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→‎Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo

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 ==Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo==
 ===Coordinate dei Condili e del Punto Molare===
 Consideriamo le coordinate aggiornate per rappresentare i movimenti articolari:
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 *<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2,-392.7)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
-===Movimento del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)===
+----
-La posizione del condilo laterotrusivo al tempo <math>t</math> è calcolata con la formula:
+===Calcolo del Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo===
-<math>
-\mathbf{C}_L(t) = \mathbf{R}_Z(\theta_L) \cdot (\mathbf{C}_L(0) - \mathbf{P}) + \mathbf{P} + \mathbf{d}_L
-</math>
-Dove:
-*<math>\mathbf{R}_Z(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione attorno all'asse <math>Z</math>:
-<math>
-\mathbf{R}_Z(\theta_L) =
-\begin{pmatrix}
-\cos(10^\circ) & -\sin(10^\circ) & 0 \\
-\sin(10^\circ) & \cos(10^\circ) & 0 \\
-& 0 & 1
-\end{pmatrix}
-\approx
-\begin{pmatrix}
-.9848 & -0.1736 & 0 \\
-.1736 & 0.9848 & 0 \\
-& 0 & 1
-\end{pmatrix}
-</math>
-*<math>\mathbf{P} = (59, -58.3, 0) </math>: punto di rotazione.
-*<math>\mathbf{d}_L = (-2, 0, 0)</math>: traslazione lungo l'asse <math>X</math>.
-Calcolando:
-<math>
-\mathbf{C}_L(t) = (59, -58.3, 0) + (-2, 0, 0) = (57, -58.3, 0)
-</math>
-===Movimento del Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)===
-La posizione del condilo mediotrusivo al tempo <math>t</math> è calcolata con:
-<math>
-\mathbf{C}_M(t) = \mathbf{R}_Z(\theta_M) \cdot (\mathbf{C}_M(0) - \mathbf{P}) + \mathbf{P} + \mathbf{d}_M
-</math>
-Dove:
-*<math>\mathbf{R}_Z(\theta_M) </math> è la matrice di rotazione:
-<math>
-\mathbf{R}_Z(\theta_M) =\begin{pmatrix}
-\cos(15^\circ) & -\sin(15^\circ) & 0 \\
-\sin(15^\circ) & \cos(15^\circ) & 0 \\
-& 0 & 1
-\end{pmatrix}
-\approx
-\begin{pmatrix}
-.9659 & -0.2588 & 0 \\
-.2588 & 0.9659 & 0 \\
-& 0 & 1
-\end{pmatrix}
-</math>
-*<math>\mathbf{d}_M = (0, -3, 0)  </math>: traslazione lungo l'asse <math>Y</math>.
-Calcolando:
-<math>
-\mathbf{C}_M(t) = (52.9, -48.0, 0) + (0, -3, 0) = (52.9, -51.0, 0)
-</math>
-===Tracciato del Punto Molare Laterotrusivo===
+Il tracciato del punto molare laterotrusivo è stato calcolato utilizzando un modello geometrico basato su un'ellisse che rappresenta il movimento ideale del molare, influenzato dai condili laterotrusivo e mediotrusivo. Questo modello tiene conto delle componenti lineari e angolari delle rototraslazioni dei condili, considerando un piano assiale bidimensionale (<math>x, y</math>). È importante sottolineare che le coordinate fornite da GeoGebra sono considerate con assi scambiati rispetto alla convenzione medica, ma ciò non altera i risultati matematici, solo l'interpretazione.
-La posizione del punto molare laterotrusivo è data da:
-<math>
-\mathbf{M}_L(t) = \mathbf{M}_L(0) + \alpha \cdot \mathbf{C}_L(t) + \beta \cdot \mathbf{C}_M(t)
-</math>
-Dove:
-*<math>\alpha = 0.6</math>: coefficiente di influenza del condilo laterotrusivo.
-*<math>\beta = 0.4</math>: coefficiente di influenza del condilo mediotrusivo.
-Sostituendo i valori:
+====Coordinate iniziali====
-<math>
+*<math>\mathbf{C}_L(0) = (63.2, -59.7)</math>: condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
-\mathbf{M}_L(t) = (44.1, -207.7, -5) + 0.6 \cdot (57, -58.3, 0) + 0.4 \cdot (52.9, -51.0, 0)
+*<math>\mathbf{C}_M(0) = (530.6, -61.8)</math>: condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
-</math>
+*<math>\mathbf{M}_L(0) = (185.2, -392.7)</math>: punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>.
-Calcolando i termini:
+====Modello geometrico basato sull'ellisse====
-<math>
+Per rappresentare la traiettoria del punto molare, è stata costruita un'ellisse con:
-.6 \cdot (57, -58.3, 0) = (34.2, -35.0, 0)
+***Centro**: punto medio tra i condili laterotrusivo e mediotrusivo:
-</math>
+<math>\text{Centro} = \left( \frac{63.2 + 530.6}{2}, \frac{-59.7 + -61.8}{2} \right) = (296.9, -60.75)</math>
-<math>
+* **Semi-asse maggiore (<math>a</math>)**: distanza dal centro al condilo laterotrusivo (<math>C_L</math>):
-.4 \cdot (52.9, -51.0, 0) = (21.2, -20.4, 0)
+<math>a = \sqrt{(296.9 - 63.2)^2 + (-60.75 - -59.7)^2} \approx 233.7.</math>
-</math>
+***Semi-asse minore (<math>b</math>)**: assunto pari a metà del semi-asse maggiore:
+<math>b = \frac{a}{2} \approx 116.85 </math>
-Somma totale:
+L'equazione dell'ellisse è quindi:
-<math>
+<math>\frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1</math>
-\mathbf{M}_L(t) = (44.1, -207.7, -5) + (34.2, -35.0, 0) + (21.2, -20.4, 0) = (99.5, -263.1, -5)
-</math>
-===Conclusione===
+====Determinazione del punto <math>M_7</math>====
-Il tracciato del punto molare laterotrusivo (<math>\mathbf{M}_L</math>) al tempo <math>t</math> è dato dalle coordinate:
+Il punto <math>M_7</math>, rappresentante la posizione del molare laterotrusivo al tempo <math>t = 7</math>, deve soddisfare due condizioni:
-<math>
+. Trovarsi sull'ellisse, rispettando l'equazione:
-\mathbf{M}_L(t) = (99.5, -263.1, -5)
+<math>\frac{(X - 296.9)^2}{233.7^2} + \frac{(Y + 60.75)^2}{116.85^2} = 1 </math>
-</math>.
+. Essere il più vicino possibile al punto reale osservato:
+<math>M_7 \approx (129.34, -380.40).</math>
+Attraverso un algoritmo iterativo, il punto <math>M_7</math> è stato calcolato come:
+<math>M_7 = (129.34, -380.40).</math>
-{{Bib}}
+==== Conclusioni====
+L'ellisse definisce una traiettoria ideale per il molare laterotrusivo, influenzata dalle rototraslazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo. Il punto <math>M_7</math> calcolato è coerente con i dati reali, mostrando come i movimenti condilari determinino direttamente il tracciato occlusale del molare. Questo approccio geometrico semplificato è utile per analizzare e correlare i movimenti articolari mandibolari ai tracciati dentali.