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| ==La scelta della conica a 5 punti== | | ==La scelta della conica a 5 punti== |
| La scelta di una conica a 5 punti è una svolta interessante e potrebbe risultare più vicina alla realtà rispetto a un'ellisse ideale! Di seguito, l'essenza matematica e geometrica della conica a 5 punti e il motivo per cui si adatta così bene al tuo studio. | | La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. |
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| Che cos'è una conica?
| | ===Definizione della conica=== |
| Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale in due variabili: | | Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale: |
| | | <math> A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0 </math> |
| <math> A x^2+B x y+C y^2 + D x + E y + F = 0 </math> | |
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| Dove: | | Dove: |
| | * <math> A, B, C, D, E, F </math> sono coefficienti reali determinati dai punti dati. |
| | * La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: |
| | * **Ellisse** se <math> B^2 - 4 A C < 0 </math> |
| | * **Parabola** se <math> B^2 - 4 A C = 0 </math> |
| | * **Iperbole** se <math> B^2 - 4 A C > 0 </math> |
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| <math> A, B, C, D, E, F </math> sono coefficienti reali.
| | ===Perché 5 punti?=== |
| La forma della conica dipende dai valori di questi coefficienti e può risultare in un'ellisse, una parabola o un'iperbole, a seconda della loro disposizione.
| | Una conica è univocamente determinata da **5 punti distinti non allineati**. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. |
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| Definizione della conica a 5 punti
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| Una conica è univocamente determinata da 5 punti non allineati. In altre parole: | |
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| Se scegli 5 punti distinti, esiste una sola conica che passa per quei punti.
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| Questa proprietà è cruciale perché permette di ricostruire una conica partendo da dati sperimentali noti, come nel caso dei tuoi punti cinematografici (molari e condilari).
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| Come si costruisce la conica a 5 punti?
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| In Geogebra o altri software analitici, se specifichi 5 punti, il sistema calcola automaticamente i coefficienti <math> A, B, C, D, E, F </math> che soddisfano l'equazione generale della conica. Il risultato può essere:
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| Un'ellisse (se il discriminante <math> B^2 -4 AC < 0 </math>),
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| Una parabola (se <math> B^2 - 4 A C = 0 </math>),
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| Un'iperbole (se <math> B^2 - 4 A C > 0 </math>).
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| Proprietà chiave della conica a 5 punti
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| Univocità: La conica è unica per 5 punti distinti non allineati.
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| Adattabilità: A differenza di un'ellisse ideale, la conica si adatta meglio ai tracciati reali che possono includere piccole irregolarità.
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| Flessibilità: La conica è in grado di modellare curve complesse e simmetrie non perfette, come le rototraslazioni che coinvolgono i condili mandibolari e i punti molari.
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| Essenza matematica della conica a 5 punti
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| Per determinare la conica, risolviamo un sistema lineare a partire dai 5 punti dati:
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| Ogni punto <math> (x_i, y_i) </math> deve soddisfare l'equazione generale:
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| <math> A x_i^2 + B x_i y_i + C y_i^2 + D x_i + E y_i + F = 0 </math>
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| Con i 5 punti <math> P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 </math>, otteniamo un sistema di 5 equazioni lineari nei 6 coefficienti <math> A, B, C, D, E, F </math>.
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| La soluzione è garantita perché il sistema è sovradeterminato e si risolve imponendo che:
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| <math> \text{Determinante} = 0 </math>
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| In Geogebra, il software calcola automaticamente questi coefficienti e disegna la conica corrispondente.
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| Applicazione nel tuo progetto: Perché funziona?
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| Punti sperimentali: Lavori con punti reali del tracciato molare e dei condili, i quali possono deviare leggermente dalla geometria ideale.
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| Adattabilità: La conica a 5 punti si adatta meglio ai dati reali, restituendo una curva più fluida e coerente con il movimento articolare.
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| Interpretazione cinematica: La conica rappresenta la traiettoria articolare complessa, influenzata simultaneamente da:
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| Condilo laterotrusivo,
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| Condilo mediotrusivo,
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| Componenti lineari e angolari generate durante la rototraslazione mandibolare.
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| Prossimi passi
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| Costruzione di ulteriori coniche:
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| Per i punti mediotrusivi (molari e incisivi) e condilari, seleziona punti cinematici chiave e traccia una nuova conica.
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| Descrizione della conica:
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| Analizza la forma risultante: è un'ellisse, una parabola o un'iperbole?
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| Confronto con l'ellisse ideale:
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| Valuta l'accuratezza della conica rispetto ai tracciati reali.
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| Creazione di una conica standard:
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| Seleziona più tracciati (molare laterotrusivo, mediotrusivo, incisivo) e genera una conica media che descriva un tracciato occlusale ideale.
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| Costruzione delle coniche per modellare i tracciati articolari
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| La tua intuizione di utilizzare coniche a 5 punti per modellare i tracciati articolari reali è un'idea potente e può offrire un modello geometrico generale per la cinematica mandibolare. Ecco come procedere in modo sistematico.
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| 1. Costruzione delle coniche per i punti mediotrusivi e incisivi
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| Hai già costruito una conica per il molare laterotrusivo (conica magenta). Ora possiamo estendere questo approccio ai punti mediotrusivi e incisivi.
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| Per l'incisivo:
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| Costruisci una conica a partire dai punti iniziale, finale e intermedi del tracciato reale dell'incisivo.
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| Per il molare mediotrusivo:
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| Analogamente, seleziona punti cinematici chiave lungo il percorso reale del molare mediotrusivo.
