G.F.: Modellazione quantistica in biologia con sistemi e strumenti quantistici aperti

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Free resource by Irina Basieva  · Andrei Khrennikov · Masanao Ozawa

Irina Basieva^a, Andrei Khrennikov^a, Masanao Ozawa^b,c

^aLinnaeus University, International Center for Mathematical Modeling in Physics and Cognitive Sciences Växjö, SE-351 95, Sweden

^bCollege of Engineering, Chubu University, 1200 Matsumoto-cho, Kasugai 487-8501, Japan

^cGraduate School of Informatics, Nagoya University, Chikusa-ku, Nagoya 464-8601, Japan

Abstract

Presentiamo il nuovo approccio alla modellazione matematica dei processi informativi nei biosistemi. Si esplora il formalismo matematico e la metodologia della teoria quantistica, in particolare la teoria della misurazione quantistica. Questo approccio è noto come simil-quantistico e dovrebbe essere distinto dallo studio dei veri processi fisici quantistici nei biosistemi (biofisica quantistica, cognizione quantistica). Si basa sulla rappresentazione della 'informazione quantistica' dello stato del biosistema e sulla modellizzazione della sua dinamica nel quadro della teoria dei sistemi quantistici aperti. Questo articolo inizia con la presentazione non-fisica della teoria della misurazione quantistica, dalla formulazione originale di von Neumann alla moderna teoria degli strumenti quantistici. Quindi, quest'ultimo viene applicato alla combinazioni dei modello di effetti cognitivi, alla regolazione genica del metabolismo del glucosio/lattosio nel batterio Escherichia coli. La costruzione più generale degli strumenti quantistici si basa sullo schema della misura indiretta, in quanto l'apparato di misura svolge il ruolo di ambiente per un biosistema. L'essenza biologica di questo schema è illustrata dalla formalizzazione quantistica della teoria della sensazione-percezione di Helmholtz. Quindi passiamo alla dinamica dei sistemi aperti e consideriamo l'equazione master quantistica, concentrandoci sui processi quantistici di Markov. In questo quadro, modelliamo il funzionamento di funzioni biologiche come le funzioni psicologiche e la mutazione epigenetica.

Keywords

Formalismo matematico della meccanica quantistica, Sistemi quantistici aperti, Strumenti quantistici, Dinamica quantistica di Markov, Regolazione genica, Effetti psicologici, Cognizione, Mutazione epigenetica, Funzioni biologiche

Introduzione

I metodi matematici standard furono originariamente sviluppati per servire la fisica classica. L'analisi reale servì come base matematica della meccanica newtoniana (Newton, 1687) (e più tardi del formalismo Hamiltoniano); la meccanica statistica classica stimolò l'approccio della teoria della misura alla teoria della probabilità, formalizzata nell'assiomatica di Kolmogorov (Kolmogorov, 1933). Tuttavia, il comportamento dei sistemi biologici differisce essenzialmente dal comportamento dei sistemi meccanici, ad esempio corpi rigidi, molecole di gas o fluidi. Pertanto, sebbene la "matematica classica" svolga ancora il ruolo cruciale nella modellazione biologica, sembra che non possa descrivere completamente la ricca complessità dei biosistemi e le peculiarità del loro comportamento, rispetto ai sistemi meccanici. Sono disponibili nuovi metodi matematici per la modellazione dei biosistemi.(a,b)

