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3.4. Teoria generale (Davies–Lewis–Ozawa)

Infine, formuliamo la nozione generale di strumento quantistico. Un superoperatore che agisce in ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ è detto positivo se mappa in se stesso l'insieme degli operatori semidefiniti positivi. Osserviamo che, per ogni $x,\Im _{A}(x)$  dato da (13) si può considerare come mappa lineare positiva.

Generalmente qualsiasi mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , dove per ogni $x$, la mappa $\Im _{A}(x)$ è un superoperatore positivo è chiamata strumento quantistico di Davies-Lewis (Davies e Lewis, 1970).

Qui l'indice ${\textstyle A}$ indica l'osservabile accoppiato a questo strumento. Le probabilità di ${\textstyle A}$-risultati sono date dalla regola di Born nella forma (15) e dall'aggiornamento dello stato mediante trasformazione (14). Tuttavia, Yuen (1987) ha sottolineato che la classe degli strumenti Davies-Lewis è troppo generale per escludere strumenti fisicamente non realizzabili. Ozawa (1984) ha introdotto l'importante condizione aggiuntiva per garantire che ogni strumento quantistico sia fisicamente realizzabile. Questa è la condizione di completa positività.

Un superoperatore è detto completamente positivo se la sua estensione naturale ${\textstyle \jmath \otimes I}$ al prodotto tensoriale ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})={\mathcal {L}}({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})}$ è ancora un superoperatore positivo su ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Una mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , dove per ogni ${\textstyle x}$, la mappa $\Im _{A}(x)$ è un superoperatore completamente positivo è chiamato Davies-Lewis-Ozawa (Davies e Lewis, 1970, Ozawa, 1984) strumento quantistico o semplicemente strumento quantistico. Come vedremo nel paragrafo 4, la completa positività è una condizione sufficiente affinché uno strumento sia fisicamente realizzabile. D'altra parte, la necessità è derivata come segue (Ozawa, 2004).

Ogni osservabile ${\textstyle A}$ di un sistema ${\textstyle S}$ è identificato con lo ${\textstyle A\otimes I}$ osservabile di un sistema ${\textstyle S+S'}$ con qualsiasi sistema ${\textstyle S'}$ esterno a ${\textstyle S}$.(10) Quindi, ogni strumento fisicamente realizzabile $\Im _{A}$misurando ${\textstyle A}$ dovrebbe essere identificato con lo strumento  ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}}$ che misura ${\textstyle A{\otimes }I}$ tale che ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}(x)=\Im _{A}(x)\otimes I}$. Ciò implica che ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ è di nuovo un superoperatore positivo, quindi $\Im _{A}(x)$ è completamente positivo.

Allo stesso modo, qualsiasi strumento fisicamente realizzabile $\Im _{A}(x)$ misurando il sistema ${\textstyle S}$ dovrebbe avere il suo strumento esteso  ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ che misura il sistema ${\textstyle S+S'}$ per qualsiasi sistema esterno ${\textstyle S'}$. Questo è soddisfatto solo se  $\Im _{A}(x)$ è completamente positivo. Pertanto, la completa positività è una condizione necessaria affinché $\Im _{A}$ descrivi uno strumento fisicamente realizzabile.