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==Condilo Mediotrusivo== | |||
Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>/M_c</math>, e il segmento che unisce i punti <math>1M_c</math> e <math>R_pc</math>. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio. | |||
Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti <math> | |||
<Center> | <Center> | ||
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|- | |- | ||
!Tracciato masticatorio | !Tracciato masticatorio | ||
!Markers!!Distanza (mm) | !Markers!!Distanza | ||
(mm) | |||
!Direzione | |||
<math>X</math> | |||
(antero-posteriore) | |||
!Direzione | |||
<math>Y</math> | |||
(latero-mediale) | |||
|- | |- | ||
| rowspan="8" |[[File:Figura | | rowspan="8" |[[File:Figura 5. finale.jpg|center|400x400px]]'''Figura 6:''' | ||
|2||4.86||Protrusiva||Medializzazione | |2||4.86||Protrusiva||Medializzazione | ||
|- | |- | ||
| Line 36: | Line 39: | ||
</Center> | </Center> | ||
Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di 6.88 mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>14^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica, vedi {{Tooltip|2=Calcolo sintetico: vettore <math>\vec{AB} = (-15.9, -60.4)</math>, vettore<math>\vec{AC} = (0.2, 52.5)</math>, prodotto scalare <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3172.62</math>, norme <math>|\vec{AB}| = 62.93</math>, <math>|\vec{AC}| = 52.50</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{-3172.62}{62.93 \cdot 52.50} \approx-0.971</math>, <math>\theta =\arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>.}} | Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di <math>6.88</math>mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno <math>\theta = \arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di <math>14^\circ</math>, noto come '''Angolo di Bennett'''. Per approfondire la procedura matematica, vedi {{Tooltip|2=Calcolo sintetico: vettore <math>\vec{AB} = (-15.9, -60.4)</math>, vettore<math>\vec{AC} = (0.2, 52.5)</math>, prodotto scalare <math>\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3172.62</math>, norme <math>|\vec{AB}| = 62.93</math>, <math>|\vec{AC}| = 52.50</math>, <math>\cos(\theta) = \frac{-3172.62}{62.93 \cdot 52.50} \approx-0.971</math>, <math>\theta =\arccos(-0.971) \approx 166^\circ</math>.}} | ||
== | ===Discussione sulla rototraslazione condilari=== | ||
Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi. | Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi. | ||
Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come " | Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "Tragitto orbitante". | ||
'''Descrizione matematica''' | |||
Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente: | Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente: | ||
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*<math>(x_m, y_m)</math> rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale. | *<math>(x_m, y_m)</math> rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale. | ||
Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate <math>(x_m, y_m)</math> del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. | Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate <math>(x_m, y_m)</math> del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. Questo fenomeno ellittico si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica. | ||
Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa '''rotazione attorno all'asse verticale'''. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi. | |||
Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa rotazione attorno all'asse verticale. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi. | |||
È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. | È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti. | ||
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Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili. | ||
'''Conclusione'''[[File:Conica.jpg|300x300px|Figura 7:|right]]In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7 e approfondito nel prossimo paragrafo. | |||
=== Rappresentazione cinematica attraverso una conica=== | |||
== Rappresentazione cinematica attraverso una conica== | |||
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In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi. | ||
== La scelta della conica a 5 punti == | ==== La scelta della conica a 5 punti ==== | ||
La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. | La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale. | ||
'''Definizione della conica''' | |||
Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale: | |||
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | ||
Dove: | Dove: | ||
| Line 124: | Line 119: | ||
La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: | La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante: | ||
* Ellisse se <math>B^{2} - 4AC < 0</math> | |||
* Parabola se <math>B^{2} - 4AC = 0</math> | |||
* Iperbole se <math>B^{2} - 4AC > 0</math> | |||
'''Perché 5 punti?''' | |||
Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. | Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti. | ||
* Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati. | |||
* Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale. | |||
* Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare. | |||
== Costruzione delle coniche specifiche == | === Costruzione delle coniche specifiche === | ||
Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare | Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato: | ||
'''Conica del molare laterotrusivo''' | |||
La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del | |||
La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo | |||
* <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math> | * <math>P_{1} = (68.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math> | * <math>P_{2} = (58.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math> | * <math>P_{3} = (345.2, -844.5)</math> | ||
* <math>P_{4} = (255.7, -816)</math> | * <math>P_{4} = (255.7, -816)</math> | ||
* <math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math> | *<math>P_{5} = (509.6, -1139.9)</math> | ||
'''Conica dell'incisivo''' | |||
La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo': | |||
La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale | |||
* <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math> | * <math>P_{1} = (509.6, -1139.9)</math> | ||
* <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math> | * <math>P_{2} = (631.5, -1151.8)</math> | ||
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* <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | * <math>P_{4} = (58.3, -50.9)</math> | ||
* <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math> | * <math>P_{5} = (910.7, -856.2)</math> | ||
'''Conica del molare mediotrusivo''' | |||
La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave: | |||
La conica è stata generata per il | |||
* <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math> | * <math>P_{1} = (910.7, -856.2)</math> | ||
* <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math> | * <math>P_{2} = (818.8, -855.1)</math> | ||
| Line 162: | Line 158: | ||
* <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math> | * <math>P_{5} = (345.2, -844.5)</math> | ||
=== | === Costruzione della conica unificata === | ||
Per | Per ottenere una visione complessiva, abbiamo calcolato una 'conica unificata' a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree: | ||
<math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math> | <math>{\text{Coefficienti Conica Unificata}} = {\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{incisale}} + {\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}} + {\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}</math> | ||
L'equazione risultante è: | L'equazione risultante è: | ||
<math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | <math>Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0</math> | ||
(dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi). | (dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi). | ||
[[File:Conica.jpg|600x600px|.|center]] | [[File:Conica.jpg|600x600px|.|center]] | ||
'''Applicazione della conica per individuare punti cinematici''' | |||
Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto <math>7L_c </math> (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali. | |||
=== Riflessioni finali === | |||
La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto <math>7L_c </math>. | |||
==== Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica ==== | |||
'''Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale''' | |||
Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0</math> | |||
= | e il vettore posizione del molare laterotrusivo come <math>\mathbf{r}_{L_m}(t) = (x_{L_m}(t), y_{L_m}(t))</math>il discostarsi del vettore è determinato dal residuo: | ||
<math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math> | <math>R_{L_m} = A(x_{L_m})^2 + Bx_{L_m}y_{L_m} + C(y_{L_m})^2 + Dx_{L_m} + Ey_{L_m} + F</math> | ||
Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | Essendo <math>R_{L_m} \approx 0</math>, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica. | ||
'''Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)''' | |||
Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale. | |||
Questo | |||
Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da<math>R_{M_m} = A(x_{M_m})^2 + Bx_{M_m}y_{M_m} + C(y_{M_m})^2 + Dx_{M_m} + Ey_{M_m} + F</math> | |||
con<math>|R_{M_m}| > |R_{L_m}|</math>dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica. | |||
'''Vettore incisale''' | |||
Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da<math>R_I = A(x_I)^2 + Bx_Iy_I + C(y_I)^2 + Dx_I + Ey_I + F</math>con<math>|R_{L_m}| < |R_I| < |R_{M_m}|</math>dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale. | |||
== Conclusioni matematiche e geometriche == | === Conclusioni matematiche e geometriche{{Rosso inizio}}qui{{Rosso Fine}} === | ||
Il Molare laterotrusivo ipsilaterale**: | |||
- Il discostamento è minimo (<math>R_{L_m} \approx 0</math>) grazie al vincolo della traiettoria al movimento del condilo laterotrusivo. | - Il discostamento è minimo (<math>R_{L_m} \approx 0</math>) grazie al vincolo della traiettoria al movimento del condilo laterotrusivo. | ||