In questo articolo, presentiamo le applicazioni del formalismo matematico della meccanica quantistica e la sua metodologia per modellare il comportamento dei biosistemi. (c) Gli ultimi anni sono stati caratterizzati da un'esplosione di interesse per le applicazioni della teoria quantistica al di fuori della fisica, in particolare nella psicologia cognitiva, processo decisionale, elaborazione delle informazioni nel cervello, biologia molecolare, genetica ed epigenetica e teoria dell'evoluzione. Chiamiamo i modelli corrispondenti simil-quantistico. Non sono diretti alla modellazione a micro-livello di processi fisici quantistici reali nei biosistemi, ad esempio nelle cellule o nel cervello (cfr. con applicazioni biologiche della teoria fisica quantistica genuina di Penrose 1989, Umezawa 1993, Hameroff 1994, Vitiello 1995, Vitiello 2001, Arndt et al., 2009, Bernroider e Summhammer 2012, Bernroider 2017). La modellazione quantistica funziona dal punto di vista della teoria quantistica come teoria della misurazione. Questo è il punto di vista originale di Bohr che ha portato all'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica (vedi Plotnitsky, 2009 per una presentazione dettagliata e chiara delle opinioni di Bohr). Una delle principali biospecialità è la considerazione delle auto-misurazioni che i biosistemi effettuano su se stessi. Nella nostra modellizzazione, la capacità di eseguire auto-misurazioni è considerata la caratteristica di base delle funzioni biologiche (vedi Sezione 8.2 e documento Khrennikov et al., 2018).

I modelli quantistici (Khrennikov, 2004b) riflettono le caratteristiche dei processi biologici che corrispondono naturalmente al formalismo quantistico. In tale modellazione, è utile esplorare la teoria dell'informazione quantistica, che può essere applicata non solo al micro-mondo dei sistemi quantistici. In generale, i sistemi che elaborano le informazioni in modo quantistico non devono necessariamente essere sistemi fisici quantistici; in particolare, possono essere biosistemi macroscopici. Sorprendentemente, la stessa teoria matematica può essere applicata a tutte le scale biologiche: dalle proteine, cellule e cervelli all'uomo e agli ecosistemi; possiamo parlare di biologia dell'informazione quantistica (Asano et al., 2015a).

Nella modellazione quantistica, la teoria quantistica è considerata come calcolo per la previsione e la trasformazione delle probabilità. Il calcolo della probabilità quantistica (QP) (Sezione 2) differisce essenzialmente dal calcolo della probabilità classica (CP) basato sull'assiomatica di Kolmogorov (Kolmogorov, 1933). In CP, gli stati dei sistemi casuali sono rappresentati da misure di probabilità e osservabili da variabili casuali; in QP, gli stati dei sistemi casuali sono rappresentati da vettori normalizzati in uno spazio di Hilbert complesso (stati puri) o generalmente da operatori di densità (stati misti).

Le sovrapposizioni rappresentate da stati puri sono usate per modellare l'incertezza che non è ancora risolta da una misura.

Figura 1: Illustrazione per la rappresentazione quantistica dell'incertezza generata dal potenziale d'azione del neurone (originariamente pubblicata in Khrennikov et al. 2018)

L'uso delle sovrapposizioni in biologia è illustrato dalla Fig. 1 (vedi Sezione 10 e documento Khrennikov et al., 2018 per il modello corrispondente). L'aggiornamento QP risultante da un'osservazione si basa sul postulato di proiezione o trasformazioni più generali degli stati quantistici, nel quadro della teoria degli strumenti quantistici (Davies e Lewis, 1970, Davies, 1976, Ozawa, 1984, Yuen, 1987, Ozawa , 1997, Ozawa, 2004, Okamura e Ozawa, 2016) (Sezione 3).

Sottolineiamo che la modellazione quantistica eleva il ruolo di convenienza e semplicità della rappresentazione quantistica di stati e osservabili. (Ignoriamo pragmaticamente il problema dell'interrelazione di CP e QP.)

In particolare, lo spazio degli stati quantistici ha la struttura lineare e i modelli lineari sono più semplici. La transizione dalla dinamica classica non lineare dei processi elettrochimici nei biosistemi alla dinamica lineare quantistica accelera essenzialmente l'evoluzione dello stato (Sezione 8.4).

Tuttavia, in questo quadro "stato" è lo stato di informazione quantistica di un biosistema utilizzato per l'elaborazione di un'incertezza quantistica speciale (Sezione 8.2).

