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Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | ||
== | ==Coordinate dei Condili e del Punto Molare== | ||
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale | |||
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale: | |||
*Asse <math>X</math>: orientamento antero-posteriore. | |||
*Asse <math>Y</math>: lateralità. | |||
*Asse <math>Z</math>: altezza. | |||
Definiamo: | Definiamo: | ||
*<math>\mathbf{C}_L( | *<math>\mathbf{C}_L(0) = (0, 10, 0) </math>: coordinate del condilo laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>. | ||
*<math>\mathbf{C}_M( | *<math>\mathbf{C}_M(0)= (0, -10, 0) </math>: coordinate del condilo mediotrusivo al tempo <math>t = 0</math>. | ||
*<math>\mathbf{M}_L( | * <math>\mathbf{M}_L(0) = (5, 5, -5)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>. | ||
--- | |||
''' | == Rotazione e Traslazione dei CondiliCondilo Laterotrusivo (Lavorante)== | ||
Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di: | |||
***Rotazione laterale** con angolo <math>\theta_L</math> rispetto all’asse verticale <math>Z</math>. | |||
***Traslazione retrusiva** lungo l'asse <math>X</math>, rappresentata da <math>\mathbf{d}_L </math>. | |||
'''Rotaizone e traslazione dei condili''' | |||
'''Condilo | '''Condilo laterotrusivo (lavorante)''' | ||
Se il moto è piano e la rotazione avviene attorno a un punto <math>\mathbf{P}</math> che non coincide con l'origine, la posizione del condilo laterotrusivo al tempo <math>t</math> è data da: | |||
<math> | <math> | ||
\mathbf{C}_L(t)= \mathbf{ | \mathbf{C}_L(t) = \mathbf{R}_Z(\theta_L) \cdot (\mathbf{C}_L(0) - \mathbf{P}) + \mathbf{P} + \mathbf{d}_L | ||
</math> | </math> | ||
Dove: | |||
*<math>\mathbf{R}_Z(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione attorno all’asse <math>Z</math>, definita come: | |||
<math> | |||
\mathbf{R}_Z(\theta_L) = | |||
\begin{pmatrix} | |||
\cos(\theta_L) & -\sin(\theta_L) & 0 \\ | |||
\sin(\theta_L) & \cos(\theta_L) & 0 \\ | |||
0 & 0 & 1 | |||
\end{pmatrix} | |||
</math> | |||
<math>\mathbf{P}</math> è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio l'origine) | |||
<math>\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)</math> rappresenta la traslazione retrusiva lungo l'asse <math>X</math>. | |||
'''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)''' | '''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)''' | ||
Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>: | Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante più complesso, che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>. | ||
Se il moto è spaziale, si utilizza la 'formula di Rodrigues'. La posizione del condilo mediotrusivo al tempo <math>t</math> è data da: | |||
<math> | <math> | ||
\mathbf{C}_M(t) = \mathbf{C}_M(0) + | \mathbf{C}_M(t) = \mathbf{R} \cdot \mathbf{C}_M(0) + \mathbf{d}_M | ||
</math> | </math> | ||
'''Formula di Rodrigues''' | |||
Se la rotazione avviene nello spazio tridimensionale attorno a un asse arbitrario, la formula di Rodrigues si applica come segue: | |||
<math> | |||
\mathbf{v}_{rot} = \mathbf{v} \cos(\theta) + (\mathbf{k} \times \mathbf{v}) \sin(\theta) + \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})(1 - \cos(\theta)) | |||
</math> | |||
Dove: | |||
*<math>\mathbf{v}</math> è il vettore da ruotare. | |||
*<math>\mathbf{k}</math> è il versore dell’asse attorno al quale avviene la rotazione. | |||
*<math>\theta</math> è l’angolo di rotazione. | |||
'''Applicazione''' | |||
Nel nostro caso, per un moto spaziale: | |||
*<math>\mathbf{k} = (0, 0, 1)</math> per una rotazione attorno all’asse <math>Z</math>. | |||
*<math>\mathbf{v} = \mathbf{C}_M(0) - \mathbf{P}</math>, con <math>\mathbf{P}</math> punto di riferimento. | |||
*La traslazione <math>\mathbf{d}_M </math> descrive il movimento orbitante e mediale. | |||
'''Conclusione''' | |||
La descrizione del movimento dei condili deve essere adattata al contesto: | |||
* Moto piano: Utilizzare la formula per rotazioni attorno a un punto non coincidente con l'origine. | |||
*Moto spaziale: Adottare la formula di Rodrigues per rotazioni tridimensionali attorno a un asse arbitrario. | |||
Entrambi i metodi garantiscono una rappresentazione accurata dei movimenti combinati di rotazione e traslazione. | |||
===Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ===Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ||
| Line 48: | Line 100: | ||
dove: | dove: | ||
*<math>R(\theta_L)</math> rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo, | *<math>R(\theta_L)</math> rappresenta la rotazione laterale del condilo laterotrusivo, | ||
*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili. | * <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili. | ||
'''Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva''' | '''Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva''' | ||
Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una | Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una elemento vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | ||
<math> | <math> | ||
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dove: | dove: | ||
*<math>\beta'</math> e <math>\alpha'</math> sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo, | *<math>\beta'</math> e <math>\alpha'</math> sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo, | ||
*<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse <math>Z</math>. | * <math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse <math>Z</math>. | ||
===Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive=== | ===Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive=== | ||
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Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue: | Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue: | ||
1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un ' | 1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'asse fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo. | ||
2. Le | 2. Le relazioni cinematiche dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro o asse fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali. | ||
Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico. | Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico. | ||
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A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica: | A questo punto la faccenda sembrerebbe contorta ed incomprensibile rimanendo la solita domanda Amletica: | ||
[[File:Question 2.jpg|left|100x100px]] | [[File:Question 2.jpg|left|100x100px]] | ||
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