Asse Cerniera verticale

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Asse Cerniera verticale

 

Article by  Gianni Frisardi

 

Introduzione

Nel capitolo precedente, 'Transverse Hinge Axis', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare, concentrandoci sul piano sagittale. Abbiamo osservato come, durante i movimenti di protrusione e retrusione, la mandibola non si muova semplicemente lungo l'asse X, ma esegua anche una rotazione attorno all'asse Y. Questo movimento condilare si riflette a livello anteriore, dove l'incisivo mandibolare si sposta con traiettorie curvilinee , risultato di un moto spaziale complesso determinato dalla rototraslazione sugli assi condilari. Lo spazio angolare risultante è di fondamentale importanza per permettere alla mandibola di ruotare e scivolare linearmente in modo fluido durante il movimento masticatorio.

Spazio libero inter-incisivo e sistemi di registrazione:

Questo spazio angolare, che chiamiamo spazio libero interincisivo, è cruciale per le funzioni masticatorie. Tuttavia, strumenti come il Sirognatograph e i sistemi elettromagnetici tradizionali tendono a ignorare la componente rotazionale associata ai movimenti condilari, concentrandosi principalmente sulle traslazioni. Sebbene sembri sufficiente per la registrazione del movimento, tale approccio risulta incompleto, data la complessità dei movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.

Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà

Il movimento mandibolare avviene in uno spazio tridimensionale e può essere descritto da un complesso moto spaziale . Ogni condilo è associato a tre assi principali:

L'asse $Y$ (latero-mediale), attorno al quale ruota la mandibola, creando l'asse cerniera trasversale ($_{t}HA$ transverse Hinge Axis).

L'asse $Z$ (verticale), con il proprio centro di rotazione sull'asse cerniera verticale ($_{v}HA$).

L'asse $X$ (antero-posteriore), che determina la rotazione attorno all'asse cerniera orizzontale ($_{o}HA$).

In riferimento agli assi appena definiti, andiamo a introdurre tre piani di riferimento:

Nel contesto del movimento spaziale del condilo, è fondamentale comprendere la relazione tra gli assi di rotazione e i piani di riferimento anatomici.

• Piano sagittale: In questo piano possiamo visualizzare il tracciato condilare risultante dal movimento di rototraslazione dell'asse trasversale ($tHA$).
• Piano coronale: Associato all'asse orizzontale ($oHA$).
• Piano assiale: Riferito al movimento generato attorno all'asse verticale ($vHA$, noto anche come asse cerniera verticale).

Va sottolineato che un piano non è generato da un asse: un asse, al più, può essere contenuto in un piano o rappresentare una direzione lungo la quale si possono descrivere movimenti o proiezioni. Più precisamente, l’inviluppo di un asse in movimento genera una superficie rigata, che descrive le traiettorie spaziali associate.

Ci concentreremo sull’asse cerniera verticale ($vHA$) per la sua rilevanza nei sistemi di replicazione patografica ed assiografica. Tuttavia, prima di procedere, è necessario esaminare il razionale su cui si basa la Gnatologia Classica, per comprendere come i piani e gli assi interagiscono nel descrivere i movimenti condilari.

• Il pantografo analogico complesso è stato lodato come un dispositivo che riproduceva accuratamente i movimenti di confine del paziente e li trasferiva su un articolatore completamente regolabile tramite le sue 6 piastrine. Successivamente, si è riportato che anche il pantografo elettronico registrava i determinanti condilari con un intervallo accettabile. ( argomento che affronteremo dettagliatamente nei prossimi capitoli)
• Gli investigatori hanno sottolineato l’influenza della corretta registrazione dei movimenti mandibolari sulla morfologia occlusale risultante dei denti posteriori, espressa negli angoli delle cuspidi e nella direzione dei solchi come effetto diretto della variazione dei determinanti condilari.
• Un determinante particolare del movimento condilare, la traslazione laterale immediata mandibolare (IMLT) dei condili, è stato oggetto di notevole dibattito e confusione nella letteratura protesica. Tuttavia, una recente revisione sistematica della letteratura ha riportato una mancanza di prove riguardo al significato clinico o alle implicazioni di questo movimento. ( argomento che discuteremo in questo capitolo)

Come si può notare il tema si basa sostanzialmente sulla meccanica razionale, argomento non banale, in cui si integrano concetti di geometria, matematica e meccanica ed è auspicabile, quindi, capire il profondo senso concettuale del processo di replicazione dei movimenti mandibolare e per evidenziarne l'eventuale anomalia. Per fare ciò è bene rappresentare l'argomento, non banale, con una rappresentazione il più vicino possibile alla tridimensionalità del fenomeno cinematicoriprendendo i lavori prestigiosi eseguiti da Lund e Gibbs riguardo alla cinematica mandibolare con lo strumento datato ma ancora attuale chiamato, appunto, 'Replicator'. Focalizzando in questo capitolo la cinematicamandibolare sul piano assiale e cioè generata dalla cinematica dell'asse verticale $_{v}HA$ descriveremo il fenomeno interpretando un tracciato estratto dal lavoro di Lund e Gibs, Figura 1 in cui viene rappresentata la cinematica mandibolare con i punti spaziali rilevati sincronicamente dallo strumento. ( vedi figura e popup Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo. La figura include un sistema di riferimento tridimensionale con assi cartesiani X, Y, e Z. L'asse Z è orientato verticalmente, l'asse Y rappresenta il movimento laterale (sinistra/destra) della mandibola, e l'asse X indica il movimento antero-posteriore (avanti/indietro).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.)