Osservazioni

Nei libri di testo sulla meccanica quantistica, viene comunemente sottolineato che la principale caratteristica distintiva della teoria quantistica è la presenza di osservabili incompatibili. Ricordiamo che due osservabili $A$ e $B$ sono incompatibili se è impossibile attribuire loro valori congiuntamente. Nel modello probabilistico, questo porta all'impossibilità di determinare la loro distribuzione di probabilità congiunta (JPD). Gli esempi di base di osservabili incompatibili sono la posizione e la quantità di moto di un sistema quantistico o le proiezioni di spin (o polarizzazione) su assi diversi. Nel formalismo matematico, l'incompatibilità è descritta come non commutatività degli operatori Hermitiani ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ che rappresentano osservabili, cioè,$[{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0$

Qui ci riferiamo al modello originale e ancora di base e ampiamente utilizzato di osservabili quantistici, Von Neumann 1955 (Sezione 3.2).

L'incompatibilità-non commutatività è ampiamente utilizzata nella fisica quantistica e le osservabili fisiche di base, come le proiezioni di posizione e quantità di moto, spin e polarizzazione, sono tradizionalmente rappresentate in questo paradigma, da operatori Hermitiani. Indichiamo anche numerose applicazioni di questo approccio ai processi cognitivi, alla psicologia, al processo decisionale (Khrennikov, 2004a, Busemeyer e Bruza, 2012, Bagarello, 2019) (si veda in particolare l'articolo (Bagarello et al., 2018) che è dedicato alla quantificazione del Relazioni di incertezza di Heisenberg nel processo decisionale). Tuttavia, potrebbe non essere abbastanza generale per il nostro scopo: alla modellazione quantistica in biologia, nessun tipo di biostatistica non classica può essere facilmente delegata al modello di osservazione di von Neumann. Ad esempio, anche gli effetti cognitivi di base non possono essere descritti in modo coerente con il modello di osservazione standard (Khrennikov et al., 2014, Basieva e Khrennikov, 2015).

Esploreremo una teoria più generale delle osservazioni basata su strumenti quantistici (Davies e Lewis, 1970, Davies, 1976, Ozawa, 1984, Yuen, 1987, Ozawa, 1997, Ozawa, 2004, Okamura e Ozawa, 2016) e troveremo strumenti utili per applicazioni alla modellazione degli effetti cognitivi (Ozawa e Khrennikov, 2020a, Ozawa e Khrennikov, 2020b). Discuteremo questa domanda nella Sezione 3 e la illustreremo con esempi tratti dai processi cognitivi e dalla biologia molecolare nelle Sezioni 6, 7.

Nell'ambito della teoria degli strumenti quantistici, il punto cruciale non è la commutatività rispetto alla non commutatività degli operatori che rappresentano simbolicamente osservabili, ma la forma matematica della trasformazione dello stato risultante dall'azione posteriore dell'(auto)osservazione.

Nell'approccio standard, questa trasformazione è data da una proiezione ortogonale sul sottospazio degli autovettori corrispondente all'output dell'osservazione. Questo è il postulato della proiezione. Nella teoria quantistica degli strumenti, le trasformazioni di stato sono più generali.

Il calcolo degli strumenti quantistici è strettamente accoppiato con la teoria dei sistemi quantistici aperti (Ingarden et al., 1997), i sistemi quantistici che interagiscono con gli ambienti. Osserviamo che in alcune situazioni, i sistemi fisici quantistici possono essere considerati (almeno approssimativamente) isolati. Tuttavia, i biosistemi sono fondamentalmente aperti. Come sottolineato da Schrödinger (1944), un biosistema completamente isolato è morto. Quest'ultimo spiega perché la teoria dei sistemi quantistici aperti e, in particolare, il calcolo degli strumenti quantistici svolgono un ruolo fondamentale nelle applicazioni alla biologia, come l'apparato matematico della biologia dell'informazione quantistica (Asano et al., 2015a).

All'interno della teoria dei sistemi quantistici aperti, modelliamo l'evoluzione epigenetica (Asano et al., 2012b, Asano et al., 2015b) (Sezioni 9, 11.2) e le prestazioni delle funzioni psicologiche (cognitive) realizzate dal cervello (Asano et al., 2011, Asano et al., 2015b, Khrennikov et al., 2018) (Sezioni 10, 11.3).

