, rendendo evidente come il condilo laterotrusivo si adatti alle richieste funzionali durante le fasi dinamiche della masticazione.

Da un punto di vista clinico, la comprensione approfondita della cinematica condilare laterotrusiva offre un potenziale diagnostico significativo per la valutazione delle disfunzioni temporomandibolari (TMD) e delle asimmetrie mandibolari. La capacità di modellare e interpretare con precisione le variazioni angolari e spaziali del condilo laterotrusivo consente di identificare eventuali irregolarità nel pattern di movimento mandibolare, che possono essere indicative di tensioni muscolari anomale o patologie articolari. Inoltre, l’analisi quantitativa dei movimenti condilari può supportare la pianificazione di terapie ortodontiche e di dispositivi intraorali che mirino a riequilibrare le forze articolari, contribuendo a ridurre il rischio di sovraccarico e usura dei tessuti articolari.

In sintesi, la valutazione cinematica del condilo laterotrusivo fornisce informazioni critiche non solo per il miglioramento della comprensione biomeccanica dell’articolazione temporomandibolare, ma anche per lo sviluppo di approcci terapeutici più mirati. L'integrazione di dati cinematografici e di calcoli angolari e distanze permette di costruire un quadro diagnostico e terapeutico più completo e personalizzato, offrendo al paziente una maggiore precisione nelle strategie di trattamento delle disfunzioni temporomandibolari.

Molare laterotrusivo

Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 3 e tabella 2)e coinvolge vari punti nello spazio 2D per calcolare distanze e angoli utilizzando la trigonometria vettoriale.

Figura 3: Rappresentazione delle distanze tra punti nel molare ipsilaterale alla laterotrusione

Tabella 2
Point	Distance (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione in Y (latero-mediale)
2	0.874 mm	Indietro	Laterale
3	5.442 mm	Indietro	Laterale
4	8.464 mm	Indietro	Laterale
5	13.448 mm	Indietro	Laterale
6	16.059 mm	Indietro	Laterale
7*	9.199 mm	Indietro	Laterale
8	2.77 mm	Indietro	Laterale
Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del molare laterotrusivo

Il formalismo matematico è lo stesso di quello precedentemente descritto e inserito nella nota informativa  Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano: Coordinate $P1_{m}$ del punto 1 del molare ipsilaterale al condilo latorotrusivo:$(345.2,-844.5)$ *Coordinate $P7_{m}$ del punto 7 del molare ipsilaterale al condilo latorotrusivo: $(255.7,-816)$ *Coordinate $R_{p}$ del punto di riferimento del condilo mediotrusivo: $(347.7,-682.7)$ Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{m}$ e $P7_{m}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{m}$ e $R_{p}$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.Iter matematico per il calcolo dell'angolo L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale** e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio. Definizione dei vettori *Il vettore tra il punto $P1_{m}$ e il punto $P7_{m}$: ${\vec {AB}}=P7_{m}-P1_{m}=(255.7,-816)-(345.2,-844.5)=(-89.5,28.5)$ *Il vettore tra il punto $P1_{m}$ e il punto $H3_{m}$: ${\vec {AC}}={\vec {R_{p}}}-{\vec {P_{1}}}=(347.7,-682.7)-(345.2,-844.5)=(2.5,161.8)$ Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Prodotto scalareSostituendo i valori calcolati: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.5)\cdot (2.5)+(28.5)\cdot (161.8)=-223.75+4601.3=4377.55$ Il **prodotto scalare** tra due vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$Calcolo delle norme $|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-89.5)^{2}+(28.5)^{2}}}={\sqrt {8010.25+812.25}}={\sqrt {8822.5}}\approx 93.96$ $|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(2.5)^{2}+(161.8)^{2}}}={\sqrt {6.25+26178.44}}={\sqrt {26184.69}}\approx 161.78$. Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore Calcolo dell'angolo$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$ Sostituendo i valori: $\cos(\theta )={\frac {4377.55}{93.96\cdot 161.78}}={\frac {4377.55}{15193.68}}\approx 0.288$ Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arcoseno: $\theta =\arccos(0.288)\approx 73.32^{\circ }$ Motivo dell'analisi L'obiettivo dell'analisi è determinare l'angolo tra due movimenti all'interno di un sistema articolare, in particolare nell'area di studio della cinematica masticatoria. ed il risultato lineare ed angolare è di $9.1$ mm rispetto al punto $7^{*}$ ed il coseno dell'angolo è stato calcolato come $0.288$ , con l'angolo risultante approssimativamente pari a $73.32^{\circ }$.

