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Store:Asse Cerniera Verticale parte 3 (view source)

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 La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare.
-== Discussione e Conclusioni ==
+==Discussione e Conclusioni==
-===Discussione sulla Rototraslazione Condilare e Tracciati Masticatori===
+===Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali===
-La cinematica mandibolare è il risultato della complessa interazione tra i movimenti dei condili e i tracciati occlusali dei denti, analizzabili tramite i dati geometrici e cinematici. Ogni punto del sistema mandibolare (condili, molari, incisivi) segue traiettorie specifiche che riflettono la dinamica articolare e la relazione occlusale. L'obiettivo di questa discussione è fornire al lettore una comprensione delle correlazioni tra i tracciati condilari e dentali, nonché delle implicazioni cliniche.
+La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.
-'''Relazione tra Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali'''
+'''Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali'''
-Il condilo laterotrusivo rappresenta il lato lavorante e segue un tracciato combinato di rotazione e traslazione laterale. Le distanze e gli angoli calcolati (es. movimento di Bennett, distanza <math>1L_c-7L_c </math> pari a <math>0.898 \, \text{mm}</math>) dimostrano che il condilo cambia direzione durante il movimento masticatorio, invertendo il moto da protrusivo a retrusivo. Questo cambio di direzione corrisponde a una "inversione" dei tracciati occlusali, visibile anche nel molare ipsilaterale e negli incisivi.
+Il condilo laterotrusivo segue un tracciato di rotazione e traslazione laterale. La distanza <math>1L_c-7L_c = 0.898 \, \text{mm}</math> e l'angolo associato evidenziano un'inversione protrusiva-retrusiva, influenzando tracciati occlusali come quelli del molare ipsilaterale. Il punto estremo del condilo (<math>7L_c</math>) segna una transizione biomeccanica cruciale, utile per valutare la stabilità articolare.
-La figura e la tabella associata dimostrano che i tracciati del condilo laterotrusivo influenzano la distribuzione delle forze occlusali. Ad esempio, il punto estremo del condilo (<math>7L_c</math>) rappresenta un'importante transizione biomeccanica, che può essere utilizzata clinicamente per valutare la stabilità articolare e la simmetria funzionale.Si tenga conto che una pposizione di massima retrusione masticatoria è generata quasi esclusivamente dal muscolo temporale che ha una funzione di chiusura, lateralizzazione e retrusione mandibolare. In sostanza più si masticano cibo du elevata durezza più si sposta posteriormente e la chiusura masticatoria diventa lateroretrusiva.<ref>A Grigoriadis 1, R S Johansson, M Trulsson. Temporal profile and amplitude of human masseter muscle activity is adapted to food properties during individual chewing cycles.J Oral Rehabil. 2014 May;41(5):367-73.doi: 10.1111/joor.12155. Epub 2014 Mar 10.
+Durante la masticazione di cibi duri, il muscolo temporale accentua una chiusura lateroretrusiva, spostando la mandibola posteriormente. Questo fenomeno, descritto in studi clinici,<ref>A Grigoriadis et al., *J Oral Rehabil.*, 2014.</ref><ref>Tomohiro Ishii et al., *Clin Exp Dent Res.*, 2021.</ref><ref>K Takada et al., *Arch Oral Biol.*, 1994.</ref> conferma la correlazione tra tracciati articolari e forze occlusali.
-</ref><ref>Tomohiro Ishii, Noriyuki Narita, Hiroshi Endo, Masanobu Wakami, Masakazu Okubo, Takeshi Uchida, Ikuo Kantake, Koh Shibutani. Coordinated features in jaw and neck muscle activities induced by chewing of soft and hard gum in healthy subjects. Clin Exp Dent Res. . 2021 Oct;7(5):868-876. doi: 10.1002/cre2.413. Epub 2021 Mar 9.
+'''Molari Ipsilaterali e Incisivi'''
-</ref><ref>K Takada, S Miyawaki, M Tatsuta.The effects of food consistency on jaw movement and posterior temporalis and inferior orbicularis oris muscle activities during chewing in children. Arch Oral Biol.1994 Sep;39(9):793-805.doi: 10.1016/0003-9969(94)90009-4.
+I molari ipsilaterali mostrano tracciati coerenti con il moto condilare, ma influenzati dai contatti occlusali. La Tabella 2 evidenzia il graduale spostamento laterale, culminante in una medializzazione nel punto <math>7L_m</math> con un angolo di <math>73^\circ</math>. Gli incisivi laterotrusivi combinano retrusione e lateralizzazione, con una distanza <math>1I-7I = 5.12 \, \text{mm}</math> e un angolo <math>\theta \approx 85.1^\circ</math>, suggerendo un ruolo guida durante i movimenti laterali.
