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> Nota: Le coordinate sono riferite alla proiezione nel piano <math> (X,Y) </math>, e i valori decimali rappresentano la posizione stimata mediante interpolazione. | > Nota: Le coordinate sono riferite alla proiezione nel piano <math> (X,Y) </math>, e i valori decimali rappresentano la posizione stimata mediante interpolazione. | ||
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==Cinematica dei Condili == | ==Cinematica dei Condili== | ||
'''Traslazioni e Rotazioni dei Condili'''{{Tooltip|2='''Spiegazione del Movimento''': In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.'''Esempio di Movimento''' *Il '''condilo laterotrusivo''' non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math>, influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.'''Conclusione''' Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le '''posizioni, velocità e accelerazioni''' dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.}} | '''Traslazioni e Rotazioni dei Condili'''{{Tooltip|2='''Spiegazione del Movimento''': In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.'''Esempio di Movimento''' *Il '''condilo laterotrusivo''' non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math>, influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.'''Conclusione''' Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le '''posizioni, velocità e accelerazioni''' dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.}} | ||
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Dove: | Dove: | ||
*<math>X_l(t), Y_l(t), Z_l(t)</math>: Rappresentano gli '''spostamenti lineari''' del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano: | *<math>X_l(t), Y_l(t), Z_l(t)</math>: Rappresentano gli '''spostamenti lineari''' del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano: | ||
**<math>X_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro). | **<math>X_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro). | ||
**<math>Y_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra). | **<math>Y_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra). | ||
**<math>Z_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso) | **<math>Z_l(t)</math>: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso) | ||
*<math>\theta_l(t), \phi_l(t), \psi_l(t)</math>: Sono le | ** <math>\theta_l(t)</math>, <math>\phi_l(t)</math>, <math>\psi_l(t)</math>: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi del sistema di riferimento cartesiano scelto. Queste rotazioni rappresentano il cambiamento di orientamento del condilo nello spazio, descritto utilizzando la convenzione degli angoli di Eulero. È fondamentale notare che le rotazioni non sono commutative, e quindi l'ordine in cui avvengono le rotazioni deve essere specificato per garantire una descrizione univoca. | ||
Nel nostro caso, adottiamo la convenzione <math>X,Y,Z</math> che descrive le rotazioni nel seguente ordine: | |||
*<math>\theta_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>x</math> (causa una torsione laterale della mandibola). | |||
* <math>\phi_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>y</math> (controlla l'apertura e la chiusura della mandibola). | |||
*<math>\psi_l(t)</math>: Rotazione attorno all'asse <math>z</math> (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola). | |||
Questa sequenza di rotazioni consente di determinare in modo univoco l'orientamento del condilo nello spazio, evitando ambiguità derivanti dalla non-commutatività delle rotazioni angolari. | |||
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'''Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)''' | '''Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)''' | ||
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*<math>X_m(t), Y_m(t), Z_m(t)</math>: Sono gli '''spostamenti lineari''' del condilo mediotrusivo: | *<math>X_m(t), Y_m(t), Z_m(t)</math>: Sono gli '''spostamenti lineari''' del condilo mediotrusivo: | ||
**<math>X_m(t)</math>: Spostamento antero-posteriore. | **<math>X_m(t)</math>: Spostamento antero-posteriore. | ||
** <math>Y_m(t)</math>: Spostamento latero-mediale. | **<math>Y_m(t)</math>: Spostamento latero-mediale. | ||
**<math>Z_m(t)</math>: Spostamento verticale. | **<math>Z_m(t)</math>: Spostamento verticale. | ||
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La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse <math>Z</math> (verticale) | ==Rotazione del Condilo Laterotrusivo== | ||
La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse <math>Z</math> (verticale) è descritta matematicamente utilizzando una trasformazione lineare nel piano trasversale <math>(X, Y)</math>. Questa trasformazione è rappresentata dalla seguente matrice di rotazione: | |||
<math> | <math> | ||
R_ | R_\psi = \begin{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | \cos(\psi) & -\sin(\psi) \\ | ||
\cos(\psi) -\sin(\psi) | \sin(\psi) & \cos(\psi) | ||
\sin(\psi) | \end{pmatrix} | ||
\cdot | |||
\begin{pmatrix} | |||
X_L \\ | |||
Y_L | |||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
Dove: | |||
*<math>\psi</math> rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse <math>Z</math> (asse verticale). | |||
*<math>(X_L, Y_L)</math> sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale. | |||
<math> | Questo descrive il cambiamento di posizione del condilo laterotrusivo nel piano <math>(X, Y)</math> dovuto alla rotazione angolare. | ||
</math> | |||
==Traslazione del Condilo Mediotrusivo== | |||
Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione nello spazio tridimensionale, lungo i piani trasversale e sagittale, generando un tragitto noto come "tragitto orbitante". La traslazione è descritta dal seguente vettore: | |||
Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione lungo | |||
<math> | <math> | ||
T_M(t) = | T_M(t) =\begin{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | X_M(t) \\ | ||
X_M(t) \\ | Y_M(t) \\ | ||
Y_M(t) \\ | Z_M(t) | ||
Z_M(t) | |||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
Dove: | |||
*<math>(X_M(t), Y_M(t), Z_M(t))</math> rappresentano le coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano tridimensionale. | |||
<blockquote>Questa traslazione rappresenta il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo. Inoltre, il condilo mediotrusivo può anche incorporare una rotazione attorno all'asse <math>Z</math> (asse verticale), influenzando significativamente la dinamica complessiva del ciclo masticatorio. | |||
Da qui possiamo procedere con l'analisi combinata degli spostamenti lineari e angolari, descrivendo in modo completo il moto sia dei condili (laterotrusivo e mediotrusivo) che dei punti di riferimento principali come molare e incisivo.</blockquote> | |||
Da qui possiamo | |||