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====Iter matematico per il calcolo dell'angolo====
====Iter matematico per il calcolo dell'angolo====


L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la{{Tooltip|trigonometria vettoriale Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math>e il punto <math>P7_{M}</math>:<math>\vec{AB} = P7_{M} - P1_{M}=(1148.2, -124.6) - (1164.1, -64.2) = (-15.9, -60.4)</math> Il vettore tra il punto 1<sub>Lm</sub> e il punto H₃:<math>\vec{AC} =H3_{M}-P1_{M}= (1165, 11.4) - (1164.1, -64.2) = (0.9, 75.6)</math>e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.|2}} ed {{Tooltip|il Prodotto scalare| Il prodotto scalare tra due vettori \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\) è dato dalla formula:<math>\vec{AB} \cdot\vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math> Sostituendo i valori calcolati:<math>
L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la {{Tooltip|trigonometria vettoriale|Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math>e il punto <math>P7_{M}</math>:<math>\vec{AB} = P7_{M} - P1_{M}=(1148.2, -124.6) - (1164.1, -64.2) = (-15.9, -60.4)</math> Il vettore tra il punto 1<sub>Lm</sub> e il punto H₃:<math>\vec{AC} =H3_{M}-P1_{M}= (1165, 11.4) - (1164.1, -64.2) = (0.9, 75.6)</math>e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.|2}} ed {{Tooltip|il Prodotto scalare|Il prodotto scalare tra due vettori \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\) è dato dalla formula:<math>\vec{AB} \cdot\vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math> Sostituendo i valori calcolati:<math>
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15.9) \cdot (0.9) + (-60.4) \cdot (75.6) = -14.31 + (-4566.24) = -4580.55</math>|2}}
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15.9) \cdot (0.9) + (-60.4) \cdot (75.6) = -14.31 + (-4566.24) = -4580.55</math>|2}}.


====3. Calcolo delle norme====
==== 3. Calcolo delle norme====


Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:
Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:
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</math>
</math>


====4. Calcolo dell'angolo====
==== 4. Calcolo dell'angolo====


Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:
Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:
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Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.
Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo.


===1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare===
=== 1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare===


Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza).
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*<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>.
*<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>.


===2. Rotazione e Traslazione dei Condili===
=== 2. Rotazione e Traslazione dei Condili===


====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)====
====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)====
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con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva.
con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva.


===3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo===
=== 3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo===


Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo:
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo:
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*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo.
*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo.


===4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva===
=== 4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva===


Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo:
Line 176: Line 176:
Considerando il formalismo matematico e la complessità dei movimenti condilari, la domanda se esista un asse cerniera verticale "puro" si rivela più complessa di quanto possa sembrare a prima vista. In effetti, l’idea di un asse cerniera verticale puro, come una linea immutabile intorno alla quale la mandibola ruota esclusivamente in senso verticale, è difficilmente compatibile con la '''dinamica tridimensionale e coordinata dei condili'''.
Considerando il formalismo matematico e la complessità dei movimenti condilari, la domanda se esista un asse cerniera verticale "puro" si rivela più complessa di quanto possa sembrare a prima vista. In effetti, l’idea di un asse cerniera verticale puro, come una linea immutabile intorno alla quale la mandibola ruota esclusivamente in senso verticale, è difficilmente compatibile con la '''dinamica tridimensionale e coordinata dei condili'''.


=== Analisi della Purezza dell'Asse Cerniera ===
===Analisi della Purezza dell'Asse Cerniera===
La presenza di un asse cerniera puro presupporrebbe:
La presenza di un asse cerniera puro presupporrebbe:


# '''Rotazione perfettamente bilanciata''' dei condili, senza influenze reciproche tra loro.
#'''Rotazione perfettamente bilanciata''' dei condili, senza influenze reciproche tra loro.
# '''Assenza di movimenti traslatori''' o orbitali che interferiscano, imponendo variazioni direzionali sul tracciato dei punti di riferimento mandibolari, come i molari e gli incisivi.
#'''Assenza di movimenti traslatori''' o orbitali che interferiscano, imponendo variazioni direzionali sul tracciato dei punti di riferimento mandibolari, come i molari e gli incisivi.


Tuttavia, come emerso dalla nostra analisi:
Tuttavia, come emerso dalla nostra analisi:


* '''Il movimento orbitale del condilo mediotrusivo influenza passivamente il condilo laterotrusivo''', inducendo una componente retrusiva che modifica il tracciato del molare laterotrusivo e rende impossibile una rotazione esclusivamente verticale.
*'''Il movimento orbitale del condilo mediotrusivo influenza passivamente il condilo laterotrusivo''', inducendo una componente retrusiva che modifica il tracciato del molare laterotrusivo e rende impossibile una rotazione esclusivamente verticale.
* '''L’interazione reciproca tra i condili crea un effetto sinergico''', nel quale ciascun condilo non opera in isolamento ma è costretto a seguire un movimento composito, regolato da vincoli articolari e muscolari, che rende intrinsecamente asimmetrica la dinamica rotazionale.
*'''L’interazione reciproca tra i condili crea un effetto sinergico''', nel quale ciascun condilo non opera in isolamento ma è costretto a seguire un movimento composito, regolato da vincoli articolari e muscolari, che rende intrinsecamente asimmetrica la dinamica rotazionale.


=== Conclusione ===
===Conclusione===
Alla luce di queste osservazioni, la nozione di un asse cerniera verticale puro nella mandibola appare un’idealizzazione, utile in teoria per semplificare i modelli di movimento ma che raramente trova riscontro nella complessità anatomica e funzionale reale.
Alla luce di queste osservazioni, la nozione di un asse cerniera verticale puro nella mandibola appare un’idealizzazione, utile in teoria per semplificare i modelli di movimento ma che raramente trova riscontro nella complessità anatomica e funzionale reale.


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