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→Rappresentazione cinematica attraverso una conica
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In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | ||
== La scelta della conica a 5 punti == | |||
La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. | |||
=== Definizione della conica === | |||
Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale: | |||
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | |||
Dove: | |||
* <math>A, B, C, D, E, F</math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati. | |||
La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: | |||
* **Ellisse** se <math>B^{2} - 4AC < 0</math> | |||
* **Parabola** se <math>B^{2} - 4AC = 0</math> | |||
* **Iperbole** se <math>B^{2} - 4AC > 0</math> | |||
=== Perché 5 punti? === | |||
Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. | |||
* **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati. | |||
* **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale. | |||
* **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare. | |||
== Costruzione delle coniche specifiche == | |||
Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare. | |||
=== Conica del molare laterotrusivo === | |||
La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**: | |||
* <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math> | |||
* <math>P_{4} = (255.7, -816)</math> | |||
* <math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math> | |||
=== Conica dell'incisivo === | |||
La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**: | |||
* <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math> | |||
* <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math> | |||
* <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math> | |||
=== Conica del molare mediotrusivo === | |||
La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave: | |||
* <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math> | |||
* <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math> | |||
* <math>P_{3} = (68.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | |||
* <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math> | |||
=== Conica del condilo mediotrusivo === | |||
Per modellare la traiettoria del **condilo mediotrusivo**, abbiamo utilizzato i punti relativi al movimento del condilo durante il tracciato: | |||
* <math>P_{1} = (1164.1, -64.2)</math> | |||
* <math>P_{2} = (1148.2, -124.6)</math> | |||
* <math>P_{3} = (910.7, -856.2)</math> | |||
* <math>P_{4} = (818.8, -855.1)</math> | |||
* <math>P_{5} = (68.3, -50.9)</math> | |||
== Costruzione della conica unificata == | |||
Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: | |||
<math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math> | |||
L'equazione risultante è: | |||
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | |||
(dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi). | |||
== Applicazione della conica per individuare punti cinematici == | |||
Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di: | |||
* Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica. | |||
* Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali. | |||
== Riflessioni finali == | |||
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati: | |||
1. **Molare laterotrusivo** | |||
2. **Incisivo** | |||
3. **Molare mediotrusivo** | |||
4. **Condilo mediotrusivo** | |||
L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>C_L(7)</math>. | |||
== Prossimi passi == | |||
1. Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari. | |||
2. Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi. | |||
3. Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi. | |||