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Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore: <math>|\vec{AB}|=\sqrt{AB_x^2 + AB_y^2} = \sqrt{(-15.9)^2 + (-60.4)^2} = \sqrt{252.81 + 3648.16} = \sqrt{3900.97} \approx 62.45</math><math>|\vec{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2} = \sqrt{(0.9)^2 + (75.6)^2} = \sqrt{0.81 + 5710.56} = \sqrt{5711.37} \approx 75.58</math> Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:<math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}</math>Sostituendo i valori:<math>\cos(\theta) = \frac{-4580.55}{62.45 \cdot 75.58} = \frac{-4580.55}{4717.25} \approx -0.971</math>Infine, l'angolo \(\theta\) è calcolato tramite la funzione arcoseno:<math>\theta = \arccos(-0. | Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore: <math>|\vec{AB}|=\sqrt{AB_x^2 + AB_y^2} = \sqrt{(-15.9)^2 + (-60.4)^2} = \sqrt{252.81 + 3648.16} = \sqrt{3900.97} \approx 62.45</math><math>|\vec{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2} = \sqrt{(0.9)^2 + (75.6)^2} = \sqrt{0.81 + 5710.56} = \sqrt{5711.37} \approx 75.58</math> Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:<math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}</math>Sostituendo i valori:<math>\cos(\theta) = \frac{-4580.55}{62.45 \cdot 75.58} = \frac{-4580.55}{4717.25} \approx -0.971</math>Infine, l'angolo \(\theta\) è calcolato tramite la funzione arcoseno:<math>\theta = \arccos(-0.9 che ci restituirà l'angolo. | ||
====Motivo dell'analisi==== | ====Motivo dell'analisi==== | ||
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Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | ||
=== 1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare=== | ===1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare=== | ||
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | ||
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*<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>. | *<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>. | ||
=== 2. Rotazione e Traslazione dei Condili=== | ===2. Rotazione e Traslazione dei Condili=== | ||
====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)==== | ====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)==== | ||
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con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva. | con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva. | ||
=== 3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ===3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ||
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo: | Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo: | ||
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*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo. | *<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo. | ||
=== 4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva=== | ===4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva=== | ||
Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | ||