Logica di linguaggio fuzzy

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Logica di linguaggio fuzzy

Abstract: In questo capitolo parleremo della logica fuzzy. Si chiama così perché è caratterizzata da una gradualità: a un oggetto si può attribuire una qualità che può avere vari gradi di verità.

Nella prima parte di questo capitolo verrà discusso concettualmente il significato di verità graduata, mentre nella seconda parte approfondiremo il formalismo matematico introducendo la funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ : l'elemento che ci permette di sintetizzare matematicamente le sfumature di questa logica del linguaggio. È stato possibile dimostrare che con il ragionamento "fuzzy", a differenza delle precedenti logiche del linguaggio, le diagnosi mostrano meno incertezza. Nonostante ciò, però, si sente ancora la necessità di affinare ulteriormente il metodo linguistico e di arricchirlo di ulteriori “logiche”.

 

 

Introduzione

Siamo arrivati a questo punto perché, come colleghi, molto spesso ci troviamo di fronte a responsabilità e decisioni molto difficili da prendere e entrano in gioco questioni come la coscienza, l'intelligenza e l'umiltà. In una situazione del genere, però, ci troviamo di fronte a due ostacoli altrettanto difficili da gestire quello dello '$KB$' (Conoscenza Base), discusso nel capitolo 'Logica del linguaggio probabilistico',e che in questo contesto codifichiamo in $KB_{t}$ (conoscenza di base limitata dal tempo $t$ ) ed un $KB_{c}$ (conoscenza di base limitata dal contesto medico specialistico). Questi due parametri dell'epistemologia caratterizzano l'epoca scientifica in cui viviamo. Inoltre, sia lo $KB_{t}$ che lo $KB_{c}$ sono variabili dipendenti dalla nostra filogenesi, ed in particolar modo dalla nostra plasticità concettuale e attitudine al cambiamento.

«Non ti seguo»
(Ti faccio un esempio pratico)

• Quante ricerche sono state prodotte sul tema 'Logica fuzzy'?

Pubmed risponde con 2862 articoli negli ultimi 10 anni, tanto da poter dire che il tema è attuale e sufficientemente aggiornato. Tuttavia, se volessimo concentrare l'attenzione su un argomento specifico come "Disturbi temporo-mandibolari", il database risponderà con ben 2.235 articoli. Quindi, se volessimo controllare un altro argomento come "Dolore orofacciale", Pubmed ci fornisce 1.986 articoli. Ciò significa che lo $KB_{t}$ per questi tre argomenti negli ultimi 10 anni è stato sufficientemente aggiornato.

Se, ora, volessimo verificare l'interconnessione tra gli argomenti, noteremo che $KB_{c}$ nei contesti sarà il seguente:

1. $KB_{c}=$ 'Disturbi temporo-mandibolari & Dolore orofacciale '$\rightarrow$ 9 articoli negli ultimi 10 anni
2. $KB_{c}=$ 'Disturbi temporo-mandibolari & Dolore orofacciale & Fuzzy logic' 0 articoli negli ultimi 10 anni

L'esempio significa che lo $KB_{t}$ è relativamente aggiornato individualmente per i tre argomenti mentre diminuisce drasticamente quando gli argomenti tra i contesti vengono uniti e in particolare a 9 articoli per il punto 1 e persino a 0 articoli per il punto 2. Quindi, lo $KB_{t}$ è una variabile dipendente dal tempo mentre lo $KB_{c}$ è una variabile cognitiva dipendente dalla nostra attitudine al progresso della scienza, come già accennato – tra l'altro – nel capitolo 'Introduzione'.

«mi hai quasi convinto»
(Aspetta e vedrai)

Abbiamo concluso il capitolo precedente affermando che la logica di un linguaggio classico e successivamente la logica probabilistica ci hanno aiutato molto nel progresso della scienza medica e della diagnostica ma portano implicitamente dentro di sé i limiti della propria logica del linguaggio, che limita la visione della l'universo biologico. Abbiamo anche verificato che con la logica di un linguaggio classico, per così dire Aristotelico, la sintassi logica che ne deriva nella diagnostica della nostra Mary Poppins limita, di fatto, la conclusione clinica.