Conclusione della cinematica del molare laterotrusivo

L'analisi del movimento articolare del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo fornisce una comprensione dettagliata delle dinamiche masticatorie laterali, con particolare attenzione agli spostamenti lineari e angolari che avvengono durante il movimento laterotrusivo. Utilizzando la trigonometria vettoriale e il prodotto scalare, è stato possibile calcolare la distanza e l'angolo tra i punti di riferimento selezionati, ottenendo risultati significativi che descrivono la traiettoria e l'orientamento del molare in relazione alla struttura condilare.

In termini di spostamento lineare, il molare laterotrusivo mostra una distanza di circa $9.1$ mm rispetto al punto di massima intercuspidazione, rappresentato dal punto $7^{*}$. Questo movimento retrattivo e laterale riflette le forze e i vincoli strutturali imposti dalla morfologia condilare e dall'interazione con il condilo mediotrusivo, che influenzano la traiettoria del molare durante la funzione masticatoria.

Dal punto di vista angolare, il coseno dell'angolo calcolato tra i segmenti definiti è stato di $0.288$, che corrisponde a un angolo di $73.32^{\circ }$. Questo valore angolare offre informazioni fondamentali sulla direzione del movimento laterale e sul grado di deviazione del molare rispetto all'asse laterale di riferimento. Un angolo di questa entità indica una significativa deviazione laterale, suggerendo un elevato grado di libertà del molare durante il movimento, condizionato dalla tensione muscolare e dalla geometria articolare.

L'approccio matematico adottato permette non solo di quantificare lo spostamento, ma anche di inferire la qualità del movimento articolare, supportando così valutazioni cliniche che possono guidare sia diagnosi di anomalie masticatorie che interventi di riabilitazione mirati. In sintesi, i dati emersi da questa analisi costituiscono un'importante base di riferimento per comprendere i meccanismi biomeccanici sottostanti ai movimenti mandibolari e per migliorare la precisione dei trattamenti nell'ambito della riabilitazione masticatoria e della gestione dei disturbi temporomandibolari.

Incisal

Il paragrafo caricato descrive un'analisi matematica dei movimenti articolari dell'incisivo sul lato lavorante. Utilizzando le coordinate di tre punti nello spazio 2D (P1, P7 e H₃), vengono calcolate le distanze lineari tra i punti, oltre all'angolo tra i segmenti che collegano questi punti.

Figura

Punto	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione in Y (latero-mediale)
2	2.34	Indietro	Laterale
3	4.57	Indietro	Laterale
4	10.96	Indietro	Laterale
5	20.28	Indietro	Laterale
6	21.80	Indietro	Laterale
7*	13.84	Indietro	Laterale
8	2.64	Indietro	Laterale

