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| ==Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'== | | ==C== |
| ===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo===
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| Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale (<math>x, y</math>). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.
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| '''Coordinate dei Condili e del Punto Molare'''
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| Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:
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| ====Coordinate iniziali====
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| *<math>\mathbf{C}_L(0) = (63.2, -59.7)</math>: condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| *<math>\mathbf{C}_M(0) = (530.6, -61.8)</math>: condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| *<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2, -392.7)</math>: punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| ===Determinazione del punto M₇===
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| Per calcolare il punto <math>M_7</math>, rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo <math>t = 7</math>, è stato seguito un processo basato su un modello geometrico ideale (ellisse) combinato con i dati osservati nella realtà. Di seguito sono descritti i passaggi fondamentali.
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| ====1. Definizione dell'ellisse====
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| La traiettoria ideale del molare laterotrusivo è stata modellata come un'ellisse, costruita a partire dai seguenti parametri:
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| * Centro dell'ellisse: Il centro è stato determinato come il punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo.
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| <math>
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| X_c = \frac{63.2 + 530.6}{2} = 296.9, \, Y_c = \frac{-59.7 + (-61.8)}{2} = -60.75
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| </math>
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| Quindi, il centro dell'ellisse è <math>(296.9,-60.75)</math>.
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| * Semi-asse maggiore (a): È stato calcolato come la distanza tra il centro dell’ellisse e il condilo laterotrusivo.
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| <math>
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| a = \sqrt{(63.2 - 296.9)^2 + (-59.7 - (-60.75))^2} \approx 233.7
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| </math>
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| Quindi, il semi-asse maggiore è <math>233.7 </math>.
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| *Semi-asse minore (b): È stato assunto come metà del semi-asse maggiore.
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| <math>
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| b = \frac{a}{2} = \frac{233.7}{2} = 116.85
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| </math>
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| Con questi parametri, l'equazione dell’ellisse che rappresenta il percorso articolare ideale è:
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| <math>
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| \frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1
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| </math>
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| ====2. Vincolo dell'ellisse====
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| Per appartenere alla traiettoria articolare ideale, il punto <math>M_7</math> deve soddisfare l’equazione dell’ellisse calcolata. Questo vincolo matematico garantisce che il punto segua un percorso coerente con il movimento articolare descritto dai condili.
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| ====3. Confronto con i dati osservati====
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| Dalla realtà osservata, il punto <math>M_7</math> è stato registrato con le coordinate <math>(129.34, -380.40)</math>. Tuttavia, questo punto deve essere verificato rispetto all'equazione dell’ellisse.
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| L’obiettivo è determinare un punto <math>M_7</math> che:
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| #Rispetti l’equazione dell’ellisse.
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| #Sia il più vicino possibile al punto reale osservato.
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| ====4. Calcolo del punto M₇====
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| Attraverso un algoritmo iterativo (come un metodo di minimizzazione numerica), è stato calcolato il punto più vicino sulla superficie dell’ellisse al dato osservato.
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| Il risultato del calcolo ha fornito:
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| <math>
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| M_7 = (129.34, -380.40)
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| </math>
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| ====5. Interpretazione del risultato====
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| Il dato calcolato dimostra che il punto <math>M_7</math>, osservato nella realtà, è compatibile con il modello geometrico ideale rappresentato dall’ellisse. Questo significa che il molare laterotrusivo segue un percorso articolare coerente con le traiettorie definite dai condili laterotrusivo e mediotrusivo.
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| ====Conclusioni====
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| L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto <math>M_7</math> calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali.
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| ===Calcolo del punto <math>M_7</math>: Approssimazione e Necessità di Refinamento===
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| ====Approssimazione del modello geometrico====
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| Nel calcolo iniziale, abbiamo utilizzato un modello basato sull'ellisse articolare generata dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello rappresenta una **semplificazione** del reale comportamento mandibolare, poiché non tiene conto di alcune forze dinamiche come l'influenza delle tangenti alla sfera dei condili.
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| Il punto <math>M_7</math> calcolato con questo approccio semplificato è risultato:
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| <math>
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| M_7 = (129.34, -380.40)
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| </math>
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| Questo dato è sorprendentemente vicino al punto reale osservato. Tuttavia, tale risultato deriva da una coincidenza **approssimativa** legata al modello ellittico ideale.
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| ====Necessità di un refinamento con le tangenti condilari====
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| Sebbene il modello geometrico approssimato sia utile, non descrive in modo completo il comportamento reale. Le tangenti alla sfera dei condili introducono:
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| * Componenti direzionali aggiuntive**, che influenzano la traiettoria del molare.
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| * Interazioni dinamiche tra i condili**, che stabilizzano e guidano il movimento occlusale.
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| Nel capitolo successivo, "La magia delle sfere condilari", approfondiremo come queste tangenti perfezionano il modello e spiegano il comportamento reale del punto <math>M_7</math>.
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| ====Interpretazione====
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| Questa sezione getta le basi per il capitolo successivo, evidenziando che il calcolo del punto <math>M_7</math> senza le tangenti condilari è **un'approssimazione utile ma incompleta**. La stretta vicinanza al dato reale dimostra l'efficacia del modello geometrico di base, ma non ne esclude la necessità di miglioramento.
