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A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica: | A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica: | ||
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==La scelta della conica a 5 punti== | |||
La scelta di una conica a 5 punti è una svolta interessante e potrebbe risultare più vicina alla realtà rispetto a un'ellisse ideale! Di seguito, l'essenza matematica e geometrica della conica a 5 punti e il motivo per cui si adatta così bene al tuo studio. | |||
Che cos'è una conica? | |||
Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale in due variabili: | |||
<math> A x^2+B x y+C y^2 + D x + E y + F = 0 </math> | |||
Dove: | |||
<math> A, B, C, D, E, F </math> sono coefficienti reali. | |||
La forma della conica dipende dai valori di questi coefficienti e può risultare in un'ellisse, una parabola o un'iperbole, a seconda della loro disposizione. | |||
Definizione della conica a 5 punti | |||
Una conica è univocamente determinata da 5 punti non allineati. In altre parole: | |||
Se scegli 5 punti distinti, esiste una sola conica che passa per quei punti. | |||
Questa proprietà è cruciale perché permette di ricostruire una conica partendo da dati sperimentali noti, come nel caso dei tuoi punti cinematografici (molari e condilari). | |||
Come si costruisce la conica a 5 punti? | |||
In Geogebra o altri software analitici, se specifichi 5 punti, il sistema calcola automaticamente i coefficienti <math> A, B, C, D, E, F </math> che soddisfano l'equazione generale della conica. Il risultato può essere: | |||
Un'ellisse (se il discriminante <math> B^2 -4 AC < 0 </math>), | |||
Una parabola (se <math> B^2 - 4 A C = 0 </math>), | |||
Un'iperbole (se <math> B^2 - 4 A C > 0 </math>). | |||
Proprietà chiave della conica a 5 punti | |||
Univocità: La conica è unica per 5 punti distinti non allineati. | |||
Adattabilità: A differenza di un'ellisse ideale, la conica si adatta meglio ai tracciati reali che possono includere piccole irregolarità. | |||
Flessibilità: La conica è in grado di modellare curve complesse e simmetrie non perfette, come le rototraslazioni che coinvolgono i condili mandibolari e i punti molari. | |||
Essenza matematica della conica a 5 punti | |||
Per determinare la conica, risolviamo un sistema lineare a partire dai 5 punti dati: | |||
Ogni punto <math> (x_i, y_i) </math> deve soddisfare l'equazione generale: | |||
<math> A x_i^2 + B x_i y_i + C y_i^2 + D x_i + E y_i + F = 0 </math> | |||
Con i 5 punti <math> P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 </math>, otteniamo un sistema di 5 equazioni lineari nei 6 coefficienti <math> A, B, C, D, E, F </math>. | |||
La soluzione è garantita perché il sistema è sovradeterminato e si risolve imponendo che: | |||
<math> \text{Determinante} = 0 </math> | |||
In Geogebra, il software calcola automaticamente questi coefficienti e disegna la conica corrispondente. | |||
Applicazione nel tuo progetto: Perché funziona? | |||
Punti sperimentali: Lavori con punti reali del tracciato molare e dei condili, i quali possono deviare leggermente dalla geometria ideale. | |||
Adattabilità: La conica a 5 punti si adatta meglio ai dati reali, restituendo una curva più fluida e coerente con il movimento articolare. | |||
Interpretazione cinematica: La conica rappresenta la traiettoria articolare complessa, influenzata simultaneamente da: | |||
Condilo laterotrusivo, | |||
Condilo mediotrusivo, | |||
Componenti lineari e angolari generate durante la rototraslazione mandibolare. | |||
Prossimi passi | |||
Costruzione di ulteriori coniche: | |||
Per i punti mediotrusivi (molari e incisivi) e condilari, seleziona punti cinematici chiave e traccia una nuova conica. | |||
Descrizione della conica: | |||
