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| {{Rosso inizio}}qui {{Rosso Fine}} | | {{Rosso inizio}}qui {{Rosso Fine}} |
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| == Discussioni e conclusioni==
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| Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.
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| ==Coordinate dei Condili e del Punto Molare==
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| Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale:
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| * Asse <math>X</math>: orientamento antero-posteriore.
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| *Asse <math>Y</math>: lateralità.
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| *Asse <math>Z</math>: altezza.
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| Definiamo:
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| *<math>\mathbf{C}_L(0) = (0, 10, 0) </math>: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| *<math>\mathbf{C}_M(0)= (0, -10, 0) </math>: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| *<math>\mathbf{M}_L(0) = (5, 5, -5)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
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| ==Rotazione e Traslazione dei CondiliCondilo Laterotrusivo (Lavorante)==
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| Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di:
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| ***Rotazione laterale** con angolo <math>\theta_L</math> rispetto all’asse verticale <math>Z</math>.
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| ***Traslazione retrusiva** lungo l'asse <math>X</math>, rappresentata da <math>\mathbf{d}_L </math>.
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| '''Rotaizone e traslazione dei condili'''
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| '''Condilo laterotrusivo (lavorante)'''
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| Se il moto è piano e la rotazione avviene attorno a un punto <math>\mathbf{P}</math> che non coincide con l'origine, la posizione del condilo laterotrusivo al tempo <math>t</math> è data da:
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| <math>
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| \mathbf{C}_L(t) = \mathbf{R}_Z(\theta_L) \cdot (\mathbf{C}_L(0) - \mathbf{P}) + \mathbf{P} + \mathbf{d}_L
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| </math>
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| Dove:
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| *<math>\mathbf{R}_Z(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione attorno all’asse <math>Z</math>, definita come:
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| <math>
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| \mathbf{R}_Z(\theta_L) =
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| \begin{pmatrix}
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| \cos(\theta_L) & -\sin(\theta_L) & 0 \\
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| \sin(\theta_L) & \cos(\theta_L) & 0 \\
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| 0 & 0 & 1
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| \end{pmatrix}
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| </math>
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| <math>\mathbf{P}</math> è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio l'origine)
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| <math>\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)</math> rappresenta la traslazione retrusiva lungo l'asse <math>X</math>.
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| '''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)'''
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| Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante più complesso, che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>.
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| Se il moto è spaziale, si utilizza la 'formula di Rodrigues'. La posizione del condilo mediotrusivo al tempo <math>t</math> è data da:
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| <math>
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| \mathbf{C}_M(t) = \mathbf{R} \cdot \mathbf{C}_M(0) + \mathbf{d}_M
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| </math>
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| '''Formula di Rodrigues'''
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| Se la rotazione avviene nello spazio tridimensionale attorno a un asse arbitrario, la formula di Rodrigues si applica come segue:
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| <math>
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| \mathbf{v}_{rot} = \mathbf{v} \cos(\theta) + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}) \sin(\theta) + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos(\theta))
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| </math>
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| Dove:
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| *<math>\mathbf{v}</math> è il vettore da ruotare.
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| *<math>\mathbf{k}</math> è il versore dell’asse attorno al quale avviene la rotazione.
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| *<math>\theta</math> è l’angolo di rotazione.
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| '''Applicazione'''
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| Nel nostro caso, per un moto spaziale:
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| *<math>\mathbf{k} = (0, 0, 1)</math> per una rotazione attorno all’asse <math>Z</math>.
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| *<math>\mathbf{v} = \mathbf{C}_M(0) - \mathbf{P}</math>, con <math>\mathbf{P}</math> punto di riferimento.
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| *La traslazione <math>\mathbf{d}_M </math> descrive il movimento orbitante e mediale.
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| '''Conclusione'''
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| La descrizione del movimento dei condili deve essere adattata al contesto:
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| *Moto piano: Utilizzare la formula per rotazioni attorno a un punto non coincidente con l'origine.
