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(Created page with "===3.3. Non-projective state update: atomic instruments=== In general, the statistical properties of any measurement are characterized by # the output probability distribution <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math>, the probability distribution of the output <math display="inline">x</math> of the measurement in the input state <math display="inline">\rho </math>; # the quantum state reduction <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)} </ma...")
 
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===3.3. Non-projective state update: atomic instruments===
===3.3. Aggiornamento dello stato non proiettivo: strumenti atomici===
 
In generale, le proprietà statistiche di qualsiasi misurazione sono caratterizzate da:
 
# la distribuzione di probabilità dell'output <math display="inline">Pr\{\text{x}=x\parallel\rho\}</math>, la distribuzione di probabilità dell'output <math display="inline">x</math>  della misurazione nello stato di input <math display="inline">\rho
</math>
# la riduzione dello stato quantico <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math>, il cambiamento di stato dallo stato di ingresso <math display="inline">\rho
</math>  allo stato di uscita <math display="inline">\rho\rightarrow\rho_{(X=x)}
</math> condizionato al risultato <math display="inline">\text{X}=x
</math> della misurazione.
 


In general, the statistical properties of any measurement are characterized by
In general, the statistical properties of any measurement are characterized by
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</math> of the measurement.
</math> of the measurement.


In von Neumann’s formulation, the statistical properties of any measurement of an observable  is uniquely determined by Born’s rule (5) and the projection postulate (6), and they are represented by the map (9), an instrument of von Neumann type. However, von Neumann’s formulation does not reflect the fact that the same observable <math>A</math> represented by the Hermitian operator <math>\hat{A}</math> in <math display="inline">\mathcal{H}</math> can be measured in many ways.8 Formally, such measurement-schemes are represented by quantum instruments.
Nella formulazione di von Neumann, le proprietà statistiche di qualsiasi misura di un osservabile  sono determinate in modo univoco dalla regola di Born (5) e dal postulato della proiezione (6), e sono rappresentate dalla mappa (9), uno strumento di tipo von Neumann. Tuttavia, la formulazione di von Neumann non riflette il fatto che lo stesso  osservabile <math>A</math> rappresentato dall'operatore hermitiano <math>\hat{A}</math> può essere misurato in molti modi.(8) Formalmente, tali schemi di misurazione sono rappresentati da strumenti quantistici.
 
Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come ''strumenti atomici''. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM è una mappa <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> tale che per ogni <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato ''effetto'') (ovvero <math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> o qualsiasi <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>) e la condizione di normalizzazione <math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>
 


Now, we consider the simplest quantum instruments of non von Neumann type, known as ''atomic instruments.'' We start with recollection of the notion of POVM (probability operator valued measure); we restrict considerations to POVMs with a discrete domain of definition <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM is a map <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> such that for each <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  is a positive contractive Hermitian operator (called effect) (i.e.,<math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> or any <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>), and the normalization condition  
Now, we consider the simplest quantum instruments of non von Neumann type, known as ''atomic instruments.'' We start with recollection of the notion of POVM (probability operator valued measure); we restrict considerations to POVMs with a discrete domain of definition <math display="inline">X=\{x_1....,x_N.....\}</math>. POVM is a map <math display="inline">x\rightarrow \hat{D}(x)</math> such that for each <math display="inline">x\in X</math>,<math>\hat{D}(x)</math>  is a positive contractive Hermitian operator (called effect) (i.e.,<math display="inline">\hat{D}(x)^*=\hat{D}(x), 0\leq \langle\psi|\hat{D}(x)\psi\rangle\leq1</math> or any <math display="inline">\psi\in\mathcal{H}</math>), and the normalization condition  


<math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>  
<math display="inline">\sum_x \hat{D}(x)=I</math>, dove <math display="inline">I</math> è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> sia data da 
 
holds, where <math display="inline">I</math> 
is the unit operator. It is assumed that for any measurement, the output probability distribution <math display="inline">Pr\{\text{x}=x||\rho\}</math> is given by