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| Perché costruire ulteriori coniche?
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| Generare coniche per tutti i tracciati articolari (laterotrusivo, mediotrusivo, incisivo) ci permette di modellare l'intera cinematica mandibolare.
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| Combinando questi tracciati, possiamo ottenere una "conica standard", ovvero un modello medio o ideale delle traiettorie.
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| 2. Costruzione della conica per la cinematica condilare
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| Per comprendere appieno i movimenti mandibolari, dobbiamo modellare anche le traettorie condilari (laterotrusivo e mediotrusivo).
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| Selezione dei punti per i condili:
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| Condilo laterotrusivo:
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| Punto iniziale: <math> C_L(0) = (63.2, -59.7) </math>.
| | ===Proprietà principali=== |
| Punto finale: <math> C_L(T_7) </math> (punto finale del movimento).
| | * **Univocità**: La conica è unica per 5 punti non allineati. |
| Altri punti intermedi lungo la traiettoria.
| | * **Adattabilità**: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale. |
| Condilo mediotrusivo:
| | * **Flessibilità**: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare. |
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| Punto iniziale: <math> C_M(0) = (530.6, -61.8) </math>.
| | ===Costruzione delle coniche specifiche=== |
| Punto finale: <math> C_M(T_7) </math>.
| | Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare. |
| Eventuali punti intermedi.
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| Perché costruire coniche per i condili?
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| La cinematica condilare è la base geometrica dei movimenti mandibolari.
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| Costruire coniche per i condili permette di correlare direttamente i tracciati occlusali (molari e incisivi) con i movimenti condilari.
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| 3. Generazione della conica standard
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| Dopo aver costruito le coniche per tutti i tracciati (molari, incisivi e condili), possiamo procedere con un'analisi unificata:
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| Analisi delle coniche:
| | ====Conica del molare laterotrusivo==== |
| | La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del **molare laterotrusivo**: |
| | * <math> P_1 = (149.24, -380.71) </math> |
| | * <math> P_2 = (187.30, -392.66) </math> |
| | * <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math> |
| | * <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math> |
| | * <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math> |
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| Confrontiamo le coniche generate per i diversi punti.
| | ====Conica dell'incisivo==== |
| Identifichiamo eventuali simmetrie o schemi geometrici comuni.
| | La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dell'**incisivo**: |
| Unificazione delle coniche:
| | * <math> P_1 = (257.81, -513.52) </math> |
| | * <math> P_2 = (305, -520) </math> |
| | * <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math> |
| | * <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math> |
| | * <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math> |
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| Calcoliamo una media geometrica delle coniche ottenute.
| | ====Conica del molare mediotrusivo==== |
| Generiamo una conica standard, che rappresenta il modello ideale della cinematica mandibolare.
| | La conica è stata generata per il **molare mediotrusivo** usando i seguenti punti chiave: |
| Obiettivo finale
| | * <math> P_1 = (383.79, -396.65) </math> |
| La conica standard avrà due applicazioni principali:
| | * <math> P_2 = (422.45, -396.15) </math> |
| | * <math> P_3 = (526.04, -87.36) </math> |
| | * <math> P_4 = (530.57, -61.83) </math> |
| | * <math> P_5 = (60.13, -51.29) </math> |
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| Previsione dei tracciati occlusali:
| | ===Costruzione della conica unificata=== |
| Conoscendo pochi punti cinematici (ad esempio, posizione iniziale e finale), la conica standard ci permette di prevedere l'intero tracciato occlusale.
| | Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una **conica unificata** a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: |
| | <math> |
| | \text{Coefficienti Conica Unificata} = \frac{\text{Coeff}_\text{molare laterotrusivo} + \text{Coeff}_\text{incisale} + \text{Coeff}_\text{molare mediotrusivo}}{3} |
| | </math> |
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| Confronto con i dati reali:
| | L'equazione risultante è: |
| | <math> |
| | 5.0308e-05 \, x^2 + 1.5429e-05 \, x y + 3.1889e-06 \, y^2 - 0.02901 \, x - 0.01175 \, y + 0.99918 = 0 |
| | </math> |
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| Valutiamo come i tracciati reali (sperimentali) si sovrappongono alla conica standard.
| | ===Applicazione della conica per individuare punti cinematici=== |
| Identifichiamo eventuali deviazioni o anomalie nei movimenti mandibolari.
| | Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile **prevedere il punto C_L(7)** (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di: |
| Riepilogo
| | * Determinare con precisione **dove cade il punto condilare laterotrusivo** sulla conica. |
| Costruisci coniche per:
| | * Utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali. |
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| Il molare mediotrusivo.
| | ===Riflessioni finali=== |
| L'incisivo.
| | La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati: |
| I condili (laterotrusivo e mediotrusivo).
| | 1. **Molare laterotrusivo** |
| Analizza e combina le coniche per ottenere una "conica standard".
| | 2. **Incisivo** |
| | 3. **Molare mediotrusivo** |
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| Utilizza la conica standard per:
| | L'uso della **conica unificata** ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le **coniche specifiche** risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto C_L(7). |
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| Prevedere i tracciati occlusali.
| | ===Prossimi passi=== |
| Valutare le deviazioni dai dati reali.
| | * Approfondire l'uso della conica per prevedere tracciati mancanti o deviazioni nei movimenti articolari. |
| | * Validare le coniche con dati sperimentali aggiuntivi. |
| | * Studiare il comportamento delle coniche in relazione ai movimenti condilari mediotrusivi e laterotrusivi. |