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Asse Cerniera verticale (view source)

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+== Analisi Matematica della Componente Lateroretrusiva del Punto Molarare Laterotrusivo ==
+Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.
+=== 1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare ===
+Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).
+Definiamo:
+* \(\mathbf{C}_L(t) = (x_L(t), y_L(t), z_L(t))\): coordinate del condilo laterotrusivo al tempo \(t\).
+* \(\mathbf{C}_M(t) = (x_M(t), y_M(t), z_M(t))\): coordinate del condilo mediotrusivo al tempo \(t\).
+* \(\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))\): coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo \(t\).
+=== 2. Rotazione e Traslazione dei Condili ===
+==== Condilo Laterotrusivo (Lavorante) ====
+Il movimento del condilo laterotrusivo può essere descritto come una combinazione di rotazione (angolo laterotrusivo \(\theta_L\)) e traslazione retrusiva \(d_L\), dove:
+* \(\theta_L(t)\) è l'angolo di rotazione laterale,
+* \(d_L\) è la componente retrusiva della traslazione del condilo laterotrusivo, dovuta al movimento del condilo mediotrusivo.
+La posizione del condilo laterotrusivo può essere descritta come:
+\[
+\mathbf{C}_L(t) = \mathbf{C}_L(0) + R(\theta_L) \cdot (x_{L}, y_{L}, z_{L}) + \mathbf{d}_L
+\]
+dove \(R(\theta_L)\) è la matrice di rotazione intorno a un asse \(Y\) inclinato in base all’angolo laterotrusivo \(\theta_L\), e \(\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)\) rappresenta la componente di retrazione sul piano X.
+==== Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante) ====
+Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che possiamo rappresentare con una rotazione e una traslazione. La rotazione del condilo mediotrusivo viene espressa con un angolo orbitante \(\theta_M\), tale che:
+\[
+\mathbf{C}_M(t) = \mathbf{C}_M(0) + R(\theta_M) \cdot (x_{M}, y_{M}, z_{M})
+\]
+con \(R(\theta_M)\) come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva.
+=== 3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo ===
+Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, \(\mathbf{M}_L(t)\), può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo:
+\[
+\mathbf{M}_L(t) = \mathbf{M}_L(0) + R(\theta_L) \cdot \mathbf{M}_L(0) + \alpha \cdot \mathbf{C}_L(t) + \beta \cdot \mathbf{C}_M(t)
+\]
+dove:
+* \(R(\theta_L)\) rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo,
+* \(\alpha\) e \(\beta\) sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo.
+=== 4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva ===
+Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
+\[
+\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t) = \beta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_L, 0, 0)
+\]
+dove \(\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)\) rappresenta il tracciato effettivo lateroretrusivo dovuto all’interazione tra la retrazione del condilo lavorante e il percorso orbitale del condilo mediotrusivo.
+=== Interpretazione ===
+Questo formalismo evidenzia che il tracciato lateroretrusivo del punto molare laterotrusivo è determinato sia dalla **componente retrusiva** (presente nel movimento del condilo lavorante) sia dall'**influenza orbitante del condilo mediotrusivo** (che altera passivamente il percorso del molare laterotrusivo).
+== Estensione dell'Analisi ai Punti Incisale e Molarare Mediotrusivo ==
+Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola.
+=== 5. Tracciato del Punto Incisale ===
+Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola.
+Definiamo il punto incisale come:
+\[
+\mathbf{I}(t) = (x_{I}(t), y_{I}(t), z_{I}(t))
+\]
+La posizione \(\mathbf{I}(t)\) è data da:
+\[
+\mathbf{I}(t) = \mathbf{I}(0) + \gamma \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \delta \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
+\]
+dove:
+* \(\gamma\) e \(\delta\) sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale,
+* \(R(\theta_L)\) e \(R(\theta_M)\) rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente.
+=== 6. Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo ===
+Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo (\(\mathbf{M}_M\)) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo:
+\[
+\mathbf{M}_M(t) = (x_{m_M}(t), y_{m_M}(t), z_{m_M}(t))
+\]
+Il tracciato di \(\mathbf{M}_M(t)\) può essere modellato come:
+\[
+\mathbf{M}_M(t) = \mathbf{M}_M(0) + \beta' \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \alpha' \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t)
+\]
+dove:
+* \(\beta'\) e \(\alpha'\) sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo,
+* \(R(\theta_L)\) e \(R(\theta_M)\) descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo.
+=== 7. Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive ===
+Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili.
+==== Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale ====
+\[
+\mathbf{I}_{\text{ret}}(t) = \delta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_I, 0, 0)
+\]
+dove \(\mathbf{I}_{\text{ret}}(t)\) rappresenta la traiettoria lateroretrus
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