-</ref>
+'''Condilo e Molare Mediotrusivi'''
-'''Dinamica dei Molari Ipsilaterali'''
+Il condilo mediotrusivo esegue una traslazione mediale con limitata rotazione. La distanza <math>1M_c-7M_c = 2.61 \, \text{mm}</math> e l'angolo <math>\theta \approx 166^\circ</math> evidenziano un controllo maggiore rispetto al condilo laterotrusivo. Questo movimento influenza il tracciato del molare mediotrusivo, caratterizzato da inversioni direzionali come nel punto <math>6M_m</math>, fondamentali per il bilanciamento delle forze masticatorie.
-I molari ipsilaterali al condilo laterotrusivo seguono un tracciato coerente con il moto condilare, ma la loro traiettoria riflette una maggiore interazione con i punti di contatto occlusali. Come evidenziato nella Tabella 2, i molari mostrano un graduale spostamento laterale con una successiva medializzazione nel punto <math>7L_m</math>, in cui si osserva un angolo di circa <math>73^\circ</math>.
+'''Implicazioni Cliniche'''
-'''Analisi degli Incisivi e la Transizione Occlusale'''
+Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:
+* Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) può indicare instabilità articolare.
+* Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.
-Gli incisivi laterotrusivi presentano tracciati che combinano retrusione e lateralizzazione. La distanza <math>1I-7I</math> di <math>5.12 \, \text{mm}</math> con un angolo <math>\theta \approx 85.1^\circ</math> sottolinea una progressiva convergenza verso la massima intercuspidazione. Clinicamente, ciò suggerisce che gli incisivi lavorano come guida durante i movimenti laterali, trasferendo il carico occlusale ai molari mediotrusivi.
+Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.
-'''Correlazione con il Condilo Mediotrusivo'''
+---
-Il condilo mediotrusivo, che rappresenta il lato bilanciante, segue un tracciato con una combinazione di traslazione mediale e rotazione limitata. La distanza <math>1M_c-7M_c </math> di <math>2.61 \, \text{mm}</math> e un angolo <math>\theta \approx166^\circ  </math> evidenziano un movimento più controllato rispetto al condilo laterotrusivo. Questa traiettoria è strettamente correlata con i tracciati del molare mediotrusivo, che seguono una direzione prevalentemente medializzante.
+===Discussione sui Residui della Conica===
-La dinamica del molare mediotrusivo, come mostrato nella Tabella 4, rivela un'inversione della direzione al punto <math>6M_m</math>, evidenziando una transizione critica per il bilanciamento delle forze masticatorie. Questo comportamento si collega direttamente al ruolo del condilo mediotrusivo nel controllo della traiettoria occlusale e della stabilità articolare.
+La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.
-'''Implicazioni Cliniche'''
+'''Residuo del Molare Laterotrusivo'''
+Il molare ipsilaterale segue quasi perfettamente la conica, grazie alla correlazione diretta con il condilo laterotrusivo. Il residuo è calcolato come:
+<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>
+Con <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il molare rispecchia il moto rototraslazionale del condilo.
+'''Residuo del Molare Mediotrusivo'''
+Il molare mediotrusivo si discosta maggiormente dalla conica, poiché il condilo mediotrusivo esegue movimenti prevalentemente traslatori. Il residuo è:
+<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>
+Con <math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>, il molare mediotrusivo riflette un'influenza traslatoria più marcata.
+'''Residuo Incisale'''
+Gli incisivi mostrano residui intermedi, poiché i loro tracciati sono influenzati da entrambi i condili. Il residuo è:
+<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>,
+Con <math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>, evidenziando una dinamica combinata.
+[[File:Residui Conica 1.jpg|center|300x300px|'''Figura 7c:''' Discrepanze dei residui tra vettori e conica nei tracciati molari e incisali.|thumb]]
+---
-L'analisi delle correlazioni tra tracciati condilari e occlusali permette di identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari. Ad esempio:
+In conclusione, l’analisi dei tracciati mandibolari tramite modelli matematici e geometrici evidenzia la complessità della cinematica mandibolare. La costruzione di coniche specifiche e unificate fornisce strumenti diagnostici utili per migliorare la funzione articolare e ottimizzare la distribuzione delle forze occlusali, gettando le basi per ulteriori studi sulla biomeccanica mandibolare.
-*Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) potrebbe indicare instabilità articolare o ipermobilità condilare.
+==Conclusione==
-*Tracciati irregolari degli incisivi o dei molari possono riflettere asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.
+. Cinematica del punto: 6 gradi di libertà
+Quando consideriamo il movimento mandibolare come la cinematica di un punto, ogni condilo è rappresentato come un punto (centro condilare). La mandibola viene trattata come un corpo rigido in uno spazio tridimensionale, con i seguenti 6 gradi di libertà (DoF):
-Questi dati possono essere utilizzati per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, garantendo una migliore distribuzione delle forze occlusali e una riduzione del rischio di disordini temporomandibolari.
+traslazioni lineari lungo gli assi cartesiani (<math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>);
+rotazioni angolari attorno agli stessi assi.