Per biologi matematicamente sufficientemente istruiti, ma senza conoscenze in fisica, possiamo consigliare un libro (Khrennikov, 2016a) che combina le presentazioni di CP e QP con una breve introduzione al formalismo quantistico, inclusa la teoria degli strumenti quantistici e delle probabilità condizionali.

2. Probabilità classica vs probabilità quantistica

La Probabilità Classica (CP) è stato formalizzato matematicamente da Kolmogorov (1933). Questo è il calcolo delle misure di probabilità, in cui a ogni evento $p(A)$ viene assegnato un peso non negativo $A$. La proprietà principale di CP è la sua additività: se due eventi $O_{1},O_{2}$ sono disgiunti, allora la probabilità di disgiunzione di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità:

$P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})$

La Probabilità Quantistica (QP) è il calcolo delle ampiezze complesse o nel formalismo astratto vettori complessi. Pertanto, invece di operazioni su misure di probabilità si opera con vettori. Possiamo dire che QP è un modello vettoriale di ragionamento probabilistico. Ogni ampiezza complessa $\psi$ fornisce la probabilità in base alla regola di Born: la probabilità è ottenuta come quadrato del valore assoluto dell'ampiezza complessa.

${\displaystyle P=|\psi |^{2}}$

(per la formalizzazione dello spazio di Hilbert, vedere la Sezione 3.2, formula (7)). Operando con ampiezze di probabilità complesse, invece dell'operazione diretta con le probabilità, si possono violare le leggi fondamentali di CP.

In CP, la formula della probabilità totale (FTP) è derivata utilizzando l'additività della probabilità e la formula di Bayes, la definizione di probabilità condizionata, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$,$P(O_{1})>0$.

Consideriamo una coppia di variabili casuali classiche discrete. Allora

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )$

Pertanto, nella CP la distribuzione di probabilità $B$ può essere calcolata dalla probabilità $A$ e dalle probabilità condizionate $P(B=\beta |A=\alpha )$. Nella QP, la FTP classico è perturbato dal termine di interferenza (Khrennikov, 2010); per le osservabili quantistiche dicotomiche $A$ e $B$ di tipo von Neumann, cioè date dagli operatori hermitiani ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$, la versione quantistica di FTP ha la forma:

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(1)$

Se il termine di interferenza è positivo, allora il calcolo QP genererebbe una probabilità maggiore della sua controparte CP data dal classico FTP (2). In particolare, questa amplificazione di probabilità è alla base della supremazia del calcolo quantistico.

Esistono numerosi dati statistici provenienti dalla psicologia cognitiva, dal processo decisionale, dalla biologia molecolare, dalla genetica e dall'epigenetica che dimostrano che i biosistemi, dalle proteine e cellule (Asano et al., 2015b) agli esseri umani (Khrennikov, 2010, Busemeyer e Bruza, 2012) usano questa amplificazione ed operano con aggiornamenti non CP. Continuiamo la nostra presentazione con tali esempi.

3. Strumenti quantistici

3.1. Qualche parola sul formalismo quantistico

Denota con ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ uno spazio di Hilbert complesso. Per semplicità assumiamo che sia di dimensione finita. Gli stati puri di un sistema $S$ sono dati da vettori normalizzati di ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ e gli stati misti da operatori di densità (operatori semidefiniti positivi con traccia unitaria). Lo spazio degli operatori di densità è indicato da $S({\mathcal {H}})$). Lo spazio di tutti gli operatori lineari in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ è indicato dal simbolo ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. A sua volta, questo è uno spazio lineare. Inoltre, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ è lo spazio complesso di Hilbert con il prodotto scalare ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$. Consideriamo operatori lineari che agiscono in ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Sono chiamati superoperatori.

La dinamica dello stato puro di un sistema quantistico isolato è descritta dall'equazione di Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}$

$(3)$

dove ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è l'hamiltoniano del sistema. Questa equazione implica che lo stato puro $\psi (t)$ evolve unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$, dove ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ è un gruppo parametrico di operatori unitari, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$. Nella fisica quantistica, l'hamiltoniano ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ è associato all'energia osservabile. La stessa interpretazione è utilizzata nella biofisica quantistica (Arndt et al., 2009). Tuttavia nella nostra modellazione quantistica che descrive l'elaborazione delle informazioni nei biosistemi, l'operatore  ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ non ha un accoppiamento diretto con l'energia fisica. Questo è il generatore di evoluzione che descrive le interazioni delle informazioni.

La dinamica di Schrödinger per uno stato puro implica che la dinamica di uno stato misto (rappresentato da un operatore di densità) è descritta dall'equazione di von Neumann:

${\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}$

$(4)$

3.2. Formalismo di Von Neumann per osservabili quantistici

Nel formalismo quantistico originale (Von Neumann, 1955), l'osservabile fisico $A$ è rappresentato da un operatore hermitiano ${\hat {A}}$. Consideriamo solo operatori con spettri discreti: ${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$ dove ${\hat {E}}^{A}(x)$ è il proiettore sul sottospazio di ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ corrispondente all'autovalore ${\textstyle x}$. Supponiamo che lo stato del sistema sia rappresentato matematicamente da un operatore di densità ${\textstyle \rho }$. Allora la probabilità di ottenere la risposta ${\textstyle x}$ è data dalla regola di Born

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}$

$(5)$

e secondo il postulato della proiezione lo stato post-misurazione si ottiene tramite la trasformazione di stato:

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}$

$(6)$

Per comodità del lettore, presentiamo queste formule per un puro stato iniziale ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$. La regola di Born ha la forma:

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}$

$(7)$

La trasformazione di stato è data dal postulato della proiezione:

${\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }$

$(8)$

Qui l'operatore osservabile ${\hat {A}}$ (la sua decomposizione spettrale) determina in modo univoco le trasformazioni dello stato di feedback ${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$ per i risultati ${\textstyle x}$

${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}$

$(9)$

La mappa ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ data dalla (9) è l'esempio più semplice (ma molto importante) di strumento quantistico.

3.3. Aggiornamento dello stato non proiettivo: strumenti atomici

In generale, le proprietà statistiche di qualsiasi misurazione sono caratterizzate da:

1. la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x\parallel \rho \}}$, la distribuzione di probabilità dell'output ${\textstyle x}$  della misurazione nello stato di input ${\textstyle \rho }$
2. la riduzione dello stato quantico ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$, il cambiamento di stato dallo stato di ingresso ${\textstyle \rho }$  allo stato di uscita ${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{(X=x)}}$ condizionato al risultato ${\textstyle {\text{X}}=x}$ della misurazione.

Nella formulazione di von Neumann, le proprietà statistiche di qualsiasi misura di un osservabile  sono determinate in modo univoco dalla regola di Born (5) e dal postulato della proiezione (6), e sono rappresentate dalla mappa (9), uno strumento di tipo von Neumann. Tuttavia, la formulazione di von Neumann non riflette il fatto che lo stesso osservabile $A$ rappresentato dall'operatore hermitiano ${\hat {A}}$ può essere misurato in molti modi.(8) Formalmente, tali schemi di misurazione sono rappresentati da strumenti quantistici.

Consideriamo ora i più semplici strumenti quantistici di tipo non von Neumann, noti come strumenti atomici. Iniziamo ricordando la nozione di POVM (Probability Operator Valued Measure); limitiamo le considerazioni ai POVM con un dominio discreto di definizione ${\textstyle X=\{x_{1}....,x_{N}.....\}}$. POVM è una mappa ${\textstyle x\rightarrow {\hat {D}}(x)}$ tale che per ogni ${\textstyle x\in X}$,${\hat {D}}(x)$  è un operatore Hermitiano contrattivo positivo (chiamato effetto) (ovvero ${\textstyle {\hat {D}}(x)^{*}={\hat {D}}(x),0\leq \langle \psi |{\hat {D}}(x)\psi \rangle \leq 1}$ o qualsiasi ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$) e la condizione di normalizzazione ${\textstyle \sum _{x}{\hat {D}}(x)=I}$, dove ${\textstyle I}$ è l'operatore di unità. Si presume che per qualsiasi misurazione, la distribuzione di probabilità di output ${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}}$ sia data da