Anche in questo casoabbiamo tre punti nello spazio 2D di interesse di coordinate  $P1_{i}$ del punto 1 dell'incisivo sul lato lavorante: $(631.5,-1151.8)$, Coordinate $P7_{i}$ del punto 7 dell'incisivo sul lato lavorante: $(509.6,-1139.9)$, Coordinate $H3_{i}$ del punto di riferimento dell'incisivo sul lato lavorante: $(634.2,-921)$. Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando. L'obiettivo è calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{i}$ e $P7_{i}$ e il segmento che unisce i punti $P1_{i}$ e $R_{p}$. Questo metodo è utile per determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio per cui come precedentemente si descrive il calcolo dei vettori  Il vettore tra il punto $P1_{i}$ e il punto $P7_{i}$: ${\vec {AB}}=P7_{i}-P1_{i}=(509.6,-1139.9)-(631.5,-1151.8)=(-121.9,11.9)$, Il vettore tra il punto 1_Lm e il punto H₃: ${\vec {AC}}=H3_{i}-P1_{i}=(634.2,-921)-(631.5,-1151.8)=(2.7,230.8)$. Prodotto scalare: Il prodotto scalare tra i vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$, e sostituendo i valori calcolati: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-121.9)\cdot (2.7)+(11.9)\cdot (230.8)=-329.13+2746.52=2417.39$. Calcolo delle norme: Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-121.9)^{2}+(11.9)^{2}}}={\sqrt {15004.02}}\approx 122.48$ e $|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {53275.93}}\approx 230.85$ e della norma Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-121.9)^{2}+(11.9)^{2}}}={\sqrt {14862.41+141.61}}={\sqrt {15004.02}}\approx 122.48$$|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(2.7)^{2}+(230.8)^{2}}}={\sqrt {7.29+53268.64}}={\sqrt {53275.93}}\approx 230.85$ per giungere alla definizione del coseno dell'angolo tra i due vettori

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$ da cui si ottiene il $\cos(\theta )={\frac {2417.39}{28252.53}}\approx 0.0856$

Infine, l'angolo \theta è calcolato tramite la funzione arcoseno:

$\theta =\arccos(0.0856)\approx 85.09^{\circ }$

Conclusione della cinematica incisale

L'analisi articolare dell'incisivo sul lato lavorante rivela dettagli significativi sulla dinamica e l'interazione tra i punti di riferimento durante il movimento mandibolare laterale. Utilizzando una combinazione di trigonometria vettoriale e prodotto scalare, è stato possibile quantificare con precisione sia la distanza lineare che l'angolo tra i segmenti che collegano i punti selezionati dell'incisivo, offrendo una visione approfondita del comportamento biomeccanico di quest'area.

In termini di spostamento lineare, l'incisivo lavorante mostra variazioni di distanza che riflettono la direzione e l'entità del movimento laterale e retrattivo e precisamenti di $13.84$ mm. Questi spostamenti, riportati nella tabella come valori in pixel e in millimetri, evidenziano una traiettoria complessa che è influenzata da fattori anatomici e dalle connessioni condilari, che guidano l'orientamento e l'ampiezza del movimento incisale durante la masticazione.

Dal punto di vista angolare, l'angolo tra i segmenti definiti risulta di circa$85.09^{\circ }$. Questo valore rappresenta un'importante indicazione del grado di deviazione del movimento incisale rispetto all'asse laterale di riferimento. Un angolo di questa entità suggerisce un'ampia mobilità laterale dell'incisivo, tipica del movimento mandibolare laterotrusivo. Tale inclinazione riflette non solo la funzione masticatoria, ma anche la necessità di adattamento dei muscoli e dei tessuti circostanti per mantenere stabilità e precisione durante la funzione.

In conclusione, l'approccio matematico utilizzato per analizzare i movimenti dell'incisivo sul lato lavorante offre un quadro dettagliato delle dinamiche masticatorie. Questa analisi non solo contribuisce alla comprensione della biomeccanica mandibolare, ma fornisce anche una base di riferimento per applicazioni cliniche, come la diagnosi di disturbi temporomandibolari e la pianificazione di trattamenti riabilitativi. La conoscenza precisa degli angoli e delle distanze coinvolti in questo tipo di movimento può infatti supportare una valutazione accurata delle condizioni articolari e muscolari, migliorando l'efficacia degli interventi terapeutici.

