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Infine, formuliamo la nozione generale di strumento quantistico. Un superoperatore che agisce in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> è detto positivo se mappa in se stesso l'insieme degli operatori semidefiniti positivi. Osserviamo che, per ogni '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>''' dato da (13) si può considerare come mappa lineare positiva. | Infine, formuliamo la nozione generale di strumento quantistico. Un superoperatore che agisce in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> è detto positivo se mappa in se stesso l'insieme degli operatori semidefiniti positivi. Osserviamo che, per ogni '''<u><math>x,\Im_A(x)</math></u>''' dato da (13) si può considerare come mappa lineare positiva. | ||
Generalmente qualsiasi mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , dove per ogni <math>x</math>, la mappa <math>\Im_A(x)</math> è un superoperatore positivo è chiamata strumento quantistico di Davies-Lewis (Davies e Lewis, 1970). | Generalmente qualsiasi mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , dove per ogni <math>x</math>, la mappa <math>\Im_A(x)</math> è un superoperatore positivo è chiamata strumento quantistico di Davies-Lewis (Davies e Lewis, 1970).<ref>Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260 View Record in ScopusGoogle Scholar</ref> | ||
Qui l'indice <math display="inline">A</math> indica l'osservabile accoppiato a questo strumento. Le probabilità di <math display="inline">A</math>-risultati sono date dalla regola di Born nella forma (15) e dall'aggiornamento dello stato mediante trasformazione (14). Tuttavia, Yuen (1987) ha sottolineato che la classe degli strumenti Davies-Lewis è troppo generale per escludere strumenti fisicamente non realizzabili. Ozawa (1984) ha introdotto l'importante condizione aggiuntiva per garantire che ogni strumento quantistico sia fisicamente realizzabile. Questa è la condizione di completa positività. | Qui l'indice <math display="inline">A</math> indica l'osservabile accoppiato a questo strumento. Le probabilità di <math display="inline">A</math>-risultati sono date dalla regola di Born nella forma (15) e dall'aggiornamento dello stato mediante trasformazione (14). Tuttavia, Yuen (1987)<ref>Yuen, H. P., 1987. Characterization and realization of general quantum measurements. M. Namiki and others (ed.) Proc. 2nd Int. Symp. Foundations of Quantum Mechanics, pp. 360–363. Google Scholar</ref> ha sottolineato che la classe degli strumenti Davies-Lewis è troppo generale per escludere strumenti fisicamente non realizzabili. Ozawa (1984)<ref>Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref> ha introdotto l'importante condizione aggiuntiva per garantire che ogni strumento quantistico sia fisicamente realizzabile. Questa è la condizione di completa positività. | ||
Un superoperatore è detto ''completamente positivo'' se la sua estensione naturale <math display="inline">\jmath\otimes I</math> al prodotto tensoriale <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> è ancora un superoperatore positivo su <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Una mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , dove per ogni <math display="inline">x</math>, la mappa <math>\Im_A(x)</math> è un superoperatore completamente positivo è chiamato Davies-Lewis-Ozawa (Davies e Lewis, 1970, Ozawa, 1984) strumento quantistico o semplicemente strumento quantistico. Come vedremo nel paragrafo 4, la completa positività è una condizione sufficiente affinché uno strumento sia fisicamente realizzabile. D'altra parte, la necessità è derivata come segue (Ozawa, 2004). | Un superoperatore è detto ''completamente positivo'' se la sua estensione naturale <math display="inline">\jmath\otimes I</math> al prodotto tensoriale <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})=\mathcal{L}(\mathcal{H}\otimes\mathcal{H})</math> è ancora un superoperatore positivo su <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})\otimes\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Una mappa <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> , dove per ogni <math display="inline">x</math>, la mappa <math>\Im_A(x)</math> è un superoperatore completamente positivo è chiamato Davies-Lewis-Ozawa (Davies e Lewis, 1970,<ref>Davies E.B., Lewis J.T. An operational approach to quantum probability Comm. Math. Phys., 17 (1970), pp. 239-260 View Record in ScopusGoogle Scholar</ref> Ozawa, 1984<ref>Ozawa M. Quantum measuring processes for continuous observables. J. Math. Phys., 25 (1984), pp. 79-87. Google Scholar</ref>) strumento quantistico o semplicemente strumento quantistico. Come vedremo nel paragrafo 4, la completa positività è una condizione sufficiente affinché uno strumento sia fisicamente realizzabile. D'altra parte, la necessità è derivata come segue (Ozawa, 2004).<ref>Ozawa M. Uncertainty relations for noise and disturbance in generalized quantum measurements Ann. Phys., NY, 311 (2004), pp. 350-416</ref> | ||
Ogni osservabile <math display="inline">A</math> di un sistema <math display="inline">S</math> è identificato con lo <math display="inline">A\otimes I</math> osservabile di un sistema <math display="inline">S+S'</math> con qualsiasi sistema <math display="inline">S'</math> esterno a <math display="inline">S</math>.(10) Quindi, ogni strumento fisicamente realizzabile <math>\Im_A</math>misurando <math display="inline">A</math> dovrebbe essere identificato con lo strumento <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I | Ogni osservabile <math display="inline">A</math> di un sistema <math display="inline">S</math> è identificato con lo <math display="inline">A\otimes I</math> osservabile di un sistema <math display="inline">S+S'</math> con qualsiasi sistema <math display="inline">S'</math> esterno a <math display="inline">S</math>.(10) Quindi, ogni strumento fisicamente realizzabile <math>\Im_A</math>misurando <math display="inline">A</math> dovrebbe essere identificato con lo strumento <math display="inline">\Im_A{_\otimes}_I | ||