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{\hat {D}}(x)\rho ]}$

$(10)$

dove ${\textstyle {\hat {D}}(x)}$  è un POVM. Per gli strumenti atomici si presume che gli effetti siano rappresentati concretamente nella forma

${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {V}}(x)^{*}{\hat {V}}(x)}$

$(11)$

dove ${\textstyle {V}(x)}$ è un operatore lineare in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Quindi, la condizione di normalizzazione ha la forma ${\textstyle \sum _{x}V(x)^{*}V(x)=I}$.(9) La regola Born può essere scritta in modo simile a (5):

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[{V}(x)\rho {V}^{*}(x)]}$

$(12)$

Si presume che la trasformazione dello stato post-misurazione sia basata sulla mappa:

*

${\textstyle \rho \rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)\rho =V(X)\rho V^{*}(x)}}}$

$(13)$

quindi la riduzione dello stato quantico è data da

*

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{x}}=x)}={\frac {{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho }{Tr[{\mathcal {L}}_{A}(x)\rho ]}}}$

$(14)$

La mappa $x\rightarrow {\mathcal {L_{A}(x)}}$ data da (13) è uno strumento quantistico atomico. Osserviamo che la regola di Born (12) può essere scritta nella forma

*

${\textstyle Pr\{{\text{x}}=x||\rho \}=Tr[\Im _{A}(x)\rho ]}$

$(15)$f

Sia ${\hat {A}}$ un operatore Hermitiano in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$. Considera un POVM ${\textstyle {\hat {D}}={\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$con il dominio di definizione dato dallo spettro di ${\hat {A}}$. Questo POVM rappresenta una misura di $A$ osservabile se vale la regola di Born:

${\textstyle Pr\{{\text{A}}=x||\rho \}=Tr[{\widehat {D}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]}$

$(16)$

Pertanto, in linea di principio, le probabilità dei risultati sono ancora codificate nella scomposizione spettrale dell'operatore ${\hat {A}}$ o in altre parole gli operatori ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ dovrebbero essere selezionati in modo tale da generare le probabilità corrispondenti alla scomposizione spettrale della rappresentazione simbolica ${\hat {A}}$ delle osservabili $A$, ovvero, ${\textstyle {\biggl (}{\hat {D}}^{A}(x){\Biggr )}}$ è univocamente determinato da ${\hat {A}}$ come ${\textstyle {\hat {D}}^{A}(x)={\hat {E}}^{A}(x)}$.

Possiamo dire che questo operatore contiene solo informazioni sulle probabilità dei risultati, contrariamente allo schema di von Neumann, l'operatore ${\hat {A}}$ non codifica la regola dell'aggiornamento dello stato. Per uno strumento atomico, le misurazioni dell'osservabile $A$ hanno l'unica distribuzione di probabilità di output secondo la regola di Born (16), ma hanno molte diverse riduzioni dello stato quantico a seconda della scomposizione dell'effetto ${\textstyle {\hat {D}}(x)={\hat {E}}^{A}(x)=V(x)^{*}V(x)}$ in modo tale che

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{({\text{A}}=x)}={\frac {{V}(x)\rho V(x)^{*}}{Tr[{V}(x)\rho V(x)^{*}]}}}$

$(17)$

---

3.4. Teoria generale (Davies–Lewis–Ozawa)

Infine, formuliamo la nozione generale di strumento quantistico. Un superoperatore che agisce in ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ è detto positivo se mappa in se stesso l'insieme degli operatori semidefiniti positivi. Osserviamo che, per ogni $x,\Im _{A}(x)$  dato da (13) si può considerare come mappa lineare positiva.

Generalmente qualsiasi mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , dove per ogni $x$, la mappa $\Im _{A}(x)$ è un superoperatore positivo è chiamata strumento quantistico di Davies-Lewis (Davies e Lewis, 1970).

Qui l'indice ${\textstyle A}$ indica l'osservabile accoppiato a questo strumento. Le probabilità di ${\textstyle A}$-risultati sono date dalla regola di Born nella forma (15) e dall'aggiornamento dello stato mediante trasformazione (14). Tuttavia, Yuen (1987) ha sottolineato che la classe degli strumenti Davies-Lewis è troppo generale per escludere strumenti fisicamente non realizzabili. Ozawa (1984) ha introdotto l'importante condizione aggiuntiva per garantire che ogni strumento quantistico sia fisicamente realizzabile. Questa è la condizione di completa positività.