Figura 1: Cinematica mandibolare sul piano assiale. Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo (Questi punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo (Il Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta la traiettoria dei tracciati dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo) e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo (L'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.

Nota sulla Precisione e Sugli Obiettivi dello Studio

Questo studio si propone di fornire una comprensione concettuale dei principi cinematici coinvolti nella dinamica masticatoria, con particolare riferimento alla biomeccanica mandibolare. Sebbene i calcoli presentati siano stati svolti con rigore e utilizzando metodologie matematiche consolidate, potrebbero emergere discrepanze dovute a:

Approssimazioni nei dati numerici: Lieve differenze nei valori cartesiani utilizzati, imputabili a variabili operative o a scelte dell'operatore nell'acquisizione dei dati.

Limiti di rappresentazione: L'utilizzo di numeri approssimati per motivi pratici, soprattutto in calcoli iterativi, potrebbe introdurre variazioni infinitesimali rispetto ai valori teoricamente perfetti.

Finalità del lavoro: Lo scopo principale è descrivere e comprendere il comportamento cinematico del sistema masticatorio, piuttosto che ottenere una precisione assoluta come richiesto in un contesto di ricerca ingegneristica avanzata o in una tesi di dottorato in ingegneria meccanica.

I risultati e le analisi presentate mirano quindi a illustrare concetti e fenomeni in modo chiaro e applicabile, piuttosto che a fornire un riferimento definitivo. L'interpretazione deve essere orientata verso l'obiettivo clinico e didattico del lavoro, senza pretesa di impeccabilità formale sul piano matematico o ingegneristico.

Iniziamo, perciò, con il descrivere, attraverso l'uso dell'immagine riportata, il complesso processo cinematico condilare e dei punti occlusali e per prima cosa bobbiamo necessariamente calibrare la figura e convertirla in pixel.

Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri

La calibrazione di un'immagine per ottenere misurazioni accurate richiede l'attenzione a diversi fattori critici. Estrarre distanze da un'immagine può essere complesso, poiché la precisione dipende da:

1. Fattori di distorsione: Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento.
2. Effetto prospettico: La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
3. Distorsioni prospettiche: Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.

Con questa premessa, il fattore di scala utilizzato nel nostro studio rappresenta un'approssimazione valida nel contesto specifico delle immagini 2D acquisite in condizioni controllate. Tuttavia, per applicazioni più rigorose, come quelle descritte sopra, è necessario considerare strumenti e metodi avanzati per la calibrazione.

Calcolo della Distanza tra i Punti

Le coordinate dei punti sono:

$Q_{2}(525.3,-406)$ $R_{2}(764.4,-407.1)$

La formula per la distanza euclidea è:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Sostituendo i valori:

$d={\sqrt {(764.4-525.3)^{2}+(-407.1-(-406))^{2}}}$ $d={\sqrt {(239.1)^{2}+(-1.1)^{2}}}$ $d={\sqrt {57121.81+1.21}}={\sqrt {57123.02}}\approx 239.02\,{\text{pixel}}$

Conversione della Scala in mm

Dato che sappiamo che il segmento di $239.02\,{\text{pixel}}$ equivale a $1\,{\text{cm}}=10\,{\text{mm}}$, calcoliamo la conversione in mm/pixel:

${\text{Scala in mm/pixel}}={\frac {\text{Lunghezza reale (in mm)}}{\text{Distanza in pixel}}}={\frac {10}{239.02}}\approx 0.04184\,{\text{mm/pixel}}$

Quindi, ogni pixel nella figura corrisponde a circa:

$0.04184\,{\text{mm/pixel}}$.

Esempio di Applicazione: Conversione Distanza in mm

Supponiamo di voler calcolare una distanza in mm. Ad esempio, se la distanza in pixel fosse $d=100\,{\text{pixel}}$:

$d_{\text{mm}}=100\cdot 0.04184\approx 4.184{\text{mm}}$

Risultato Finale

La scala è:

• $239.02\,{\text{pixel/cm}}$
• $0.04184{\text{mm/pixel}}$

Questi valori possono essere usati per convertire qualsiasi distanza misurata in pixel nella figura in unità metriche come millimetri o centimetri.

Cinematica dei Condili

Traslazioni e Rotazioni dei Condili Spiegazione del Movimento: In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.Esempio di Movimento *Il condilo laterotrusivo non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi $x$, $y$ e $z$, influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.Conclusione Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le posizioni, velocità e accelerazioni dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.

Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come rototraslazione, è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.

Per descrivere in modo accurato la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori, che rappresentano i punti nel sistema di riferimento cartesiano, variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto può essere descritto combinando spostamenti lineari e variazioni angolari, che influenzano la posizione dei vettori stessi all'interno dello spazio tridimensionale.

Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Durante il movimento, la posizione del condilo può essere descritta mediante un vettore di posizione, definito come il segmento orientato che congiunge il condilo a un’origine del sistema di riferimento cartesiano scelto.Il vettore di posizione varia nel tempo sia in modulo che in direzione, a causa della natura complessa del moto elicoidale. Questo permette di rappresentare il movimento del condilo come una combinazione di spostamenti lineari e cambiamenti di orientamento nel sistema tridimensionale.

Il vettore di posizione del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{l}(t)=[X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t),\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)]$

Dove:

• $X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$: Rappresentano gli spostamenti lineari del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
  • $X_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
  • $Y_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra).
  • $Z_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso)
  • $\theta _{l}(t)$, $\phi _{l}(t)$, $\psi _{l}(t)$: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi del sistema di riferimento cartesiano scelto. Queste rotazioni rappresentano il cambiamento di orientamento del condilo nello spazio, descritto utilizzando la convenzione degli angoli di Eulero. È fondamentale notare che le rotazioni non sono commutative, e quindi l'ordine in cui avvengono le rotazioni deve essere specificato per garantire una descrizione univoca.

