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| La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare. | | La conica permette di prevedere il punto condilare laterotrusivo (<math>7L_c</math>) conoscendo due punti di riferimento (iniziale e finale). Questo approccio consente di analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali, migliorando l’interpretazione della cinematica mandibolare. |
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| ==Discussione e Conclusioni==
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| === Cinematica Mandibolare e Tracciati Occlusali ===
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| La cinematica mandibolare deriva dall’interazione complessa tra i movimenti dei condili e i tracciati dentali, riflettendo dinamiche articolari e relazioni occlusali. Questa sezione analizza le correlazioni tra tracciati condilari e dentali, con implicazioni cliniche.
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| '''Condilo Laterotrusivo e Tracciati Occlusali'''
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| Il condilo laterotrusivo segue un tracciato di rotazione e traslazione laterale. La distanza <math>1L_c-7L_c = 0.898 \, \text{mm}</math> e l'angolo associato evidenziano un'inversione protrusiva-retrusiva, influenzando tracciati occlusali come quelli del molare ipsilaterale. Il punto estremo del condilo (<math>7L_c</math>) segna una transizione biomeccanica cruciale, utile per valutare la stabilità articolare.
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| Durante la masticazione di cibi duri, il muscolo temporale accentua una chiusura lateroretrusiva, spostando la mandibola posteriormente. Questo fenomeno, descritto in studi clinici,<ref>A Grigoriadis et al., *J Oral Rehabil.*, 2014.</ref><ref>Tomohiro Ishii et al., *Clin Exp Dent Res.*, 2021.</ref><ref>K Takada et al., *Arch Oral Biol.*, 1994.</ref> conferma la correlazione tra tracciati articolari e forze occlusali.
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| '''Molari Ipsilaterali e Incisivi'''
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| I molari ipsilaterali mostrano tracciati coerenti con il moto condilare, ma influenzati dai contatti occlusali. La Tabella 2 evidenzia il graduale spostamento laterale, culminante in una medializzazione nel punto <math>7L_m</math> con un angolo di <math>73^\circ</math>. Gli incisivi laterotrusivi combinano retrusione e lateralizzazione, con una distanza <math>1I-7I = 5.12 \, \text{mm}</math> e un angolo <math>\theta \approx 85.1^\circ</math>, suggerendo un ruolo guida durante i movimenti laterali.
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| '''Condilo e Molare Mediotrusivi'''
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| Il condilo mediotrusivo esegue una traslazione mediale con limitata rotazione. La distanza <math>1M_c-7M_c = 2.61 \, \text{mm}</math> e l'angolo <math>\theta \approx 166^\circ</math> evidenziano un controllo maggiore rispetto al condilo laterotrusivo. Questo movimento influenza il tracciato del molare mediotrusivo, caratterizzato da inversioni direzionali come nel punto <math>6M_m</math>, fondamentali per il bilanciamento delle forze masticatorie.
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| '''Implicazioni Cliniche'''
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| Analizzare i tracciati condilari e dentali aiuta a identificare anomalie biomeccaniche e disfunzioni articolari, ad esempio:
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| *Un angolo di Bennett eccessivo (<math>\theta > 20^\circ</math>) può indicare instabilità articolare.
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| *Tracciati irregolari suggeriscono asimmetrie muscolari o disfunzioni occlusali.
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| Queste informazioni sono essenziali per ottimizzare i trattamenti protesici e ortodontici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali e riducendo il rischio di disordini temporomandibolari.
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| ===Discussione sui Residui delle Coniche===
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| La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare i tracciati mandibolari, evidenziando differenze nei residui tra molari ipsilaterali, controlaterali e incisivi.
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| '''Residuo del Molare Laterotrusivo'''
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| Il molare ipsilaterale segue quasi perfettamente la conica, grazie alla correlazione diretta con il condilo laterotrusivo. Il residuo è calcolato come:
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| <math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math>
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| Con <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il molare rispecchia il moto rototraslazionale del condilo.