Molare controlaterale

Distanza dei punti in millimetri e direzioni

Punto	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione in Y (latero-mediale)
2	1.11	Avanti	Laterale
3	3.89	Avanti	Laterale
4	7.76	Avanti	Laterale
5	13.75	Avanti	Laterale
6	15.71	Indietro	Laterale
7*	8.99	Indietro	Laterale
8	2.43	Indietro	Laterale

Come per i precedenti abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano e cioè il punto $P1_{mm}$ ( punto 1 del molare mediotrusivo), il $P7_{mm}$ ( punto 7 del molare mediotrusivo) e del punto di riferimento $R_{p}$

• Coordinate $P1_{mm}$ $(907.1,-852.5)$
• Coordinate $P7_{mm}$ $(817.2,-853.5)$
• Coordinate $R_{p}$ $(908.8,-711.5)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema masticatorio che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{mm}$ e $P7_{mm}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{mm}$e $R_{p}$ Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. Lo stesso formalismo matematico dei precedente con ovvimanete, dati diversi si definiranno i vettori Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:*Il vettore tra ilpunto $P1_{mm}$ e il punto $P7_{mm}$:${\vec {AB}}=P7_{mm}-P1_{mm}=(817.2,-853.5)-(907.1,-852.5)=(-89.9,-1.0)$ *Il vettore tra il punto $P1_{mm}$ e ilpunto $R_{p}$: ${\vec {AC}}=R_{p}-P1_{mm}=(908.8,-711.5)-(907.1,-852.5)=(1.7,141.0)$ il prodotto scalare  Il **prodotto scalare** tra due vettori \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\) è dato dalla formula: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$. Sostituendo i valori calcolati: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.9)\cdot (1.7)+(-1.0)\cdot (141.0)=-152.83+(-141)=-293.83$ l calcolo della norma Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-89.9)^{2}+(-1.0)^{2}}}={\sqrt {8082.01+1.0}}={\sqrt {8083.01}}\approx 89.88$$|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(1.7)^{2}+(141.0)^{2}}}={\sqrt {2.89+19881.0}}={\sqrt {19883.89}}\approx 141.02$ e l'angolo  Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$Sostituendo i valori:$\cos(\theta )={\frac {-293.83}{89.88\cdot 141.02}}={\frac {-293.83}{12676.82}}\approx -0.0232$.

Infine,la distanza lineare tra il punto 1 ed il punto 7* è risultata essere $8.99$ mm e l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arcoseno:

$\theta =\arccos(-0.0232)\approx 91.33^{\circ }$

Conclusione della cinematica del molare mediotrusivo

L'analisi del movimento articolare del molare controlaterale, sul lato mediotrusivo, rivela informazioni importanti sulla dinamica e sull'adattamento del molare durante i movimenti masticatori laterali. Calcolando le distanze e gli angoli tra punti chiave con l'uso della trigonometria vettoriale, è possibile ottenere una rappresentazione dettagliata del comportamento biomeccanico e della stabilità del molare controlaterale in relazione al movimento mandibolare.

Le distanze lineari tra i punti, riportate in millimetri, evidenziano una complessa sequenza di spostamenti in direzione antero-posteriore e latero-mediale. In particolare, il movimento del molare è influenzato dalla posizione e dalla traiettoria del condilo controlaterale, con transizioni tra avanzamenti e arretramenti che riflettono il percorso anatomico e le influenze muscolari che guidano il movimento.

Dal punto di vista angolare, il calcolo dell'angolo di circa 91.33° indica un movimento quasi perpendicolare rispetto ai segmenti di riferimento, suggerendo che il molare controlaterale mantiene una posizione relativamente stabile rispetto all'asse antero-posteriore durante il movimento mediotrusivo. Un angolo così vicino ai 90° può essere indicativo di un bilanciamento tra le forze che agiscono sul molare, assicurando la necessaria stabilità laterale e contribuendo alla funzione masticatoria in modo ottimale.