Nel nostro caso, adottiamo la convenzione $X,Y,Z$ che descrive le rotazioni nel seguente ordine:

• $\theta _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$ (causa una torsione laterale della mandibola).

• $\phi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$ (controlla l'apertura e la chiusura della mandibola).

• $\psi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$ (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).

Questa sequenza di rotazioni consente di determinare in modo univoco l'orientamento del condilo nello spazio, evitando ambiguità derivanti dalla non-commutatività delle rotazioni angolari.

---

Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)

Questo condilo si trova sul lato opposto rispetto al condilo lavorante e si sposta principalmente medialmente e anteriormente durante il movimento laterale della mandibola conosciuto nel gergo gnatologico come 'Condilo orbitante' ma contestualmente non meno complesso del lavorante. Il vettore di posizione del condilo mediotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{m}(t)=[X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t),\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)]$

Dove:

• $X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t)$: Sono gli spostamenti lineari del condilo mediotrusivo:
  • $X_{m}(t)$: Spostamento antero-posteriore.
  • $Y_{m}(t)$: Spostamento latero-mediale.
  • $Z_{m}(t)$: Spostamento verticale.

• $\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)$: Descrivono le rotazioni angolari attorno ai tre assi:
  • $\theta _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$.
  • $\phi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$.
  • $\psi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$.

Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale $_{v}HA$ ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica

Rotazione del Condilo Laterotrusivo

La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse $Z$ (verticale) è descritta matematicamente utilizzando una trasformazione lineare nel piano trasversale $(X,Y)$. Questa trasformazione è rappresentata dalla seguente matrice di rotazione:

$R_{\psi }={\begin{pmatrix}\cos(\psi )&-\sin(\psi )\\\sin(\psi )&\cos(\psi )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X_{L}\\Y_{L}\end{pmatrix}}$

Dove:

• $\psi$ rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale).
• $(X_{L},Y_{L})$ sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale.

Questo descrive il cambiamento di posizione del condilo laterotrusivo nel piano $(X,Y)$ dovuto alla rotazione angolare.

Traslazione del Condilo Mediotrusivo

Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione nello spazio tridimensionale, lungo i piani trasversale e sagittale, generando un tragitto noto come "tragitto orbitante". La traslazione è descritta dal seguente vettore:

$T_{M}(t)={\begin{pmatrix}X_{M}(t)\\Y_{M}(t)\\Z_{M}(t)\end{pmatrix}}$

Dove:

• $(X_{M}(t),Y_{M}(t),Z_{M}(t))$ rappresentano le coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano tridimensionale.

Questa traslazione rappresenta il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo. Inoltre, il condilo mediotrusivo può anche incorporare una rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale), influenzando significativamente la dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Da qui possiamo procedere con l'analisi combinata degli spostamenti lineari e angolari, descrivendo in modo completo il moto sia dei condili (laterotrusivo e mediotrusivo) che dei punti di riferimento principali come molare e incisivo.

Descrizione delle misure lineari ed angolari

Rappresentazione scalare dei tracciati condilari

Descrizione delle distanze e delle direzioni

Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1) considerato il unto di riferimento essendo la mandibola in una posizione di Massima Intercuspidazione e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi $X$ (antero-posteriore) e $Y$ (latero-mediale).

Calcolo delle distanze tra i punti

Coordinate dei punti:

1L: $(58.3,-50.9)$

2L: $(59,-92.3)$

3L: $(46.3,-169.5)$

4L: $(44.1,-207.7)$

5L: $(38.4,-136.2)$

6L: $(36.4,-48.2)$

7L: $(44,-34.9)$

8L: $(52.9,-48)$

Fattore di scala: $0.04184\,{\text{mm/pixel}}$

Distanze rispetto a 1L:**

2L:

$d={\sqrt {(59-58.3)^{2}+(-92.3-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(0.7)^{2}+(-41.4)^{2}}}={\sqrt {0.49+1714.36}}\approx 41.41\,{\text{pixel}}$ $d=41.41\cdot 0.04184\approx 1.734\,{\text{mm}}$

3L:

$d={\sqrt {(46.3-58.3)^{2}+(-169.5-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-12)^{2}+(-118.6)^{2}}}={\sqrt {144+14063.96}}\approx 119.17\,{\text{pixel}}$ $d=119.17\cdot 0.04184\approx 4.99\,{\text{mm}}$

4L:

$d={\sqrt {(44.1-58.3)^{2}+(-207.7-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-14.2)^{2}+(-156.8)^{2}}}={\sqrt {201.64+24589.44}}\approx 157.43\,{\text{pixel}}$ $d=157.43\cdot 0.04184\approx 6.59\,{\text{mm}}$

5L:

$d={\sqrt {(38.4-58.3)^{2}+(-136.2-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-19.9)^{2}+(-85.3)^{2}}}={\sqrt {396.01+7275.09}}\approx 87.6\,{\text{pixel}}$ $d=87.6\cdot 0.04184\approx 3.66\,{\text{mm}}$

6L:

$d={\sqrt {(36.4-58.3)^{2}+(-48.2-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-21.9)^{2}+(2.7)^{2}}}={\sqrt {479.61+7.29}}\approx 22.06\,{\text{pixel}}$ $d=22.06\cdot 0.04184\approx 0.923\,{\text{mm}}$

7L:

