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2. Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi. | 2. Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi. | ||
3. Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi. | 3. Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi. | ||
== Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica == | |||
=== Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale === | |||
Il molare **laterotrusivo ipsilaterale** mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la **relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale**, poiché: | |||
* La **rotazione del condilo laterotrusivo** attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare. | |||
* La traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. | |||
**Matematicamente**: | |||
Considerando la conica come: | |||
<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math> | |||
e il vettore posizione del molare laterotrusivo come: | |||
<math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math> | |||
il discostarsi del vettore è determinato dal residuo: | |||
<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math> | |||
Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | |||
--- | |||
=== Vettore molare controlaterale (mediotrusivo) === | |||
Il molare **controlaterale (mediotrusivo)** si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché: | |||
* Il **condilo mediotrusivo** compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione. | |||
* La traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. | |||
**Geometricamente**: | |||
La traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale. | |||
**Matematicamente**: | |||
Il residuo per il molare mediotrusivo è dato da: | |||
<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math> | |||
Con: | |||
<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math> | |||
Questo dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica. | |||
--- | |||
=== Vettore incisale === | |||
Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perché: | |||
* Gli **incisivi** sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. | |||
* La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. | |||
**Matematicamente**: | |||
Il residuo per il vettore incisale è dato da: | |||
<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math> | |||
Con: | |||
<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math> | |||
Dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale, ma meno del molare controlaterale. | |||
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== Conclusioni matematiche e geometriche == | |||
1. **Molare laterotrusivo ipsilaterale**: | |||
- Il discostamento è minimo (<math>R_{L_m} \approx 0</math>) grazie al vincolo della traiettoria al movimento del condilo laterotrusivo. | |||
2. **Molare mediotrusivo (controlaterale)**: | |||
- Mostra il maggiore discostamento (<math>R_{M_m} > R_I > R_{L_m}</math>) per via delle componenti traslazionali introdotte dal condilo mediotrusivo. | |||
3. **Incisivo**: | |||
- Si colloca in una posizione intermedia, influenzato sia dalla rotazione del condilo laterotrusivo che dalla traslazione del condilo mediotrusivo. | |||
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== Prospettive future == | |||
1. **Validazione sperimentale**: | |||
- Confrontare i residui (<math>R_{L_m}, R_{M_m}, R_I</math>) con dati sperimentali per verificare la coerenza dei modelli. | |||
2. **Estensione tridimensionale**: | |||
- Costruire un modello tridimensionale della conica per includere componenti fuori piano. | |||
3. **Integrazione nei modelli predittivi**: | |||
- Sviluppare modelli cinematici basati sul residuo per identificare deviazioni patologiche nei tracciati mandibolari. | |||