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====Iter matematico per il calcolo dell'angolo==== | ====Iter matematico per il calcolo dell'angolo==== | ||
L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la{{Tooltip|trigonometria vettoriale Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math>e il punto <math>P7_{M}</math>:<math>\vec{AB} = P7_{M} - P1_{M}=(1148.2, -124.6) - (1164.1, -64.2) = (-15.9, -60.4)</math> Il vettore tra il punto 1<sub>Lm</sub> e il punto H₃:<math>\vec{AC} =H3_{M}-P1_{M}= (1165, 11.4) - (1164.1, -64.2) = (0.9, 75.6)</math>e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.|2}} ed {{Tooltip|il Prodotto scalare| Il prodotto scalare tra due vettori \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\) è dato dalla formula:<math>\vec{AB} \cdot\vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math> Sostituendo i valori calcolati:<math> | L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la {{Tooltip|trigonometria vettoriale|Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti: Il vettore tra il punto <math>P1_{M}</math>e il punto <math>P7_{M}</math>:<math>\vec{AB} = P7_{M} - P1_{M}=(1148.2, -124.6) - (1164.1, -64.2) = (-15.9, -60.4)</math> Il vettore tra il punto 1<sub>Lm</sub> e il punto H₃:<math>\vec{AC} =H3_{M}-P1_{M}= (1165, 11.4) - (1164.1, -64.2) = (0.9, 75.6)</math>e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.|2}} ed {{Tooltip|il Prodotto scalare|Il prodotto scalare tra due vettori \(\vec{AB}\) e \(\vec{AC}\) è dato dalla formula:<math>\vec{AB} \cdot\vec{AC} = AB_x \cdot AC_x + AB_y \cdot AC_y</math> Sostituendo i valori calcolati:<math> | ||
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15.9) \cdot (0.9) + (-60.4) \cdot (75.6) = -14.31 + (-4566.24) = -4580.55</math>|2}} | \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-15.9) \cdot (0.9) + (-60.4) \cdot (75.6) = -14.31 + (-4566.24) = -4580.55</math>|2}}. | ||
====3. Calcolo delle norme==== | ==== 3. Calcolo delle norme==== | ||
Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore: | Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore: | ||
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</math> | </math> | ||
====4. Calcolo dell'angolo==== | ==== 4. Calcolo dell'angolo==== | ||
Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: | Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: | ||
| Line 123: | Line 123: | ||
Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, possiamo sviluppare un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | ||
===1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare=== | === 1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare=== | ||
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | ||
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*<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>. | *<math>\mathbf{M}_L(t) = (x_{m_L}(t), y_{m_L}(t), z_{m_L}(t))</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t</math>. | ||
===2. Rotazione e Traslazione dei Condili=== | === 2. Rotazione e Traslazione dei Condili=== | ||
====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)==== | ====Condilo Laterotrusivo (Lavorante)==== | ||
| Line 152: | Line 152: | ||
con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva. | con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione che descrive la traiettoria orbitale mediotrusiva. | ||
===3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | === 3. Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ||
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo: | Il tracciato del punto molare laterotrusivo è condizionato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo che dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo, <math>\mathbf{M}_L(t)</math>, può essere modellata come la somma vettoriale della sua posizione iniziale e degli spostamenti dovuti a ciascun condilo: | ||
| Line 162: | Line 162: | ||
*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo. | *<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti che indicano l’influenza proporzionale dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo sul tracciato del punto molare laterotrusivo. | ||
===4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva=== | === 4. Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva=== | ||
Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | Per descrivere la componente lateroretrusiva, l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo introduce una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | ||
| Line 176: | Line 176: | ||
Considerando il formalismo matematico e la complessità dei movimenti condilari, la domanda se esista un asse cerniera verticale "puro" si rivela più complessa di quanto possa sembrare a prima vista. In effetti, l’idea di un asse cerniera verticale puro, come una linea immutabile intorno alla quale la mandibola ruota esclusivamente in senso verticale, è difficilmente compatibile con la '''dinamica tridimensionale e coordinata dei condili'''. | Considerando il formalismo matematico e la complessità dei movimenti condilari, la domanda se esista un asse cerniera verticale "puro" si rivela più complessa di quanto possa sembrare a prima vista. In effetti, l’idea di un asse cerniera verticale puro, come una linea immutabile intorno alla quale la mandibola ruota esclusivamente in senso verticale, è difficilmente compatibile con la '''dinamica tridimensionale e coordinata dei condili'''. | ||
=== Analisi della Purezza dell'Asse Cerniera === | ===Analisi della Purezza dell'Asse Cerniera=== | ||
La presenza di un asse cerniera puro presupporrebbe: | La presenza di un asse cerniera puro presupporrebbe: | ||
# '''Rotazione perfettamente bilanciata''' dei condili, senza influenze reciproche tra loro. | #'''Rotazione perfettamente bilanciata''' dei condili, senza influenze reciproche tra loro. | ||
# '''Assenza di movimenti traslatori''' o orbitali che interferiscano, imponendo variazioni direzionali sul tracciato dei punti di riferimento mandibolari, come i molari e gli incisivi. | #'''Assenza di movimenti traslatori''' o orbitali che interferiscano, imponendo variazioni direzionali sul tracciato dei punti di riferimento mandibolari, come i molari e gli incisivi. | ||
Tuttavia, come emerso dalla nostra analisi: | Tuttavia, come emerso dalla nostra analisi: | ||
* '''Il movimento orbitale del condilo mediotrusivo influenza passivamente il condilo laterotrusivo''', inducendo una componente retrusiva che modifica il tracciato del molare laterotrusivo e rende impossibile una rotazione esclusivamente verticale. | *'''Il movimento orbitale del condilo mediotrusivo influenza passivamente il condilo laterotrusivo''', inducendo una componente retrusiva che modifica il tracciato del molare laterotrusivo e rende impossibile una rotazione esclusivamente verticale. | ||
* '''L’interazione reciproca tra i condili crea un effetto sinergico''', nel quale ciascun condilo non opera in isolamento ma è costretto a seguire un movimento composito, regolato da vincoli articolari e muscolari, che rende intrinsecamente asimmetrica la dinamica rotazionale. | *'''L’interazione reciproca tra i condili crea un effetto sinergico''', nel quale ciascun condilo non opera in isolamento ma è costretto a seguire un movimento composito, regolato da vincoli articolari e muscolari, che rende intrinsecamente asimmetrica la dinamica rotazionale. | ||
=== Conclusione === | ===Conclusione=== | ||
Alla luce di queste osservazioni, la nozione di un asse cerniera verticale puro nella mandibola appare un’idealizzazione, utile in teoria per semplificare i modelli di movimento ma che raramente trova riscontro nella complessità anatomica e funzionale reale. | Alla luce di queste osservazioni, la nozione di un asse cerniera verticale puro nella mandibola appare un’idealizzazione, utile in teoria per semplificare i modelli di movimento ma che raramente trova riscontro nella complessità anatomica e funzionale reale. | ||