$d={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}={\sqrt {204.49+256}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$ $d=21.47\cdot 0.04184\approx 0.898\,{\text{mm}}$

8L:

$d={\sqrt {(52.9-58.3)^{2}+(-48-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-5.4)^{2}+(2.9)^{2}}}={\sqrt {29.16+8.41}}\approx 6.13\,{\text{pixel}}$

$d=6.13\cdot 0.04184\approx 0.257\,{\text{mm}}$

Tabella riepilogativa

Distanze rispetto a 1L
Punto	Distanza (pixel)	Distanza (mm)
2L	$41.41$	$1.734$
3L	$119.17$	$4.99$
4L	$157.43$	$6.59$
5L	$87.6$	$3.66$
6L	$22.06$	$0.923$
7L	$21.47$	$0.898$
8L	$6.13$	$0.257$

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo illustra un processo matematico per calcolare la distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda il calcolo degli angoli tra vettori che rappresentano movimenti articolari, ad esempio i condili durante i movimenti mandibolari (Figura 2 e Tabella 1).

**Tabella 1: Distanze e direzioni**
**Tracciato masticatorio**	**Markers**	**Distanza (mm)**	**Direzione (X - antero-posteriore)**	**Direzione dinamica (Y - latero-mediale)**
	2	1.74	Nessuno	Lateralizzazione
	3	5.19	Avanti	Lateralizzazione
	4	6.96	Avanti	Lateralizzazione
	5	3.90	Indietro	Medializzazione
	6	0.99	Indietro	Medializzazione
	7*	1.32	Indietro	Medializzazione
	8	0.44	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze tra i punti marcati. Ad esempio, la distanza tra il punto $1_{L}$ e il punto $7_{L}$ è stata correttamente calcolata come circa $1.32_{\text{mm}}$ con una direzione calcolata come:

$\theta =42^{\circ }$

Per chi desidera approfondire il formalismo matematico, riportiamo il calcolo dettagliato nel popup interattivo.  Calcolo dettagliato della distanza e dell'angolo: dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$. La formula per la distanza euclidea è ${\text{distanza}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$. Sostituendo i valori: ${\text{distanza}}={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9-(-50.9))^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}={\sqrt {204.49+256}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$. A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza per il fattore di scala: ${\text{distanza in mm}}=21.47\times 0.0418\approx 1.32\,{\text{mm}}$. Ora calcoliamo l'angolo $\theta$ utilizzando la formula per il coseno: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$. Considerando i vettori e i calcoli, otteniamo $\cos(\theta )=0.789\implies \theta =42^{\circ }\,({\text{arrotondato}})$.

Molare Laterotrusivo

Il testo descrive un'analisi dettagliata dei movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo (Figura 3 e Tabella 2). L'analisi si basa sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli formati tra i vettori utilizzando la trigonometria vettoriale.

Tabella 2
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione dinamica (Y - latero-mediale)
	2	0.86	Indietro	Lateralizzazione
	3	5.47	Indietro	Lateralizzazione
	4	8.48	Indietro	Lateralizzazione
	5	13.52	Indietro	Lateralizzazione
	6	16.43	Indietro	Inversione
	7*	9.05	Indietro	Medializzazione
	8	2.72	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze e le direzioni dei punti marcati. Nello specifico, la distanza del punto $7^{*}$ rispetto al punto iniziale è stata calcolata come circa $9.05\,{\text{mm}}$, con un angolo formato tra i vettori pari a $\cong 73^{\circ }$.

 ==Iter matematico per il calcolo dell'angolo==: Il vettore tra il punto $P1_{m}$ e il punto $P7_{m}$:${\vec {AB}}=P7_{m}-P1_{m}=(147.2,-380.7)-(185.2,-392.7)=(-38.0,12.0)$* Il vettore tra il punto $P1_{m}$ e il punto di riferimento $R_{p}$: ${\vec {AC}}=R_{p}-P1_{m}=(185.6,-308.9)-(185.2,-392.7)=(0.4,83.8)$. Calcolo del coseno dell'angolo:$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$ Sostituendo i valori:$\cos(\theta )={\frac {990.4}{39.87\cdot 83.80}}\approx 0.2964$Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arccoseno:$\theta =\arccos(0.2964)\approx 72.80^{\circ }$.

Incisal

Il paragrafo caricato descrive un'analisi matematica dei movimenti articolari dell'incisivo sul lato lavorante. Utilizzando le coordinate di tre punti nello spazio 2D $P_{1}$, $P_{7}$ e ${R_{p}}^{+}$, vengono calcolate le distanze lineari tra i punti, oltre all'angolo tra i segmenti che collegano questi punti.

Tabella 3
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione dinamica (Y-latero-mediale)
Figura 3:	2	0.69	Indietro	Lateralizzazione
	3	2.30	Indietro	Lateralizzazione
	4	4.62	Indietro	Lateralizzazione
	5	8.46	Avanti	Lateralizzazione
	6	8.46	Indietro	Inversione
	7*	5.12	Indietro	Medializzazione
	8	2.57	Indietro	Medializzazione

Per quanto riguarda i tracciati nell'area dell'incisivo tra il punto $P_{1}$ e $P_{7}$, la distanza risulta essere di 5.12 mm con un angolo approssimativamente pari a $85.1^{\circ }$. Per approfondimenti di calcolo, vedi la spiegazione dettagliata qui sotto.