Un superoperatore è detto completamente positivo se la sua estensione naturale ${\textstyle \jmath \otimes I}$ al prodotto tensoriale ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})={\mathcal {L}}({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})}$ è ancora un superoperatore positivo su ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Una mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , dove per ogni ${\textstyle x}$, la mappa $\Im _{A}(x)$ è un superoperatore completamente positivo è chiamato Davies-Lewis-Ozawa (Davies e Lewis, 1970, Ozawa, 1984) strumento quantistico o semplicemente strumento quantistico. Come vedremo nel paragrafo 4, la completa positività è una condizione sufficiente affinché uno strumento sia fisicamente realizzabile. D'altra parte, la necessità è derivata come segue (Ozawa, 2004).

Ogni osservabile ${\textstyle A}$ di un sistema ${\textstyle S}$ è identificato con lo ${\textstyle A\otimes I}$ osservabile di un sistema ${\textstyle S+S'}$ con qualsiasi sistema ${\textstyle S'}$ esterno a ${\textstyle S}$.(10) Quindi, ogni strumento fisicamente realizzabile $\Im _{A}$misurando ${\textstyle A}$ dovrebbe essere identificato con lo strumento  ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}}$ che misura ${\textstyle A{\otimes }I}$ tale che ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}(x)=\Im _{A}(x)\otimes I}$. Ciò implica che ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ è di nuovo un superoperatore positivo, quindi $\Im _{A}(x)$ è completamente positivo.

Allo stesso modo, qualsiasi strumento fisicamente realizzabile $\Im _{A}(x)$ misurando il sistema ${\textstyle S}$ dovrebbe avere il suo strumento esteso  ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ che misura il sistema ${\textstyle S+S'}$ per qualsiasi sistema esterno ${\textstyle S'}$. Questo è soddisfatto solo se  $\Im _{A}(x)$ è completamente positivo. Pertanto, la completa positività è una condizione necessaria affinché $\Im _{A}$ descrivi uno strumento fisicamente realizzabile.

4. Strumenti quantistici dallo schema delle misurazioni indirette

Il modello base per la costruzione di strumenti quantistici si basa sullo schema delle misurazioni indirette. Questo schema formalizza la seguente situazione: gli output della misurazione sono generati tramite l'interazione di un sistema $S$ con un apparato di misurazione $M$. Questo apparato è costituito da un dispositivo fisico complesso che interagisce con $S$ e da un puntatore che mostra il risultato della misurazione, diciamo spin up o spin down. Un osservatore può vedere solo gli output del puntatore e associa questi output ai valori dell'osservabile $A$ per il sistema $S$. Pertanto, lo schema di misurazione indiretta prevede:

1. gli stati dei sistemi $S$ e dell'apparato $M$
2. l'operatore  $U$ che presenta le dinamiche di interazione per il sistema $S+M$
3. il misuratore osservabile $M_{A}$ che fornisce le uscite del puntatore dell'apparato $M$

Un modello di misurazione indiretta, introdotto in Ozawa (1984) come un "processo di misurazione (generale)", è uno quadrupla $(H,\sigma ,U,M_{A})$ costituito da uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$, un operatore di densità $\sigma \in S({\mathcal {H}})$, un operatore unitario  $U$ sul prodotto tensoriale degli spazi di stato di $S$ e$M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ e un operatore Hermitiano $M_{A}$ su ${\mathcal {H}}$. Con questo modello di misurazione, lo spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$ descrive gli stati dell'apparato $M$, l'operatore unitario $U$ descrive l'evoluzione nel tempo del sistema composito $S+M$, l'operatore di densità $\sigma$ descrive lo stato iniziale dell'apparato $M$ e l'operatore Hermitiano $M_{A}$ descrive il contatore osservabile dell'apparato $M$. Quindi, la distribuzione di probabilità di uscita $Pr\{A=x\|\sigma \}$ nello stato del sistema $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ è data da

$Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(18)$

dove $E^{M_{A}}(x)$ è la proiezione spettrale di $M_{A}$ per l'autovalore $x$.