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Line 28: Line 39:




where <math display="inline"> \hat{D}(x)</math>  is a POVM. For atomic instruments, it is assumed that effects are represented concretely in the form
dove <math display="inline"> \hat{D}(x)</math>  è un POVM. Per gli strumenti atomici si presume che gli effetti siano rappresentati concretamente nella forma 


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where <math display="inline"> {V}(x)</math> is a linear operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Hence, the normalization condition has the form <math display="inline">\sum_x V(x)^*V(x)=I</math>.9 The Born rule can be written similarly to (5):  
dove <math display="inline"> {V}(x)</math> è un operatore lineare in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Quindi, la condizione di normalizzazione ha la forma <math display="inline">\sum_x V(x)^*V(x)=I</math>.(9) La regola Born può essere scritta in modo simile a (5):


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Line 47: Line 58:
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It is assumed that the post-measurement state transformation is based on the map:  
Si presume che la trasformazione dello stato post-misurazione sia basata sulla mappa:  


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Line 56: Line 67:
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so the quantum state reduction is given by
quindi la riduzione dello stato quantico è data da


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Line 66: Line 77:




The map <math>x\rightarrow\mathcal{L_A(x)}</math> given by (13) is an atomic quantum instrument. We remark that the Born rule (12) can be written in the form
La mappa <math>x\rightarrow\mathcal{L_A(x)}</math> data da (13) è uno strumento quantistico atomico. Osserviamo che la regola di Born (12) può essere scritta nella forma 


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Let <math>\hat{A}</math> be a Hermitian operator in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Consider a POVM <math display="inline"> \hat{D}=\biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> with the domain of definition given by the spectrum of <math>\hat{A}</math>. This POVM represents a measurement of observable <math>A</math>  if Born’s rule holds:  
Sia <math>\hat{A}</math> un operatore Hermitiano in <math display="inline">\mathcal{H}</math>. Considera un POVM <math display="inline"> \hat{D}=\biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math>con il dominio di definizione dato dallo spettro di <math>\hat{A}</math>. Questo POVM rappresenta una misura di <math>A</math> osservabile se vale la regola di Born:


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Line 86: Line 97:




Thus, in principle, probabilities of outcomes are still encoded in the spectral decomposition of operator  <math>\hat{A}</math> or in other words operators <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> should be selected in such a way that they generate the probabilities corresponding to the spectral decomposition of the symbolic representation <math>\hat{A}</math> of observables <math>A</math>, i.e.,<math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math>  is uniquely determined by<math>\hat{A}</math> as <math display="inline"> \hat{D}^A(x)=\hat{E}^A(x)</math>. We can say that this operator carries only information about the probabilities of outcomes, in contrast to the von Neumann scheme, operator <math>\hat{A}</math> does not encode the rule of the state update. For an atomic instrument, measurements of the observable <math>A</math> has the unique output probability distribution by the Born’s rule (16), but has many different quantum state reductions depending of the decomposition of the effect <math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{E}^A(x)=V(x)^*V(x)</math> in such a way that
Pertanto, in linea di principio, le probabilità dei risultati sono ancora codificate nella scomposizione spettrale dell'operatore <math>\hat{A}</math> o in altre parole gli operatori <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> dovrebbero essere selezionati in modo tale da generare le probabilità corrispondenti alla scomposizione spettrale della rappresentazione simbolica <math>\hat{A}</math> delle osservabili <math>A</math>, ovvero, <math display="inline"> \biggl(\hat{D}^A(x)\Biggr)</math> è univocamente determinato da <math>\hat{A}</math> come <math display="inline"> \hat{D}^A(x)=\hat{E}^A(x)</math>.
 
Possiamo dire che questo operatore contiene solo informazioni sulle probabilità dei risultati, contrariamente allo schema di von Neumann, l'operatore <math>\hat{A}</math> non codifica la regola dell'aggiornamento dello stato. Per uno strumento atomico, le misurazioni dell'osservabile <math>A</math> hanno l'unica distribuzione di probabilità di output secondo la regola di Born (16), ma hanno molte diverse riduzioni dello stato quantico a seconda della scomposizione dell'effetto <math display="inline"> \hat{D}(x)=\hat{E}^A(x)=V(x)^*V(x)</math> in modo tale che 


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Gianni
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