 Coordinate dei punti (considerate con scala 0.0418 mm/pixel): $P_{1}=(26.40,-48.15)$ mm, $P_{7}=(21.30,-47.65)$ mm, ${R_{p}}^{+}=(25.92,-47.67)$ mm. Vettori: ${\vec {P_{1}P_{7}}}=(-5.10,0.50)$, ${\vec {P_{1}R_{p}^{+}}}=(-0.48,0.48)$. Prodotto scalare: ${\vec {P_{1}P_{7}}}\cdot {\vec {P_{1}R_{p}^{+}}}=2.688$. Norme dei vettori: $|{\vec {P_{1}P_{7}}}|=5.11$, $|{\vec {P_{1}R_{p}^{+}}}|=0.68$. Coseno dell'angolo: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {P_{1}P_{7}}}\cdot {\vec {P_{1}R_{p}^{+}}}}{|{\vec {P_{1}P_{7}}}|\cdot |{\vec {P_{1}R_{p}^{+}}}|}}=0.0878$. Angolo: $\theta =\arccos(0.0878)=85.1^{\circ }$.

Molare controlaterale

Osservando il moto cinematico mandibolare a livello del molare mediotrusivo, si nota come cambia sia la direzione (angolo rispetto all'asse perpendicolare che interseca il punto 1 del condilo mediotrusivo) sia la medializzazione nel ritorno allo stato iniziale, che corrisponde sostanzialmente allo svincolo mediotrusivo tra la cuspide centrale e distale del primo molare.

**Tabella 4**
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione dinamica (Y - latero-mediale)
Figura 4:	2	3.84	Avanti	Medializzazione
	3	6.02	Avanti	Medializzazione
	4	8.77	Avanti	Medializzazione
	5	10.65	Avanti	Medializzazione
	6	6.77	Indietro	Inversione
	7*	3.84	Indietro	Lateralizzazione
	8	2.95	Indietro	Lateralizzazione

Come per i precedenti, la distanza lineare tra il punto $P1_{M_{m}}$ ed il punto $P7_{M_{m}}$ è risultata essere 3.84 mm, mentre tra $P1_{M_{m}}$ e $P6_{M_{m}}$ è 6.77 mm. L'angolo è stato calcolato come:

$\theta =\arccos(0.0226)\approx 91.33^{\circ }$

Per approfondire la procedura matematica, vedi la spiegazione dettagliata qui sotto.

 I tre punti nello spazio 2D sono $P1_{M_{m}}$ (punto 1 del molare mediotrusivo), $P7_{M_{m}}$ (punto 7 del molare mediotrusivo) e $R_{p}^{+}$ (punto di riferimento), con coordinate $P1_{M_{m}}=(910.7,-856.2)$, $P7_{M_{m}}=(818.8,-855.1)$, $R_{p}^{+}=(912.3,-722.8)$. Il vettore tra $P1_{M_{m}}$ e $P7_{M_{m}}$ è ${\vec {AB}}=P7_{M_{m}}-P1_{M_{m}}=(818.8,-855.1)-(910.7,-856.2)=(-91.9,1.1)$. Il vettore tra $P1_{M_{m}}$ e $R_{p}^{+}$ è ${\vec {AC}}=R_{p}^{+}-P1_{M_{m}}=(912.3,-722.8)-(910.7,-856.2)=(1.6,133.4)$. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-91.9)\cdot (1.6)+(1.1)\cdot (133.4)=-147.04+146.74=-0.3$. Norme: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-91.9)^{2}+(1.1)^{2}}}={\sqrt {8445.61+1.21}}={\sqrt {8446.82}}\approx 91.93$, $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(1.6)^{2}+(133.4)^{2}}}={\sqrt {2.56+17800.36}}={\sqrt {17802.92}}\approx 133.43$. Coseno: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}={\frac {-0.3}{91.93\cdot 133.43}}={\frac {-0.3}{12260.76}}\approx -0.00002$. Infine, l'angolo è: $\theta =\arccos(-0.00002)\approx 90^{\circ }$. Distanza lineare tra $P1_{M_{m}}$ e $P7_{M_{m}}$: $d=|{\vec {AB}}|={\sqrt {8446.82}}\cdot 0.0418\approx 3.84\,{\text{mm}}$. Distanza lineare tra $P1_{M_{m}}$ e $P6_{M_{m}}$: $d={\sqrt {26248.13}}\cdot 0.0418\approx 6.77\,{\text{mm}}$.

Condilo Mediotrusivo

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $P7_{M}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $R_{p}$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

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Condilo Mediotrusivo

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $P7_{M}$, e il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $R_{p}$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Tabella 5
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione (Y-latero-mediale)
Figura 5:	2	5.09	Protrusiva	Medializzazione
	3	14.81	Protrusiva	Medializzazione
	4	25.58	Protrusiva	Medializzazione
	5	26.54	Protrusiva	Inversione
	6	14.57	Protrusiva	Lateralizzazione
	7*	6.25	Protrusiva	Lateralizzazione
	8	1.19	Protrusiva	Lateralizzazione

Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo abbiamo una distanza dal punto di partenza di 6.25 mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di $13.57^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett. Per approfondire la procedura matematica vedi  L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la trigonometria vettoriale. Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto $P7_{M}$: ${\vec {AB}}=P7_{M}-P1_{M}=(522.5,-87)-(530.6,-61.8)=(-8.1,-25.2)$. Il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto di riferimento $R_{p}$: ${\vec {AC}}=R_{p}-P1_{M}=(530.8,-9.3)-(530.6,-61.8)=(0.2,52.5)$. Il prodotto scalare tra i vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$. Sostituendo i valori calcolati: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-8.1)\cdot (0.2)+(-25.2)\cdot (52.5)=-1.62-1323.0=-1324.62$. Le norme dei vettori sono: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-8.1)^{2}+(-25.2)^{2}}}={\sqrt {65.61+635.04}}={\sqrt {700.65}}\approx 26.47$ e $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(0.2)^{2}+(52.5)^{2}}}={\sqrt {0.04+2756.25}}={\sqrt {2756.29}}\approx 52.50$. Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$. Sostituendo i valori: $\cos(\theta )={\frac {-1324.62}{26.47\cdot 52.50}}={\frac {-1324.62}{1388.68}}\approx -0.971$. L'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arccoseno: $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166.43^{\circ }$. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di $13.57^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett.