Il predicato $\{a\in x\mid \forall {\text{x}}\;A({\text{x}})\rightarrow {B}({\text{x}})\vdash A(a)\rightarrow B(a)\}$ (vedi capitolo Logica di linguaggio classica),

sostiene che:

"ogni paziente normale $\forall {\text{x}}$ che risulta positivo all'esame radiografico dell'ATM $\mathrm {\mathcal {A}} ({\text{x}})$ ha un TMDs $\rightarrow \mathrm {\mathcal {B}} ({\text{x}})$, e che come diretta conseguenza $\vdash$ essendo Mary Poppins positiva (ed è anche una paziente "normale") alla radiografia dell'ATM $A(a)$ è anche è affetta da TMD $\rightarrow {\mathcal {B}}(a)$.

La limitazione del percorso logico seguito ci ha portato ad intraprendere un percorso alternativo, in cui si evita la bivalenza o natura binaria della logica del linguaggio classico e si segue un modello probabilistico. Il collega dentista, infatti, ha cambiato vocabolario e ha preferito una conclusione del tipo:

$P(D|Deg.TMJ\cap TMDs)=0.95$

e cioè che la nostra Mary Poppins è affetta per il 95% da TMD poiché ha una degenerazione dell'articolazione temporo-mandibolare supportata dalla positività del dato $D=\{\delta _{1},\dots \delta _{4}\}$ in un campione di popolazione $n$. Tuttavia, abbiamo anche riscontrato che nel processo di costruzione probabilistica logica (Analysandum $=\{P(D),a\}$ che ha permesso di formulare le suddette conclusioni diagnostiche differenziali e scegliere quella più plausibile, c'è un elemento cruciale all'intero dello Analysand $=\{\pi ,a,KB\}$ rappresentato dal termine $KB$. Quest'ultimo indica, nello specifico, una 'Base di conoscenza' del contesto su cui si costruisce la logica del linguaggio probabilistico.

Abbiamo quindi concluso che forse il collega odontoiatra avrebbe dovuto venire a conoscenza della propria 'Incertezza Soggettiva' (affetta da TMD o _nOP?) e 'Incertezza Oggettiva' (probabilmente più affetta da TMD o nOP?).

• Perché siamo giunti a queste conclusioni critiche?

Per una forma ampiamente condivisa di rappresentazione della realtà, supportata dalla testimonianza di autorevoli figure che ne confermano la criticità. Ne è scaturita una visione della realtà che, a prima vista, sembrerebbe inadatta al linguaggio medico. Le espressioni, infatti, come “circa 2” o “moderatamente” possono suscitare legittime perplessità e sembrare un anacronistico ritorno a concetti prescientifici. Al contrario, però, l'uso di numeri fuzzy o asserzioni consente di trattare dati scientifici in contesti in cui non si può parlare di "probabilità" ma solo di "possibilità"..

«Probabilità o Possibilità?»

Verità sfocata

Nell'ambizioso tentativo di tradurre matematicamente la razionalità umana, a metà del Novecento si pensava di ampliare il concetto di logica classica formulando la logica fuzzy. La logica fuzzy riguarda le proprietà che potremmo chiamare 'gradualità', cioè che possono essere attribuite a un oggetto con gradi diversi. Esempi sono le proprietà "essere malato", "avere dolore", "essere alto", "essere giovane" e così via.

Matematicamente, la logica fuzzy ci permette di attribuire a ciascuna proposizione un grado di verità compreso tra $0$ e $1$. L'esempio più classico per spiegare questo concetto è quello dell'età: possiamo dire che un neonato ha un 'grado di giovinezza' pari a $1$, un diciottenne pari a $0,8$ ed un sessantenne uguale a $0,4$, e così via.

