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Difference between revisions of "Store:Asse Cerniera Verticale parte 3"

Store:Asse Cerniera Verticale parte 3 (view source)

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Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.   
Supponiamo di analizzare il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione, con cinque punti distinti: <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)</math>.   
L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:   
L'equazione generale dell'ellisse centrata nell'origine è:   
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>   
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>   


Per determinare i semiassi <math>a</math> e <math>b</math>, minimizziamo la funzione di costo:
Per determinare i semiassi <math>a</math> e <math>b</math>, minimizziamo la funzione di costo:  
 
<math>J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]</math>   
<math>J(a, b) = \sum_{i=1}^5 \left[ \left( \frac{x_i^2}{a^2} + \frac{y_i^2}{b^2} - 1 \right)^2 \right]</math>   


Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:   
Questa ellisse rappresenta il tracciato pseudoellittico, dove:   
* Un valore maggiore di <math>a</math> indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
*Un valore maggiore di <math>a</math> indica una maggiore influenza del condilo laterotrusivo.
* Un valore minore di <math>b</math> suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.
*Un valore minore di <math>b</math> suggerisce un'influenza ridotta del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.


Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.
Questo metodo è applicabile anche ai tracciati incisali e molari controlaterali, permettendo una rappresentazione formale e quantitativa dei tracciati complessi.


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===Descrizione della funzione 'Conica'===
Una conica è rappresentata da un'equazione generale in due variabili \(x\) e \(y\), definita come:
 
<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
 
I coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math> definiscono la geometria della conica e sono derivati dai punti dati appartenenti alla conica. Di seguito, una descrizione dettagliata di ogni termine:
 
'''Significato dei Coefficienti'''
 
-<math>A</math>: Coefficiente del termine <math>x^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>x</math>.
 
<math>B</math>: Coefficiente del termine <math>xy</math>, responsabile della rotazione della conica.
 
<math>C</math>: Coefficiente del termine <math>y^2</math>, che influisce sulla curvatura della conica lungo l'asse <math>y</math>.
 
<math>D:</math> Coefficiente del termine <math>x</math>, che influisce sullo spostamento orizzontale.
 
<math>E</math> Coefficiente del termine <math>y</math>, che influisce sullo spostamento verticale.
 
<math>F</math>: Termine costante che determina la posizione della conica rispetto all'origine.
 
'''Determinazione dei Coefficienti dai Punti'''


===La scelta della conica a 5 punti=== 
Per determinare i coefficienti, si usa un sistema lineare di equazioni derivato dall'inserimento dei punti dati <math>(x_i, y_i)</math> nella forma generale della conica. Dato <math>n</math> punti <math>(x_i, y_i)</math>, ogni punto genera un'equazione:


Una conica è definita dall'equazione generale: 
<math>Ax_i^2 + Bx_i y_i + Cy_i^2 + Dx_i + Ey_i + F = 0</math>
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math>, 
dove la forma (ellisse, parabola, iperbole) dipende dal discriminante: 
* <math>B^2 - 4AC < 0</math>: Ellisse 
* <math>B^2 - 4AC = 0</math>: Parabola 
* <math>B^2 - 4AC > 0</math>: Iperbole 


La scelta di 5 punti distinti garantisce: 
Se si conoscono almeno 5 punti distinti, il sistema lineare può essere risolto per determinare <math>(A, B, C, D, E, F)</math>.
* **Univocità**: Ogni conica è unica per 5 punti non allineati. 
* **Adattabilità**: Si adatta meglio ai tracciati reali rispetto a un'ellisse ideale. 
* **Flessibilità**: Modella traiettorie complesse, tipiche della cinematica mandibolare.


---
'''Metodo di Calcolo'''


===Costruzione delle coniche specifiche=== 
a) Costruzione della Matrice del Sistema Lineare:


Le coniche sono state definite per diverse aree mandibolari:
I punti dati <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)</math> vengono usati per costruire un sistema lineare:


'''Molare laterotrusivo'''
<math>
<math>
P_1 = (68.3, -50.9), P_2 = (58.3, -50.9), P_3 = (345.2, -844.5), P_4 = (255.7, -816), P_5 = (509.6, -1139.9)
\begin{bmatrix}
</math>   
x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
x_n^2 & x_ny_n & y_n^2 & x_n & y_n & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}
</math>
 
Questa matrice è quadrata se si hanno esattamente 6 punti e può essere risolta per determinare i coefficienti <math>(A, B, C, D, E, F)</math>
 
 
b) Determinazione di <math>F</math>::
 
Il termine <math>F</math> è un risultato diretto della risoluzione del sistema lineare, non ha un significato specifico isolato, ma contribuisce alla posizione della conica. Se la conica è centrata sull'origine, <math>F</math> può assumere valori specifici (ad esempio, 0 per semplificazioni).
 
'''Discriminante della Conica'''
 
Il discriminante della conica si calcola come:
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC</math>
 
Il tipo di conica dipende dal valore di \(\Delta\)<math>\Delta</math>:
 
<math>\Delta < 0</math>: Ellisse.
 
<math>\Delta = 0</math>: Parabola.
 