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| '''Residuo del Molare Mediotrusivo'''
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| Il molare mediotrusivo si discosta maggiormente dalla conica, poiché il condilo mediotrusivo esegue movimenti prevalentemente traslatori. Il residuo è:
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| <math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math>
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| Con <math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>, il molare mediotrusivo riflette un'influenza traslatoria più marcata.
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| '''Residuo Incisale'''
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| Gli incisivi mostrano residui intermedi, poiché i loro tracciati sono influenzati da entrambi i condili. Il residuo è:
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| <math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>,
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| Con <math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>, evidenziando una dinamica combinata.
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| [[File:Residui Conica 1.jpg|center|300x300px|'''Figura 7c:''' Discrepanze dei residui tra vettori e conica nei tracciati molari e incisali.|thumb]]
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| In conclusione, l’analisi dei tracciati mandibolari tramite modelli matematici e geometrici evidenzia la complessità della cinematica mandibolare. La costruzione di coniche specifiche e unificate fornisce strumenti diagnostici utili per migliorare la funzione articolare e ottimizzare la distribuzione delle forze occlusali, gettando le basi per ulteriori studi sulla biomeccanica mandibolare.
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| ==Conclusione==
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| 1. Cinematica del punto: 6 gradi di libertà
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| Quando consideriamo il movimento mandibolare come la cinematica di un punto, ogni condilo è rappresentato come un punto (centro condilare). La mandibola viene trattata come un corpo rigido in uno spazio tridimensionale, con i seguenti 6 gradi di libertà (DoF):
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| 3 traslazioni lineari lungo gli assi cartesiani (<math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>);
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| 3 rotazioni angolari attorno agli stessi assi.
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| In termini matematici:
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| Un punto <math>P(t)</math> in movimento nello spazio può essere descritto dalla sua posizione vettoriale e dall’orientamento del sistema di riferimento locale:
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| <math> P(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix}, \quad \Theta(t) = \begin{bmatrix} \theta_x(t) \\ \theta_y(t) \\ \theta_z(t) \end{bmatrix} </math>
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| Dove:
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| <math>(x(t), y(t), z(t))</math>: posizione lineare nel tempo;
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| <math>(\theta_x, \theta_y, \theta_z)</math>: rotazioni attorno agli assi cartesiani (angoli di Eulero).
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| Questi 6 DoF sono sufficienti per descrivere il movimento della mandibola, purché i condili siano trattati come punti rigidi. Questa semplificazione funziona bene quando i movimenti condilari sono considerati indipendenti da forze tangenziali o interazioni con superfici articolari.
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| 2. La sfera condilare e il vincolo della fossa glenoidea: 12 gradi di libertà
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| Se invece si osserva il condilo come una sfera articolare in movimento (anziché un punto), il modello diventa più complesso. Ogni condilo interagisce con la fossa glenoidea, generando:
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| Forze tangenti tra la superficie ossea e la sfera condilare.
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| Vincoli geometrici che limitano e condizionano il movimento.
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| In questo caso, il condilo non è più un punto libero, ma una sfera vincolata da superfici articolari, con interazioni dinamiche che dipendono dalle geometrie e dai materiali. Questo scenario implica:
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| 6 DoF per ciascun condilo:
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| 3 traslazioni lineari (spostamenti del centro della sfera).
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| 3 rotazioni angolari:
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| Rotazioni primarie: movimenti della mandibola guidati dal condilo laterotrusivo.
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| Rotazioni secondarie: compensazioni nel condilo mediotrusivo.