Conclusioni del paragrafo

Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi.

Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "tragitto orbitante".

Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente.

Supponiamo che il condilo laterotrusivo ruoti di un angolo $\theta$ attorno all'asse verticale e si sposti lateralmente di una quantità $T_{x}$. La posizione del molare ipsilaterale dopo questo movimento sarà data da:

$x_{m}=x_{m0}\cos(\theta )-y_{m0}\sin(\theta )+T_{x}y_{m}=x_{m0}\sin(\theta )+y_{m0}\cos(\theta )$

Dove $(x_{m0},y_{m0})$ è la posizione iniziale del molare ipsilaterale. Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate $(x_{m},y_{m})$ del molare descriveranno una traiettoria ellittica invece che circolare.

Questo fenomeno si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica.

Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa rotazione attorno all'asse verticale. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi.

È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti.

Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili.

In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per rendere più esaustivo il concetto si è generata una conica passante per 5 punti presi in modo strategico nella figura 1, come approfondiremo nel prossimo paragrafo.

Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per rappresentare in modo più dettagliato e formale la forma ellittica dei tracciati dei denti dovuti al moto rototraslazionale dei condili, possiamo sovrapporre una conica (ellisse) a più punti. Questo ci permetterà di evidenziare il contributo dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché delle distanze occlusali da essi, nella generazione di tali tracciati pseudoellittici.

Consideriamo ad esempio il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione. Supponiamo di avere le coordinate di 5 punti distinti su questo tracciato: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$.

L'equazione generale di un'ellisse centrata nell'origine è data da:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Dove $a$ e $b$ sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse.

Per determinare i valori di $a$ e $b$ che meglio approssimano i 5 punti dati, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati. L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti dall'ellisse.

Definiamo la funzione di costo:

$J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Minimizzando $J(a,b)$ rispetto a $a$ e $b$, otteniamo le stime ottimali dei semiassi $a$ e $b$ che approssimano al meglio i punti dati.

Questa ellisse ottimizzata rappresenterà il tracciato pseudoellittico del molare ipsilaterale, influenzato dai movimenti rototraslazionali dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché dalle distanze occlusali da essi.

I semiassi $a$ e $b$ dell'ellisse saranno determinati dai pesi relativi dei contributi dei condili e delle distanze occlusali. Ad esempio, un valore di $a$ maggiore potrebbe indicare un'influenza più significativa del condilo laterotrusivo, mentre un valore di $b$ più piccolo potrebbe suggerire un'influenza minore del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo approccio può essere applicato anche ai tracciati degli incisivi e dei molari controlaterali, sovrapponendo ellissi ottimizzate ai rispettivi punti per ottenere una rappresentazione formale dei loro tracciati pseudoellittici.

In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi.

Conclusione Integrata: Il Peso dei Condili e il Ruolo dei Tracciati Occlusali

L’analisi delle traiettorie mandibolari evidenzia una complessa interazione tra movimenti lineari e angolari. Questi movimenti, rilevati nei punti chiave della mandibola, riflettono l'equilibrio tra stabilità e adattabilità dinamica durante la funzione masticatoria. La combinazione dei pesi lineari e angolari offre una visione integrata del contributo relativo di ogni punto articolare, fornendo una base interpretativa robusta per il bilanciamento occlusale.

Tabella Riassuntiva dei Pesi

**Contributo Lineare e Angolare ai Tracciati Occlusali**

Area Analizzata	Distanza (mm)	Angolo Calcolato (°)	Reciproco (°)	Peso Lineare (%)	Peso Angolare (%)	Peso Combinato (%)
Condilo Laterotrusivo	3.16	33.57	146.43	7.8	16.7	12.3
Molare Laterotrusivo	9.10	72.80	107.20	22.4	12.2	17.3
Incisivo	13.84	82.00	98.00	34.1	11.2	22.7
Molare Mediotrusivo	8.99	91.33	88.67	22.1	10.1	16.1
Condilo Mediotrusivo	6.25	166.00	14.00	15.4	49.8	32.6

Metodo di Calcolo dei Pesi

Il peso combinato tiene conto di due parametri fondamentali:

1. Peso Lineare: Determinato dalla distanza percorsa dal punto analizzato rispetto al punto di riferimento (solitamente $P_{1}$).
2. Peso Angolare: Calcolato come la normalizzazione dell'angolo reciproco rispetto alla somma di tutti i reciproci degli angoli analizzati. L’angolo reciproco è stato scelto per pura comodità essendo piu famigliare l’angolo di Bennett, come già precedentemente menzionato.

I pesi relativi sono ottenuti mediante la seguente procedura:

Peso Lineare Normalizzato:

$P_{L}={\frac {\text{Distanza del punto}}{\text{Somma di tutte le distanze}}}$.

Peso Angolare Normalizzato:

$P_{A}={\frac {\text{Reciproco dell'angolo del punto}}{\text{Somma di tutti i reciproci degli angoli}}}$.

Peso Combinato:

$P_{C}=0.5\cdot P_{L}+0.5\cdot P_{A}$, per dare, in questo contesto, pari importanza alle componenti lineari e angolari.