Nel contesto della logica classica, invece, le affermazioni sono:

un bambino di dieci anni è giovane

un trentenne è giovane

sono entrambi veri.

Tuttavia, nel caso della logica classica (che ammette solo i due dati vero o falso), ciò significherebbe che il neonato e il trentenne sono ugualmente giovani. Il che è ovviamente sbagliato.

L'importanza e il fascino della logica fuzzy derivano dal fatto che è in grado di tradurre l'incertezza insita in alcuni dati del linguaggio umano in formalismo matematico, codificando concetti 'elastici' (come quasi alto, abbastanza buono, ecc.), per renderli comprensibili e gestibili dai computer.

Insiemistica

Come accennato nel capitolo precedente, il concetto base della logica fuzzy è quello di multivalenza, ovvero, in termini di teoria degli insiemi, della possibilità che un oggetto possa appartenere ad un insieme anche parzialmente e, quindi, anche a più insiemi con gradi differenti . Ricordiamo fin dall'inizio gli elementi di base della teoria degli insiemi ordinari. Come si vedrà, in essi compaiono le espressioni formali dei principi della logica aristotelica, richiamati nel capitolo precedente.

Quantificatori

• Appartenenza: rappresentata dal simbolo $\in$ (appartiene), - ad esempio il numero 13 appartiene all'insieme dei numeri dispari $\in$ $13\in Odd$
• Non appartenenza: rappresentato dal simbolo $\notin$ (non appartiene)
• Inclusione: Rappresentata dal simbolo $\subset$ (è contenuto), - ad esempio l'intero $A$ è contenuto all'interno dell'insieme più grande $U$, $A\subset U$ (in questo caso si dice che $A$ è un sottoinsieme di $U$
• Quantificatore universale, indicato dal simbolo $\forall$ (per ciascuno)
• Dimostrazione, che è indicata dal simbolo $\mid$ (tale che)

Impostare gli operatori

Dato l'intero universo $U$ indichiamo con $x$ il suo elemento generico in modo che $x\in U$; quindi, consideriamo due sottoinsiemi $A$ e $B$ interni a $U$ in modo che $A\subset U$ e $B\subset U$

	Unione: represento dal simbolo $\cup$, indica l'unione dei due sets $A$ e $B$ $(A\cup B)$. È definito da tutti gli elementi che ne fanno parte $A$ e $B$ o entrambi: $(A\cup B)=\{\forall x\in U\mid x\in A\land x\in B\}$
	Intersezione: representata dal simbolo $\cap$, indica gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi: $(A\cap B)=\{\forall x\in U\mid x\in A\lor x\in B\}$
	Differenza: representata dal simbolo $-$, per esempio $A-B$ mostra tutti gli elementi di $A$ tranne quelli condivisi con $B$
	Complementarità: rappresentato da una barra sopra il nome della collezione, indicata da ${\bar {A}}$ la complementarità of $A$, cioè l'insieme degli elementi che appartengono all'intero universo tranne quelli di $A$, nelle formule: ${\bar {A}}=U-A$

La teoria della logica del linguaggio fuzzy è un'estensione della teoria classica degli insiemi in cui, tuttavia, i principi di non contraddizione e il terzo escluso non sono validi. Ricordiamo che nella logica classica, dato l'insieme $A$ e il suo complementare ${\bar {A}}$, il principio di non contraddizione afferma che se un elemento appartiene all'intero $A$ non può contemporaneamente appartenere anche al suo complementare ${\bar {A}}$; secondo il principio del terzo escluso, invece, l'unione di un tutto $A$ e del suo complementare ${\bar {A}}$ costituisce l'universo completo $U$

In altre parole, se un elemento non appartiene al tutto, deve necessariamente appartenere al suo complementare.

Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$

Scegliamo - come formalismo - di rappresentare un insieme sfocato con la 'tilde':${\tilde {A}}$. Un insieme fuzzy è un insieme in cui gli elementi hanno un 'grado' di appartenenza (coerente con la logica fuzzy): alcuni possono essere inclusi nell'insieme al 100%, altri in percentuali inferiori.