+In termini matematici:
+Un punto <math>P(t)</math> in movimento nello spazio può essere descritto dalla sua posizione vettoriale e dall’orientamento del sistema di riferimento locale:
-In conclusione la cinematica mandibolare è una rete complessa di rotazioni, traslazioni e interazioni occlusali. L'analisi combinata dei tracciati condilari e dentali offre una comprensione dettagliata della dinamica masticatoria, fornendo strumenti diagnostici essenziali per migliorare la funzione e la stabilità articolare. La costruzione di un modello matematico basato su dati cinematici, come illustrato nelle figure e tabelle, rappresenta un importante passo avanti nella comprensione della biomeccanica mandibolare.
+<math> P(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix}, \quad \Theta(t) = \begin{bmatrix} \theta_x(t) \\ \theta_y(t) \\ \theta_z(t) \end{bmatrix} </math>
+Dove:
-----
+<math>(x(t), y(t), z(t))</math>: posizione lineare nel tempo;
-===Discussione sul 'Residuo' dei vettori-conica===
+<math>(\theta_x, \theta_y, \theta_z)</math>: rotazioni attorno agli assi cartesiani (angoli di Eulero).
-La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>.
+Questi 6 DoF sono sufficienti per descrivere il movimento della mandibola, purché i condili siano trattati come punti rigidi. Questa semplificazione funziona bene quando i movimenti condilari sono considerati indipendenti da forze tangenziali o interazioni con superfici articolari.
-'''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale'''
+. La sfera condilare e il vincolo della fossa glenoidea: 12 gradi di libertà
+Se invece si osserva il condilo come una sfera articolare in movimento (anziché un punto), il modello diventa più complesso. Ogni condilo interagisce con la fossa glenoidea, generando:
-Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>
+Forze tangenti tra la superficie ossea e la sfera condilare.
+Vincoli geometrici che limitano e condizionano il movimento.
+In questo caso, il condilo non è più un punto libero, ma una sfera vincolata da superfici articolari, con interazioni dinamiche che dipendono dalle geometrie e dai materiali. Questo scenario implica:
-e il vettore posizione del molare laterotrusivo come <math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:
+DoF per ciascun condilo:
+traslazioni lineari (spostamenti del centro della sfera).
+rotazioni angolari:
+Rotazioni primarie: movimenti della mandibola guidati dal condilo laterotrusivo.
+Rotazioni secondarie: compensazioni nel condilo mediotrusivo.
+Matematica del sistema con 12 gradi di libertà
+Posizione e orientamento del condilo
-<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>
+Ogni condilo è descritto da un vettore posizione <math>C_i</math> (<math>i = 1</math> per il condilo laterotrusivo, <math>i = 2</math> per il mediotrusivo):
-Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.
+<math> C_i(t) = \begin{bmatrix} x_i(t) \\ y_i(t) \\ z_i(t) \end{bmatrix} </math>
+A cui si aggiunge una matrice di rotazione <math>R_i(t)</math>, che rappresenta l’orientamento della sfera condilare rispetto al sistema di riferimento globale:
-'''Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)'''
+<math> R_i(t) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
+Forze tangenti e vincoli geometrici
-Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.
+Le interazioni tra la sfera condilare e la fossa glenoidea sono modellate tramite vincoli geometrici. Ad esempio:
-Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>
+La superficie articolare può essere descritta da un’equazione <math>f(x, y, z) = 0</math>, che rappresenta la forma della fossa glenoidea.
+Il movimento del condilo è vincolato alla tangente <math>\vec{T}</math> della superficie articolare:
+<math> \vec{T} = \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{v}, \quad \text{dove } \vec{v} \text{ è il vettore velocità del condilo.} </math>
+In presenza di vincoli, il sistema non è completamente libero: le equazioni di movimento includono forze di reazione articolare, che condizionano le traiettorie.
-con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.
+Conseguenze sui residui vettore-conica
-'''Vettore incisale'''
+Nel modello basato sui punti, i residui sono calcolati rispetto a una conica generata dai tracciati dei centri condilari. Considerando invece una sfera in movimento:
-Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.
+La tangente alla superficie articolare introduce forze aggiuntive, modificando i vettori posizione.
-{{q2|C'è qualcosa che ancora non va?|......si certo è la nostra abitudine di osservare il sistema come una cinematica di un punto mentre dietro il fenomeno della magia della sfera condilare si celano altre verità}}
+Le traiettorie dei condili diventano ellissi deformate, con residui maggiori rispetto a un modello basato sui punti.
-[[File:Residui Conica 1.jpg|thumb]]In conclusione, se osserviamo i tracciati rilevati dal Replicator sul molare mediotrusivo possiamo verificare come il vettore con direzione <math>7M_m</math> che sostanzialmente genera il solco mediotrusivo tra la cuspide centrale e distale del molare si discosta dalla ellisse generata dalla conica a 5 punti perchè è stato trascurata l'influenza che genera sul sistema cinematico la sfera condilare. Argomento che tratteremo al prossimo capitolo.
+Conclusioni
+Cinematica a 6 gradi di libertà: utile per rappresentare il movimento globale della mandibola considerando i condili come punti rigidi.
+Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante).
+Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.