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=== Condilo Laterotrusivo === | === Condilo Laterotrusivo === | ||
Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per | Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolare la distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola. ( Figura 2 e tabella 1) | ||
[[File:Angolo laterotrusivo TMJ.jpg|left|thumb|'''Figura 2:''' Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio]] | [[File:Angolo laterotrusivo TMJ.jpg|left|thumb|'''Figura 2:''' Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio]] | ||
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| colspan="4" |Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del condilo laterotrusivo | | colspan="4" |Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del condilo laterotrusivo | ||
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'''Calcolo dell'angolo tra i punti 1, 7 e la linea tratteggiata''' | '''Calcolo dell'angolo tra i punti 1, 7 e la linea tratteggiata''' | ||
Per calcolare l'angolo tra il punto 1, il punto 7 e la linea tratteggiata che interseca il punto 1, dobbiamo utilizzare la trigonometria. | Per calcolare l'angolo tra il punto 1, il punto 7 e la linea tratteggiata che interseca il punto 1, dobbiamo utilizzare la trigonometria. | ||
* '''Punti e coordinate coinvolte''' | *'''Punti e coordinate coinvolte''' | ||
**Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano | **Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano | ||
**Coordinate <math>P1_{L}</math> del punto 1 del condilo laterotrusivo: <math>(58.3, -50.9)</math> | **Coordinate <math>P1_{L}</math> del punto 1 del condilo laterotrusivo: <math>(58.3, -50.9)</math> | ||
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Con lo stesso procedimento calcoliamo le distanze e l'angolo per il molare laterotrusivo, l'incisivo, il molare mediotrusivo ed il condilo mediotrusivo per verificarne l'andamento spaziale. | Con lo stesso procedimento calcoliamo le distanze e l'angolo per il molare laterotrusivo, l'incisivo, il molare mediotrusivo ed il condilo mediotrusivo per verificarne l'andamento spaziale. | ||
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==Iter Matematico per il Calcolo dell'Angolo== | |||
L'angolo tra due vettori può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale**. Esistono metodi diversi in base al contesto. Se i vettori sono nel piano 2D, possiamo utilizzare direttamente la funzione <math>\text{atan2}</math>. Tuttavia, in uno spazio tridimensionale, utilizziamo il **prodotto scalare** per determinare l'angolo tra i vettori. | |||
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===Calcolo nel Piano 2D con <math>\text{atan2}</math>=== | |||
Nel caso specifico dei vettori nel piano trasversale <math>(X, Y)</math>, possiamo calcolare l'angolo tra i due vettori con la formula: | |||
<math> | |||
\theta = \text{atan2}(\Delta y, \Delta x) | |||
</math> | |||
Esempio 2D: | |||
1. **Definizione dei vettori**: | |||
- Il vettore tra il punto <math>1L</math> e il punto <math>7L</math>: | |||
<math> | |||
\vec{AB} = (X_{7L} - X_{1L}, Y_{7L} - Y_{1L}) = (44 - 58.3, -34.9 - (-50.9)) = (-14.3, 16.0) | |||
</math> | |||
Il vettore tra il punto <math>1L</math> e il punto <math>H_3</math>: | |||
<math> | |||
\vec{AC} = (X_{H3} - X_{1L}, Y_{H3} - Y_{1L}) = (60.7 - 58.3, 158.7 - (-50.9)) = (2.4, 209.6) | |||
</math> | |||
2. **Calcolo dell'angolo con <math>\text{atan2}</math>**: | |||
- Per il vettore <math>\vec{AB}</math>: | |||
<math> | |||
\text{Angolo di } \vec{AB} = \text{atan2}(16.0, -14.3) \approx 132^\circ | |||
</math> | |||
- Per il vettore <math>\vec{AC}</math>: | |||
<math> | |||
\text{Angolo di } \vec{AC} = \text{atan2}(209.6, 2.4) \approx 89^\circ | |||
</math> | |||
- L'angolo tra i vettori: | |||
<math> | |||
\theta = |\text{Angolo di } \vec{AB} - \text{Angolo di } \vec{AC}| \approx |132^\circ - 89^\circ| = 43^\circ | |||
</math> | |||
--- | |||
===Calcolo nello Spazio 3D con Prodotto Scalare=== | |||
Se i vettori sono nello spazio tridimensionale, utilizziamo il **prodotto scalare** per determinare l'angolo tra di essi. Il prodotto scalare è definito come: | |||