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| Matematica del sistema con 12 gradi di libertà
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| Posizione e orientamento del condilo
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| Ogni condilo è descritto da un vettore posizione <math>C_i</math> (<math>i = 1</math> per il condilo laterotrusivo, <math>i = 2</math> per il mediotrusivo):
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| <math> C_i(t) = \begin{bmatrix} x_i(t) \\ y_i(t) \\ z_i(t) \end{bmatrix} </math>
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| A cui si aggiunge una matrice di rotazione <math>R_i(t)</math>, che rappresenta l’orientamento della sfera condilare rispetto al sistema di riferimento globale:
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| <math> R_i(t) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i & 0 \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
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| Forze tangenti e vincoli geometrici
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| Le interazioni tra la sfera condilare e la fossa glenoidea sono modellate tramite vincoli geometrici. Ad esempio:
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| La superficie articolare può essere descritta da un’equazione <math>f(x, y, z) = 0</math>, che rappresenta la forma della fossa glenoidea.
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| Il movimento del condilo è vincolato alla tangente <math>\vec{T}</math> della superficie articolare:
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| <math> \vec{T} = \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{v}, \quad \text{dove } \vec{v} \text{ è il vettore velocità del condilo.} </math>
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| In presenza di vincoli, il sistema non è completamente libero: le equazioni di movimento includono forze di reazione articolare, che condizionano le traiettorie.
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| Conseguenze sui residui vettore-conica
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| Nel modello basato sui punti, i residui sono calcolati rispetto a una conica generata dai tracciati dei centri condilari. Considerando invece una sfera in movimento:
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| La tangente alla superficie articolare introduce forze aggiuntive, modificando i vettori posizione.
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| Le traiettorie dei condili diventano ellissi deformate, con residui maggiori rispetto a un modello basato sui punti.
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| Conclusioni
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| Cinematica a 6 gradi di libertà: utile per rappresentare il movimento globale della mandibola considerando i condili come punti rigidi.
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| Cinematica a 12 gradi di libertà: necessaria per includere le interazioni tra i condili (sfera) e le strutture articolari (fossa glenoidea), con rotazioni primarie (condilo lavorante) e secondarie (condilo bilanciante).
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| Il passaggio dal modello a punti al modello a sfere comporta un aumento della complessità matematica, ma offre una rappresentazione più accurata della biomeccanica mandibolare.
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| === Applicazione delle Coniche ai Movimenti Mandibolari ===
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| Le coniche modellano i tracciati descritti dai punti dentali e condilari, integrando informazioni geometriche sulla velocità.
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| **Descrizione della Conica**
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| La conica è rappresentata dall’equazione generale:
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| <math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math>.
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| I coefficienti <math>A, B, C, D, E, F</math> descrivono la geometria della conica, che riflette il bilanciamento tra velocità lineari e angolari.
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| **Coniche Calcolate**
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| - **Molare Laterotrusivo**:
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| Tipo: Ellisse (<math>\Delta < 0</math>).
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| Indica un movimento prevalentemente rotatorio, con tracciati regolari e compatti.
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| - **Incisivo**:
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| Tipo: Ellisse maggiore (<math>\Delta < 0</math>).
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| Il movimento combina traslazione e rotazione in modo bilanciato.
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| - **Molare Mediotrusivo**:
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| Tipo: Iperbole (<math>\Delta > 0</math>).
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| Il movimento è prevalentemente traslatorio, con deviazioni più marcate rispetto alla conica ideale.
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| === Conclusioni sulle Velocità e Coniche ===
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| **Ruolo delle Velocità nei Movimenti Mandibolari**
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| - La sincronizzazione tra i condili è garantita dalla combinazione di velocità lineari e angolari.
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| - Il condilo laterotrusivo compensa la distanza ridotta con una maggiore velocità angolare.
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| - Il condilo mediotrusivo utilizza una velocità lineare maggiore per coprire una distanza più lunga.
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| **Implicazioni delle Coniche**
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| - Le coniche modellano i tracciati reali, evidenziando deviazioni dai movimenti ideali.
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| - I residui tra coniche e tracciati possono indicare anomalie articolari o muscolari.
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| **Applicazioni Cliniche**
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| La relazione tra velocità lineare e angolare consente di identificare movimenti compensatori nei condili. Le coniche forniscono strumenti diagnostici per ottimizzare trattamenti ortodontici e protesici, migliorando la distribuzione delle forze occlusali.
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