Questa analisi matematica del molare controlaterale fornisce un quadro chiaro delle dinamiche masticatorie che influenzano questo punto specifico. L'applicazione del prodotto scalare e del calcolo vettoriale per determinare angoli e distanze supporta una comprensione più profonda delle interazioni articolari, essenziale per identificare eventuali disfunzioni e per guidare i trattamenti di riabilitazione. I risultati di questa analisi non solo contribuiscono alla diagnosi e alla gestione dei disturbi temporomandibolari, ma possono anche migliorare la pianificazione terapeutica nei casi in cui è richiesta una stabilizzazione o una correzione della funzione masticatoria.

Condilo Mediotrusivo

Descrizione focalizzata dell'analisi matematica dei punti

• Punti e coordinate coinvolte
  • Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano:
  • Coordinate $P1_{M}$ del punto 1 del condilo mediotrusivo: $(1164.1,-64.2)$
  • Coordinate $P7_{M}$ del punto 7 del condilo mediotrusivo: $(1148.2,-124.6)$
  • Coordinate $R_{p}$ del punto di riferimento del condilo mediotrusivo: $(1165,11.4)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $P7_{M}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $R_{p}$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Punto	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione in Y (latero-mediale)
2	5.09	Protrusiva	Mediale
3	14.81	Protrusiva	Mediale
4	25.58	Protrusiva	Mediale
5	26.54	Protrusiva	Mediale
6	14.57	Protrusiva	Mediale
7*	6.25	Protrusiva	Mediale
8	1.19	Protrusiva	Mediale

Iter matematico per il calcolo dell'angolo

L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la trigonometria vettoriale  Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto $P7_{M}$: ${\vec {AB}}=P7_{M}-P1_{M}=(1148.2,-124.6)-(1164.1,-64.2)=(-15.9,-60.4)$. Il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto di riferimento $R_{p}$: ${\vec {AC}}=R_{p}-P1_{M}=(1165,11.4)-(1164.1,-64.2)=(0.9,75.6)$.Questo metodo ci permette di rappresentare le relazioni angolari tra movimenti distinti nello spazio. ed il prodotto scalare  Il prodotto scalare tra due vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$. Sostituendo i valori calcolati: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-15.9)\cdot (0.9)+(-60.4)\cdot (75.6)=-14.31-4566.24=-4580.55$.Una volta eseguiti i passaggi trigonometrici e il prodotto scalare, si passa al calcolo della lunghezza del vettore: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-15.9)^{2}+(-60.4)^{2}}}={\sqrt {252.81+3648.16}}={\sqrt {3900.97}}\approx 62.45$.

Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori  $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$. Sostituendo i valori: $\cos(\theta )={\frac {-4580.55}{62.45\cdot 75.58}}={\frac {-4580.55}{4717.25}}\approx -0.971$<nowiki>.

L'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arccoseno:

$\theta =\arccos(-0.971)\approx 166.43^{\circ }$.

Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di $13.57^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett.

Conclusione della Cinematica Condilare Mediortusiva

Nel sistema masticatorio, il condilo mediotrusivo segue una traiettoria complessa che contribuisce all'equilibrio dinamico durante i movimenti mandibolari laterali. I punti analizzati $P1_{M}$, $P7_{M}$ e il punto di riferimento $R_{p}$ rappresentano posizioni articolari chiave lungo il tragitto del condilo mediotrusivo. Studiare questi punti permette di calcolare l'angolo tra due segmenti definiti, essenziali per comprendere i vettori di forza e l'orientamento della mandibola in movimento. In sintesi, l’angolo calcolato tra i punti analizzati del condilo mediotrusivo non solo rappresenta un parametro meccanico, ma funge da indicatore di stabilità e simmetria del sistema masticatorio. Le variazioni angolari rispetto al valore fisiologico suggeriscono l’esistenza di forze anomale o alterazioni che possono influenzare la cinematica mandibolare e potenzialmente contribuire a patologie articolari, offrendo un potenziale punto di osservazione per diagnosi più accurate e interventi clinici mirati.

Discussioni e conclusioni

Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.