Considerazioni Finali

Condilo Laterotrusivo (Lavorante): Con una distanza percorsa relativamente ridotta (1.05 mm) e un angolo di 33.57° (reciproco di 146.43°), il condilo laterotrusivo evidenzia un peso combinato di 12.3%. Questo sottolinea il suo ruolo stabilizzatore durante i movimenti laterali, caratterizzato da un'azione vincolata e guidata sul lato lavorante. Questa stabilizzazione dipende ,appunto, dal minor tragitto in chiusura.

Molare Laterotrusivo: La distanza di 9.10 mm e l’angolo di 72.80° (reciproco di 107.20°) assegnano al molare laterotrusivo un peso combinato del 17.3%. Questo riflette la sua rilevanza nel definire i tracciati occlusali laterali in stretta interazione con il condilo lavorante.

Incisivo: Con la maggiore distanza percorsa (13.84 mm) e un angolo di 82.00° (reciproco di 98.00°), l'incisivo presenta il peso combinato più alto tra i denti (22.7%). Questo conferma il suo ruolo dominante nel bilanciare i movimenti mandibolari anteriori e laterali nel senso che il contributo dei condili é relativamente simmetrico.

Molare Mediotrusivo (Controlaterale): Il molare mediotrusivo, con una distanza di 8.99 mm e un angolo di 91.33° (reciproco di 88.67°), ha un peso combinato del 16.1%. Questo dimostra la sua funzione di supporto nella distribuzione delle forze laterali e nella stabilizzazione della traiettoria masticatoria.

Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante): Nonostante la distanza ridotta (6.25 mm), il condilo mediotrusivo presenta il comportamento angolare più marcato (166.00°, reciproco di 14.00°). Con un peso combinato del 32.6%, enfatizza la sua funzione compensatoria, essenziale per la dinamica orbitale e per mantenere l’equilibrio articolare.

L’analisi dei pesi combinati permette di quantificare il contributo specifico dei condili e dei denti alla funzione occlusale, fornendo una visione integrata dei movimenti mandibolari. Questo approccio può essere esteso a modelli clinici per prevedere disfunzioni o pianificare trattamenti personalizzati, migliorando la comprensione biomeccanica della funzione masticatoria ma soprattutto ci aiuterà a capire la genesi della gnatologia classica dei replicatori cinematici mandibolari e comorendere perché si é passati dal pantografo all’assiografo.

Altro punto emergente da questo capitolo è il tipo di funzione grafica possa essere sovrapposta al movimento mandibilare e cioè un arco di cerchio, una ellisse oppure una conica?

La migliore interpolazione tra punti nel sistema masticatorio sembrerebbe una conica.

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La scelta della conica a 5 punti

La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.

Definizione della conica

Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Dove:

• $A,B,C,D,E,F$ sono coefficienti reali determinati dai punti dati.
• La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:

‘Ellisse’ se $B^{2}-4AC<0$

‘Parabola’ se $B^{2}-4AC=0$

‘Iperbole’ se $B^{2}-4AC>0$

Perché 5 punti?

Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. La conica è:

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• **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati.
• **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
• **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.

Costruzione delle coniche specifiche

Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare.

Conica del molare laterotrusivo

La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**:

• $P_{1}=(149.24,-380.71)$
• $P_{2}=(187.30,-392.66)$
• $P_{3}=(526.04,-87.36)$
• $P_{4}=(530.57,-61.83)$
• $P_{5}=(60.13,-51.29)$

Conica dell'incisivo

La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**:

• $P_{1}=(257.81,-513.52)$
• $P_{2}=(305,-520)$
• $P_{3}=(526.04,-87.36)$
• $P_{4}=(530.57,-61.83)$
• $P_{5}=(60.13,-51.29)$

Conica del molare mediotrusivo

La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave:

• $P_{1}=(383.79,-396.65)$
• $P_{2}=(422.45,-396.15)$
• $P_{3}=(526.04,-87.36)$
• $P_{4}=(530.57,-61.83)$
• $P_{5}=(60.13,-51.29)$

Costruzione della conica unificata

Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: ${\text{Coefficienti Conica Unificata}}={\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}}+{\text{Coeff}}_{\text{incisale}}+{\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}}}{3}}$

L'equazione risultante è: $5.0308e-05\,x^{2}+1.5429e-05\,xy+3.1889e-06\,y^{2}-0.02901\,x-0.01175\,y+0.99918=0$

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di:

• Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica.
• Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.

Riflessioni finali

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati: 1. **Molare laterotrusivo** 2. **Incisivo** 3. **Molare mediotrusivo**

L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto C_L(7).

Prossimi passi

• Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari.
• Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi.
• Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi.

Conclusioni

Conclusione Corposa: Una Sintesi Integrata sul Ruolo della Cinematica Mandibolare e del Modello di Calibrazione La cinematica mandibolare rappresenta uno dei settori più complessi della bioingegneria articolare e della biomeccanica orofacciale. Attraverso l'analisi approfondita dei movimenti lineari e rotatori, i dati presentati evidenziano un equilibrio dinamico tra stabilità e flessibilità funzionale, riflettendo l'interazione armonica tra condili, denti e incisivi durante i cicli masticatori. La complessa relazione tra spostamenti lineari, rotazioni angolari, traiettorie occlusali e forze articolari permette di comprendere la funzione mandibolare in termini scientifici, clinici e applicativi.