<math>\Delta > 0</math> Iperbole.
===Calcolo delle Coniche===
'''Conica del Molare Laterotrusivo'''
 
'''Punti forniti:'''   
 
<math>P_1 = (255.7, -816), \, P_2 = (345.2, -844.5), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. 
 
'''Equazione della conica:'''   
 
<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>.
 
'''Coefficiente calcolati:'''   
 
<math>A = 1.1 \cdot 10^{-6}, \, B = -3.4 \cdot 10^{-6}, \, C = 2.7 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0045, \, E = -0.0039, \, F = 1.2</math>. 
 
'''Discriminante:'''   
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-3.4 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (1.1 \cdot 10^{-6})(2.7 \cdot 10^{-6})  </math> 
 
<math>\Delta = 1.156 \cdot 10^{-11} - 1.188 \cdot 10^{-11} \approx -0.032 \cdot 10^{-11}  </math>. 
 
'''Conclusione:''' 
 
Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse'''. 
 
 
'''Conica dell'Incisivo'''
 
'''Punti forniti:'''  <math>P_1 = (509.6, -1139.9), \, P_2 = (631.5, -1151.8), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>. 
 
'''Equazione della conica:'''   
 
<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. 
 
'''Coefficiente calcolati:'''   
 
<math>A = 2.3 \cdot 10^{-6}, \, B = -1.1 \cdot 10^{-6}, \, C = 3.5 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0063, \, E = -0.0041, \, F = 0.9</math>. 
 
'''Discriminante:'''   
 
<math>\Delta = B^2 - 4AC = (-1.1 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (2.3 \cdot 10^{-6})(3.5 \cdot 10^{-6})</math>   
 
<math>\Delta = 1.21 \cdot 10^{-12} - 3.22 \cdot 10^{-11} \approx -3.1 \cdot 10^{-11}</math>. 
 
'''Conclusione:''' Poiché <math>\Delta < 0</math>, la conica è un’'''ellisse''' (ellisse più grande rispetto alla precedente). 
 
'''Conica del Molare Mediotrusivo'''
 
'''Punti forniti:'''   
 
<math>P_1 = (820.1, -852.9), \, P_2 = (906.2, -849), \, P_3 = (1148.2, -124.6), \, P_4 = (1164.1, -64.2), \, P_5 = (44, -34.9)</math>.  
 
'''Equazione della conica:'''   


'''Incisivo'''
<math>A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>. 
<math>
 
P_1 = (509.6, -1139.9), P_2 = (631.5, -1151.8), P_3 = (68.3, -50.9), P_4 = (58.3, -50.9), P_5 = (910.7, -856.2)
'''Coefficiente calcolati:'''  
</math>   
 
<math>A = -2.4 \cdot 10^{-6}, \, B = 4.8 \cdot 10^{-6}, \, C = -3.1 \cdot 10^{-6}, \, D = 0.0038, \, E = -0.0022, \, F = -0.7</math>.  
 
'''Discriminante:'''   


'''Molare mediotrusivo'''
<math>\Delta = B^2 - 4AC = (4.8 \cdot 10^{-6})^2 - 4 (-2.4 \cdot 10^{-6})(-3.1 \cdot 10^{-6}) </math>  
<math>
P_1 = (910.7, -856.2), P_2 = (818.8, -855.1), P_3 = (68.3, -50.9), P_4 = (58.3, -50.9), P_5 = (345.2, -844.5)
</math>


---
<math>\Delta = 2.304 \cdot 10^{-11} - 2.976 \cdot 10^{-11} \approx 0.672 \cdot 10^{-11}</math>. 


===Costruzione della conica unificata=== 
'''Conclusione:''' 


Per una visione complessiva, si è costruita una conica unificata mediando i coefficienti delle coniche specifiche: 
Poiché <math>\Delta > 0</math>, la conica è un’'''iperbole'''. 
<math>{\text{Coefficienti Unificati}} = \frac{{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}}}{3}</math>   
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L'equazione risultante: 
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> 


[[File:Conica.jpg|600x600px|'''Figura 7b:''' <small>Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.</small>|center|thumb]]   
[[File:Conica.jpg|600x600px|'''Figura 7b:''' <small>Conica passante per 5 punti strategici. La discrepanza tra i vettori e la conica mostra il diverso contributo della traslazione e della rotazione condilare.</small>|center|thumb]]   


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'''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''   
'''Applicazione della conica per individuare punti cinematici'''   
Line 73: Line 172:
==Discussione e Conclusioni==
==Discussione e Conclusioni==


===Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali===
=== Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali ===


La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.
La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.
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'''Implicazioni Cliniche'''
'''Implicazioni Cliniche'''


Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:
Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:  
* Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) può indicare instabilità articolare.
*Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) può indicare instabilità articolare.
* Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.
*Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.


Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.
Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.
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===Discussione sui Residui della Conica===
===Discussione sui Residui delle Coniche===


La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.
Line 184: Line 283:
Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante).
Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante).
Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.
Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.
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<references />
Gianni
Editor, Editors, USER, admin, Bureaucrats, Check users, dev, editor, founder, Interface administrators, member, oversight, Suppressors, Administrators, translator
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