Coordinate dei Condili e del Punto Molarare

Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).

Definiamo:

• $\mathbf {C} _{L}(t)=(0,10,0)$: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {C} _{M}(t)=(0,-10,0)$: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo $t=0$.
• $\mathbf {M} _{L}(t)=(5,5,-5)$: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo $t=0$.

Rotazione e Traslazione dei Condili

Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:

• **Rotazione laterale** con angolo $\theta _{L}$ rispetto all’asse verticale $Z$.
• **Traslazione retrusiva** lungo l'asse $X$, rappresentata da $d_{L}$.

La posizione del condilo laterotrusivo è quindi:

$\mathbf {C} _{L}(t)=\mathbf {C} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot (0,10,0)+\mathbf {d} _{L}$

dove $R(\theta _{L})$ è la matrice di rotazione intorno all’asse $Z$ (ora considerato correttamente come verticale), e $\mathbf {d} _{L}=(-d_{L},0,0)$ rappresenta la traslazione retrusiva.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)

Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo $\theta _{M}$:

$\mathbf {C} _{M}(t)=\mathbf {C} _{M}(0)+R(\theta _{M})\cdot (0,-10,0)$

con $R(\theta _{M})$ come matrice di rotazione intorno all’asse $Z$.

Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo

Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:

$\mathbf {M} _{L}(t)=\mathbf {M} _{L}(0)+R(\theta _{L})\cdot \mathbf {M} _{L}(0)+\alpha \cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $R(\theta _{L})$ rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
• $\alpha$ e $\beta$ sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.

Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva

Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:

$\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)=\beta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{L},0,-5)$

dove $\mathbf {M} _{L,{\text{ret}}}(t)$ rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.

Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:

1. I condili sono ora allineati lungo l'asse $Y$.

2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse $Z$, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.

Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.

Tracciato del Punto Incisale

Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.

Definiamo il punto incisale come:

$\mathbf {I} (t)=(x_{I}(t),y_{I}(t),z_{I}(t))$

La posizione $\mathbf {I} (t)$ è data da:

$\mathbf {I} (t)=\mathbf {I} (0)+\gamma \cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\delta \cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$ dove:

• $\gamma$ e $\delta$ sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale $Z$.

Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo

Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo ($\mathbf {M} _{M}$) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:

$\mathbf {M} _{M}(t)=(x_{m_{M}}(t),y_{m_{M}}(t),z_{m_{M}}(t))$

Il tracciato di $\mathbf {M} _{M}(t)$ può essere modellato come:

$\mathbf {M} _{M}(t)=\mathbf {M} _{M}(0)+\beta '\cdot R(\theta _{L})\cdot \mathbf {C} _{L}(t)+\alpha '\cdot R(\theta _{M})\cdot \mathbf {C} _{M}(t)$

dove:

• $\beta '$ e $\alpha '$ sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
• $R(\theta _{L})$ e $R(\theta _{M})$ descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse $Z$.

Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive

Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.

Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale

$\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)=\delta \cdot \mathbf {C} _{M}(t)+(-d_{I},0,-5)$

dove $\mathbf {I} _{\text{ret}}(t)$ rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse $Z$.

Cnclusioni

Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z

Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale $Z$ è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.

Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale $Z$ come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.

Questo fenomeno rivela che l’asse verticale $Z$ non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse $Z$ come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.

Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:

1. L'asse $Z$ sarebbe trattato come un 'punto fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.

2. Le equazioni del movimento dovrebbero essere semplificate, assumendo che $R(\theta _{L})$ rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro fisso su $Z$, senza interazioni orbitali.

Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.

A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:

«Asse Cerniera Verticale fisso o dinamico? Questo è il problema»
(..la faccenda invece è drammaticamente semplice nella sua complessità perchè dipende da come si osserva l'evento e cioè come punto oppure come sfera. Questo sarà il motivo del prossimo capitolo che riguarderà lo ' La magia della sfera condilare')

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Bibliography & references

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