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| * Moto spaziale: Adottare la formula di Rodrigues per rotazioni tridimensionali attorno a un asse arbitrario.
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| Entrambi i metodi garantiscono una rappresentazione accurata dei movimenti combinati di rotazione e traslazione.
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| ===Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo===
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| Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è:
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| <math>
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| \mathbf{M}_L(t) = \mathbf{M}_L(0) + R(\theta_L) \cdot \mathbf{M}_L(0) + \alpha \cdot \mathbf{C}_L(t) + \beta \cdot \mathbf{C}_M(t)
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| </math>
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| | |
| dove:
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| * <math>R(\theta_L)</math> rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
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| *<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili.
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| '''Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva'''
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| Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una elemento vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
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| <math>
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| \mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)=\beta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_L, 0, -5)
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| </math>
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| dove <math>\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)</math> rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili.
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| Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata:
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| 1. I condili sono ora allineati lungo l'asse <math>Y</math>.
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| 2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse <math>Z</math>, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione.
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| Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.
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| ===Tracciato del Punto Incisale===
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| Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.
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| Definiamo il punto incisale come:
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| <math>
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| \mathbf{I}(t) = (x_{I}(t), y_{I}(t), z_{I}(t))
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| </math>
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| La posizione <math>\mathbf{I}(t)</math> è data da:
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| <math>
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| \mathbf{I}(t) = \mathbf{I}(0) + \gamma \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \delta \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
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| </math>
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| dove:
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| *<math>\gamma</math> e <math>\delta</math> sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
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| *<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale <math>Z</math>.
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| ===Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo===
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| Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo (<math>\mathbf{M}_M</math>) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:
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| <math>
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| \mathbf{M}_M(t) = (x_{m_M}(t), y_{m_M}(t), z_{m_M}(t))
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| </math>
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| Il tracciato di <math>\mathbf{M}_M(t)</math> può essere modellato come:
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| <math>
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| \mathbf{M}_M(t) = \mathbf{M}_M(0) + \beta' \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \alpha' \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
| |
| </math>
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| dove:
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| *<math>\beta'</math> e <math>\alpha'</math> sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
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| *<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse <math>Z</math>.
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| ===Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive===
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| Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.
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| Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale
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| <math>
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| \mathbf{I}_{\text{ret}}(t) = \delta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_I, 0, -5)
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| </math>
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| dove <math>\mathbf{I}_{\text{ret}}(t)</math> rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse <math>Z</math>.
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| ==Cnclusioni==
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| ===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z===
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| Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile.
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| | |
| Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo.
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| | |
| Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'.
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| | |
| Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue:
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| 1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo.
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| | |
| 2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali.
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| | |
| Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico.
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| | |
| A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica:
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| [[File:Question 2.jpg|left|100x100px]] | | [[File:Question 2.jpg|left|100x100px]] |
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| ==Appendice==
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| ==Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'== | | ==Conclusioni su 'Distanze e Direzioni'== |
| ===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo=== | | ===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo=== |
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Line 216: |
| Il punto calcolato per il condilo laterotrusivo al tempo \( T_7 \), con la distanza corretta di <math>34.19 \, \text{mm}</math> e il vettore molare coerente con \( 72.8^\circ \), è: | | Il punto calcolato per il condilo laterotrusivo al tempo \( T_7 \), con la distanza corretta di <math>34.19 \, \text{mm}</math> e il vettore molare coerente con \( 72.8^\circ \), è: |
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| <math>C_L(T_7) = (57.33, -50.79).</math> | | ==Cnclusioni== |
| | ===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z=== |
| | |
| | Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile. |
| | |
| | Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo. |
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| | Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'. |
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| | Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue: |
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| | 1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo. |
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| | 2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali. |
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| | Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico. |
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| Se hai ulteriori dubbi o desideri chiarimenti su come è stato risolto il sistema numericamente, posso approfondire!
| | A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica: |