A rappresentare matematicamente questo grado di appartenenza è la funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ chiamata 'Funzione di appartenenza'. La funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ è una funzione continua definita nell'intervallo $[0;1]$ dove:

• $\mu _{\tilde {A}}(x)=1\rightarrow$ se $x$ è totalmente contenuta in $A$ (questi punti sono chiamati 'nucleus', essi indicano i valori plausibili del predicato ).
• $\mu _{\tilde {A}}(x)=0\rightarrow$ se $x$ non è contenuto in $A$
• $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1\;\rightarrow$ se $x$ è parzialmente contenuto in $A$ (questi punti sono chiamati 'Support' ed indicano i valori possibili del predicato possible predicate values).

La rappresentazione grafica della funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ può essere variato; da quelli con linee lineari (triangolari, trapezoidali) a quelli a forma di campana o 'S' (sigmoidale) come rappresentato in Figura 1, che racchiude l'intero concetto grafico della funzione di appartenenza.

Figure 1: Types of graphs for the membership function.

Il support set di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$

Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti possibili, mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più plausibili.

Se ${A}$ rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori $1$ o $0$, $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1\;\lor \;\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.

Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:

Figure 2: Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.

Figura 2: Immaginiamo l'Universo della Scienza $U$ in cui ci sono due mondi o contesti paralleli ${A}$ e ${\tilde {A}}$

${A}=$ Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto $KB$ con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato $KB_{c}$

${\tilde {A}}=$ In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme ${A}$ in ${\tilde {A}}$ tanto da poter dire: unione tra i contesti $KB_{c}$

Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:

• Logica classica nel contesto odontoiatrico ${A}$ in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1$, ovvero $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ essendo l'intervallo di dati $D=\{\delta _{1},\dots ,\delta _{4}\}$ ridotto alle conoscenze di base $KB$ nell'insieme ${A}$ Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ e che è sinonimo di un alto range di:

«Errore nella diagnosi differenziale»

• Logica fuzzy in un contesto odontoiatrico ${\tilde {A}}$ in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base $KB$ del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ avranno la prerogativa di restituire un risultato $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$ e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una
  «Riduzione dell'errore diagnostico differenziale»

Considerazioni finali

Gli argomenti che potevano distrarre l'attenzione del lettore erano, infatti, essenziali per dimostrare il messaggio. Normalmente, infatti, quando una mente più o meno brillante si permette di lanciare un sasso nello stagno della Scienza, si genera un'onda d'urto, tipica del periodo della scienza straordinaria di Kuhn, contro la quale rema la maggior parte dei membri della comunità scientifica internazionale. In buona fede, possiamo affermare che questo fenomeno – per quanto riguarda gli argomenti qui trattati – è ben rappresentato nella premessa all'inizio del capitolo.

In questi capitoli, infatti, è stato affrontato un tema fondamentale per la scienza: la rivalutazione, il peso specifico che è sempre stato dato al $P-value$, la consapevolezza dei contesti scientifico/clinici $KB_{c}$ aver intrapreso un percorso più elastico della Fuzzy Logic rispetto a quella Classica, rendendosi conto dell'estrema importanza di $KB$ e, in definitiva, dell'unione di contesti $KB_{c}$ per aumentarne la capacità diagnostica.

Nel prossimo capitolo saremo pronti per intraprendere un percorso altrettanto affascinante: ci porterà nel contesto di un linguaggio di logica di System e ci permetterà di approfondire le nostre conoscenze, non più solo nella semeiotica clinica, ma nella comprensione delle funzioni del sistema (di recente è in corso di valutazione nelle discipline neuromotorie per il morbo di Parkinson). In Masticationpedia, ovviamente, riporteremo l'argomento nel campo del sistema masticatorio come potremmo leggere nel prossimo capitolo intitolato 'System logic' .

 

La logica del linguaggio probabilistico   Logica di Sistema

Bibliography & references

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particularly focusing on the field of the neurophysiology of the masticatory system
 

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