Analizza la forma risultante: è un'ellisse, una parabola o un'iperbole? | |||
Confronto con l'ellisse ideale: | |||
Valuta l'accuratezza della conica rispetto ai tracciati reali. | |||
Creazione di una conica standard: | |||
Seleziona più tracciati (molare laterotrusivo, mediotrusivo, incisivo) e genera una conica media che descriva un tracciato occlusale ideale. | |||
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Costruzione delle coniche per modellare i tracciati articolari | |||
La tua intuizione di utilizzare coniche a 5 punti per modellare i tracciati articolari reali è un'idea potente e può offrire un modello geometrico generale per la cinematica mandibolare. Ecco come procedere in modo sistematico. | |||
1. Costruzione delle coniche per i punti mediotrusivi e incisivi | |||
Hai già costruito una conica per il molare laterotrusivo (conica magenta). Ora possiamo estendere questo approccio ai punti mediotrusivi e incisivi. | |||
Per l'incisivo: | |||
Costruisci una conica a partire dai punti iniziale, finale e intermedi del tracciato reale dell'incisivo. | |||
Per il molare mediotrusivo: | |||
Analogamente, seleziona punti cinematici chiave lungo il percorso reale del molare mediotrusivo. | |||
Perché costruire ulteriori coniche? | |||
Generare coniche per tutti i tracciati articolari (laterotrusivo, mediotrusivo, incisivo) ci permette di modellare l'intera cinematica mandibolare. | |||
Combinando questi tracciati, possiamo ottenere una "conica standard", ovvero un modello medio o ideale delle traiettorie. | |||
2. Costruzione della conica per la cinematica condilare | |||
Per comprendere appieno i movimenti mandibolari, dobbiamo modellare anche le traettorie condilari (laterotrusivo e mediotrusivo). | |||
Selezione dei punti per i condili: | |||
Condilo laterotrusivo: | |||
Punto iniziale: <math> C_L(0) = (63.2, -59.7) </math>. | |||
Punto finale: <math> C_L(T_7) </math> (punto finale del movimento). | |||
Altri punti intermedi lungo la traiettoria. | |||
Condilo mediotrusivo: | |||
Punto iniziale: <math> C_M(0) = (530.6, -61.8) </math>. | |||
Punto finale: <math> C_M(T_7) </math>. | |||
Eventuali punti intermedi. | |||
Perché costruire coniche per i condili? | |||
La cinematica condilare è la base geometrica dei movimenti mandibolari. | |||
Costruire coniche per i condili permette di correlare direttamente i tracciati occlusali (molari e incisivi) con i movimenti condilari. | |||
3. Generazione della conica standard | |||
Dopo aver costruito le coniche per tutti i tracciati (molari, incisivi e condili), possiamo procedere con un'analisi unificata: | |||
Analisi delle coniche: | |||
Confrontiamo le coniche generate per i diversi punti. | |||
Identifichiamo eventuali simmetrie o schemi geometrici comuni. | |||
Unificazione delle coniche: | |||
Calcoliamo una media geometrica delle coniche ottenute. | |||
Generiamo una conica standard, che rappresenta il modello ideale della cinematica mandibolare. | |||
Obiettivo finale | |||
La conica standard avrà due applicazioni principali: | |||
Previsione dei tracciati occlusali: | |||
Conoscendo pochi punti cinematici (ad esempio, posizione iniziale e finale), la conica standard ci permette di prevedere l'intero tracciato occlusale. | |||
Confronto con i dati reali: | |||
Valutiamo come i tracciati reali (sperimentali) si sovrappongono alla conica standard. | |||
Identifichiamo eventuali deviazioni o anomalie nei movimenti mandibolari. | |||
Riepilogo | |||
Costruisci coniche per: | |||
Il molare mediotrusivo. | |||
L'incisivo. | |||
I condili (laterotrusivo e mediotrusivo). | |||
Analizza e combina le coniche per ottenere una "conica standard". | |||
Utilizza la conica standard per: | |||
Prevedere i tracciati occlusali. | |||
Valutare le deviazioni dai dati reali. | |||