L'importanza della calibrazione da pixel a millimetri Un elemento cardine dello studio è stata l'accurata calibrazione delle immagini, che ha trasformato dati visivi (pixel) in informazioni quantitative misurabili (millimetri). Tale passaggio è essenziale per garantire:

Precisione nelle misurazioni: La conversione accurata consente di ridurre al minimo errori di rilevamento dovuti alla distorsione prospettica o ottica. Standardizzazione analitica: L'adozione di un fattore di conversione unico ($0.1007,{\text{mm/pixel}}$) ha uniformato i calcoli, rendendo i dati comparabili e riproducibili. Applicabilità clinica: I dati ottenuti permettono di costruire modelli diagnostici utili nella pratica clinica, ad esempio per identificare disfunzioni dell'articolazione temporomandibolare (ATM). La calibrazione rappresenta quindi non solo un passaggio tecnico, ma una vera e propria metodologia interpretativa che getta le basi per l'analisi quantitativa della funzione articolare.

Analisi dei movimenti condilari: Laterotrusione e mediotrusione Uno dei principali contributi di questo lavoro è la rappresentazione dettagliata dei movimenti dei condili mandibolari, distinti in:

Condilo laterotrusivo (lato lavorante): caratterizzato da una rototraslazione complessa, che combina spostamenti laterali con rotazioni attorno agli assi verticali ($Z$) e trasversali ($X$). Condilo mediotrusivo (lato orbitante): dotato di un movimento prevalentemente traslatorio e meno vincolato rispetto al laterotrusivo, ma con un impatto fondamentale nell'equilibrio dinamico mandibolare. La descrizione vettoriale di ciascun condilo, espressa attraverso $P_{l}(t)$ e $P_{m}(t)$, ha permesso di quantificare spostamenti e rotazioni con un livello di precisione elevato. Questo approccio è cruciale per comprendere:

Il ruolo stabilizzante del condilo lavorante, che definisce i limiti laterali del movimento mandibolare. La funzione compensatoria del condilo orbitante, che assicura la continuità del ciclo masticatorio bilanciando il peso delle forze occlusali. Ruolo chiave dei denti nella biomeccanica mandibolare I dati analizzati hanno mostrato come denti specifici, quali molari e incisivi, contribuiscano in modo significativo alla cinematica mandibolare:

Molare laterotrusivo: Rilevante per la definizione delle traiettorie occlusali laterali. La distanza percorsa (9.10 mm) e l’angolo formato (72.80°) ne sottolineano l’importanza nella distribuzione delle forze durante il movimento laterale. Incisivo: Con una distanza di 13.84 mm e un angolo di 82°, l'incisivo si distingue per il ruolo dominante nei movimenti anteriori e laterali, agendo come punto guida per l'intero arco dentale. Molare mediotrusivo: La distanza di 8.99 mm e l’angolo di 91.33° evidenziano la funzione di supporto del molare controlaterale, che contribuisce alla stabilizzazione del movimento mandibolare. Coniche a 5 punti: Modellazione e predizione dei tracciati articolari La scelta della conica a 5 punti ha rappresentato una svolta metodologica nella rappresentazione dei tracciati mandibolari. Rispetto a un modello ellittico ideale, le coniche specifiche offrono:

Adattabilità ai dati reali: Consentono di modellare traiettorie asimmetriche e irregolari, tipiche della cinematica mandibolare. Univocità geometrica: Ogni conica è determinata in modo univoco da 5 punti sperimentali, garantendo precisione e riproducibilità. Applicabilità predittiva: La conica unificata permette di prevedere posizioni articolari mancanti o deviate, offrendo uno strumento potente per la diagnosi e la pianificazione clinica. Pesi combinati lineari e angolari: Verso una visione integrata L'innovativa analisi dei pesi combinati (lineari e angolari) ha fornito un quadro completo del contributo di ciascun elemento mandibolare alla funzione occlusale. Tra i risultati principali:

Il condilo mediotrusivo emerge come il principale compensatore dinamico, con un peso combinato del 32.6%. L'incisivo domina il bilanciamento anteriore e laterale, con il peso più elevato tra i denti (22.7%). Il condilo laterotrusivo assume un ruolo stabilizzante, con un peso combinato del 12.3%, confermando la sua funzione vincolante. Questo approccio integrato offre una visione quantificabile del contributo relativo di ciascun elemento articolare, aprendo nuove possibilità per la personalizzazione dei trattamenti occlusali.

Conclusioni finali e prospettive future Lo studio ha dimostrato che la cinematica mandibolare è il risultato di un'interazione dinamica tra movimenti lineari, rotazioni angolari, e traiettorie occlusali, tutti orchestrati in modo da mantenere un equilibrio funzionale. Le principali implicazioni pratiche includono:

Diagnosi clinica avanzata: I modelli presentati permettono di identificare disfunzioni articolari, deviazioni occlusali e anomalie dei tracciati masticatori con un grado di precisione senza precedenti. Pianificazione terapeutica personalizzata: L'integrazione di dati lineari e angolari consente di sviluppare trattamenti su misura per le esigenze specifiche del paziente. Sviluppo di strumenti innovativi: L'uso delle coniche a 5 punti e dei pesi combinati offre una base metodologica per progettare software e dispositivi diagnostici di nuova generazione. In futuro, sarà essenziale validare i modelli proposti con ulteriori dati sperimentali, esplorare l'applicabilità clinica delle coniche unificate e integrare l'analisi cinematico-occlusale in protocolli diagnostici standardizzati. Questo approccio interdisciplinare rappresenta un passo cruciale verso una comprensione più profonda e una gestione più efficace della funzione mandibolare, con benefici significativi per la pratica clinica e la ricerca.

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Bibliography & references