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| Questo approccio risolve il potenziale conflitto: introduciamo l'importanza delle tangenti senza svalutare il modello geometrico iniziale, ma chiarendo che il risultato coincide per un limite ideale del sistema.
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| == Calcolo del punto <math>C_L(T_7)</math> ==
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| === Passo 1: Dati di partenza ===
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| * Punto iniziale del condilo laterotrusivo al tempo <math>t_0 </math>:
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| <math>C_L(0) = (63.17214, -59.6914)</math>
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| * Punto iniziale del molare laterotrusivo al tempo<math>t_0 </math>:
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| <math>M_1 = (185.23516, -392.65858)</math>
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| * Punto finale del molare laterotrusivo al tempo <math>t_7 </math>:
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| <math>M_7 = (147.17441, -380.71484)</math>
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| * Distanza tra <math>C_L(0)</math> e <math>M_1</math>: <math>34.19 \, \text{mm}</math>
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| === Passo 2: Centro della rotazione ===
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| Impostiamo l'equazione della circonferenza per il condilo laterotrusivo <math>C_L(T_7)</math>, considerando la distanza tra <math>C_L(0) </math> e <math>( M_7)</math> costante e pari a <math>34.19 \, \text{mm}</math>. La circonferenza è descritta da:
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| <math>(x - 63.17214)^2 + (y + 59.6914)^2 = 34.19^2.</math>
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| Questa equazione rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti possibili per <math>C_L(T_7)</math>
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| === Passo 3: Condizione angolare ===
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| ==== Vettore del tracciato molare ====
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| Il vettore <math>\vec{M}</math> tra i punti <math>( M_1)</math> e <math>( M_7)</math> è:
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| <math>\vec{M} = M_7 - M_1 = (147.17441 - 185.23516, -380.71484 - (-392.65858)) = (-38.06075, 11.94374).</math>
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| ==== Lunghezza del vettore <math>\vec{M} </math> ====
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| Convertiamo la lunghezza calcolata da Geogebra (\( 39.89 \, \text{pixel} \)) <math> (39.89) _\text{pixel}</math>in millimetri utilizzando il fattore di conversione <math> 1_\text{pixel}=0.1007_ \text{mm}</math>:
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| <math>|\vec{M}| = 39.89 \cdot 0.1007 \approx 4.02 \, \text{mm}.</math>
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| ==== Condizione angolare ===
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| === Vettore del Tracciato Molare ===
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| Il vettore <math>\vec{M}</math> collega i punti <math>M_1</math> e <math>M_7</math> (tracciato molare laterotrusivo).
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| '''Coordinate del vettore:'''
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| <math>
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| \vec{M} = M_7 - M_1 = (147.17441 - 185.23516, -380.71484 - (-392.65858)) = (-38.06075, 11.94374).
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| </math>
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| '''Angolo <math>\theta</math>:'''
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| <math>\theta = 72.8^\circ</math> è l'angolo tra il vettore <math>\vec{M}</math> e la perpendicolare a <math>M_1</math> (direzione latero-mediale).
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| === Passo 4: Risoluzione numerica ===
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| Unendo le due condizioni:
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| 1.<math>C_L(T_7)</math> si trova sulla circonferenza definita da:
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| <math>(x - 63.17214)^2 + (y + 59.6914)^2 = 34.19^2.</math>
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| 2. Il prodotto scalare tra i vettori soddisfa:
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| <math>\vec{M} \cdot \vec{C} = |\vec{M}| |\vec{C}| \cos(\theta),</math>
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| ovvero:
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| <math>(-38.06075)C_x + (11.94374)C_y = 0.297 \cdot (4.02 \cdot 34.19).</math>
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| Dopo aver risolto numericamente il sistema, otteniamo:
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| <math>C_L(T_7) \approx (57.33, -50.79).</math>
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| === Conclusione ===
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| Il punto calcolato per il condilo laterotrusivo al tempo <math>(T_7)</math>, con la distanza corretta di <math>34.19 \, \text{mm}</math> e il vettore molare coerente con <math>72.8^\circ </math>, è:
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| <math>C_L(T_7) = (57.33, -50.79)</math>
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| ==Cnclusioni==
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| ===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z===
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| Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.
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| Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.
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| Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.
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| Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:
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| 1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.
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| 2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali.
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| Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.
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| A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:
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| ==La scelta della conica a 5 punti== | | ==La scelta della conica a 5 punti== |
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| 5.0308e-05 \, x^2 + 1.5429e-05 \, x y + 3.1889e-06 \, y^2 - 0.02901 \, x - 0.01175 \, y + 0.99918 = 0 | | 5.0308e-05 \, x^2 + 1.5429e-05 \, x y + 3.1889e-06 \, y^2 - 0.02901 \, x - 0.01175 \, y + 0.99918 = 0 |
| </math> | | </math> |
| | [[File:Figura Conica.jpg|center|thumb|300x300px]] |
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| ===Applicazione della conica per individuare punti cinematici=== | | ===Applicazione della conica per individuare punti cinematici=== |