1. **Definizione dei vettori**: | |||
- Supponiamo che: | |||
<math> | |||
\vec{AB} = (-14.3, 16.0, 0.0) \quad \text{e} \quad \vec{AC} = (2.4, 209.6, 0.0) | |||
</math> | |||
2. **Calcolo del prodotto scalare**: | |||
<math> | |||
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-14.3 \cdot 2.4) + (16.0 \cdot 209.6) + (0.0 \cdot 0.0) | |||
</math> | |||
<math> | |||
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -34.32 + 3353.6 = 3319.28 | |||
</math> | |||
3. **Calcolo delle norme**: | |||
<math> | |||
|\vec{AB}| = \sqrt{(-14.3)^2 + (16.0)^2} = \sqrt{204.49 + 256.0} = \sqrt{460.49} \approx 21.46 | |||
</math> <math> | |||
|\vec{AC}| = \sqrt{(2.4)^2 + (209.6)^2} = \sqrt{5.76 + 43944.16} = \sqrt{43949.92} \approx 209.68 | |||
</math> | |||
4. **Calcolo del coseno dell'angolo**: | |||
<math> | |||
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{3319.28}{21.46 \cdot 209.68} = \frac{3319.28}{4498.77} \approx 0.738 | |||
</math> | |||
5. **Determinazione dell'angolo**: | |||
<math> | |||
\theta = \arccos(0.738) \approx 42.44^\circ | |||
</math> | |||
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==Conclusione== | |||
Per vettori bidimensionali, l'approccio più diretto è l'uso della funzione <math>\text{atan2}</math>, che semplifica il calcolo evitando la necessità di calcolare prodotti scalari e norme. Tuttavia, per il calcolo nello spazio tridimensionale, il metodo basato sul prodotto scalare rimane essenziale. Adottare il metodo corretto per il contesto specifico garantisce maggiore efficienza e precisione nei calcoli. | |||
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'''Conclusione sul Condilo Laterotrusivo''' | '''Conclusione sul Condilo Laterotrusivo''' | ||
L'analisi cinematica del condilo laterotrusivo evidenzia come il suo | L'analisi cinematica del condilo laterotrusivo evidenzia come il suo traiettorie articolare sia il risultato di una complessa combinazione di movimenti rotatori e traslatori, orientati non solo in direzione laterale ma anche in direzione retrusiva. Questo comportamento tridimensionale, che si discosta da una pura rotazione, si manifesta attraverso una traiettoria che comprende componenti antero-posteriore e latero-mediale, influenzate dall'interazione con il condilo mediotrusivo. Il movimento laterotrusivo del condilo lavorante è fondamentale per l’equilibrio funzionale mandibolare, poiché determina la traiettoria e la stabilità dei contatti occlusali durante il ciclo masticatorio. | ||
Attraverso l’applicazione del calcolo vettoriale, in particolare il prodotto scalare e il calcolo degli angoli tra vettori, siamo riusciti a quantificare l’orientamento e la distanza relativa tra i punti articolari chiave del condilo laterotrusivo, rappresentati nella Tabella 1 e Figura 2. Il calcolo dell’angolo tra i vettori del movimento articolare permette di comprendere come la traiettoria segua un percorso specifico di adattamento, probabilmente influenzato da microvariazioni nella morfologia articolare e dall’interazione con i tessuti circostanti. Questo schema articolare riflette le caratteristiche fisiologiche del movimento mandibolare, rendendo evidente come il condilo laterotrusivo si adatti alle richieste funzionali durante le fasi dinamiche della masticazione. | Attraverso l’applicazione del calcolo vettoriale, in particolare il prodotto scalare e il calcolo degli angoli tra vettori, siamo riusciti a quantificare l’orientamento e la distanza relativa tra i punti articolari chiave del condilo laterotrusivo, rappresentati nella Tabella 1 e Figura 2. Il calcolo dell’angolo tra i vettori del movimento articolare permette di comprendere come la traiettoria segua un percorso specifico di adattamento, probabilmente influenzato da microvariazioni nella morfologia articolare e dall’interazione con i tessuti circostanti. Questo schema articolare riflette le caratteristiche fisiologiche del movimento mandibolare, rendendo evidente come il condilo laterotrusivo si adatti alle richieste funzionali durante le fasi dinamiche della masticazione. | ||