Il cambiamento dello stato $\sigma$ del sistema $S$ causato dalla misurazione per l'esito $A=x$ è rappresentato con l'ausilio della mappa $\Im _{A}(x)$ nello spazio degli operatori di densità definiti come

${\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(19)$

dove $Tr_{\mathcal {H}}$ è la traccia parziale su ${\mathcal {H}}$. Quindi, la mappa $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ risulta essere uno strumento quantistico. Pertanto, le proprietà statistiche della misurazione realizzata da qualsiasi modello di misurazione indiretta $(H,\sigma ,U,M_{A})$ sono descritte da una misurazione quantistica. Osserviamo che viceversa qualsiasi strumento quantistico può essere rappresentato tramite il modello di misura indiretta (Ozawa, 1984). Pertanto, gli strumenti quantistici caratterizzano matematicamente le proprietà statistiche di tutte le misurazioni quantistiche realizzabili fisicamente.

5. Modellazione del processo di sensazione-percezione all'interno dello schema di misurazione indiretta

Le basi della teoria dell'inferenza inconscia per la formazione delle impressioni visive furono poste nel XIX secolo da H. von Helmholtz. Sebbene von Helmholtz abbia studiato principalmente la sensazione-percezione visiva, ha anche applicato la sua teoria per altri sensi fino al culmine nella teoria dell'inferenza dell'inconscio sociale. Di von Helmholtz qui ci sono due fasi del processo cognitivo, e discriminano tra sensazione e percezione come segue:

• La sensazione è un segnale che il cervello interpreta come un suono o un'immagine visiva, ecc.
• La percezione è qualcosa da interpretare come preferenza o attenzione selettiva, ecc.

Nello schema della misurazione indiretta, le sensazioni rappresentano gli stati del sistema sensoriale umano e il sistema di percezione svolge il ruolo dell'apparato di misurazione. L'operatore unitario descrive il processo di interazione tra gli stati di sensazione e percezione. Questa modellazione quantistica del processo di sensazione-percezione è stata presentata in un documento (Khrennikov, 2015) con applicazione alla percezione bistabile e ai dati sperimentali dell'articolo (Asano et al., 2014).

6. Modellazione degli effetti cognitivi

Nelle scienze cognitive e sociali, il seguente pool di opinioni è noto come esempio base dell'effetto ordine. Questo è il pool di opinioni Clinton-Gore (Moore, 2002). In questo esperimento, ai cittadini americani è stata posta una domanda alla volta, ad esempio,

$A=$ "Bill Clinton è onesto e degno di fiducia?"

$B=$ "Al Gore è onesto e degno di fiducia?"

Sulla base dei dati statistici sperimentali sono state calcolate due distribuzioni sequenziali di probabilità, $p_{A,B}$ e $p_{B,A}$ (prima domanda $A$ e poi domanda $B$ e viceversa).

6.1. Effetto dell'ordine per domande sequenziali

I dati statistici di questo esperimento hanno dimostrato l'effetto dell'ordine delle domande QOE (Question Order Effect), dipendenza della distribuzione di probabilità congiunta sequenziale per le risposte alle domande sul loro ordine $p_{(A,B)}\neq p_{(B,A)}$. Osserviamo che nel modello CP queste distribuzioni di probabilità coincidono:

$p_{A,B}(\alpha ,\beta )=P(\omega \in \Omega :A(\omega )=\alpha ,B(\omega )=\beta )=p_{A,B}(\beta ,\alpha )$

dove $\Omega$ è uno spazio campionario $P$ e  è una misura di probabilità.

QOE stimola l'applicazione del QP-calculus alla cognizione, vedi documento (Wang e Busemeyer, 2013). Gli autori di questo articolo hanno sottolineato che la caratteristica non commutativa delle probabilità congiunte può essere modellata utilizzando la non commutatività di osservabili quantistici incompatibili  $A,B$ rappresentati da operatori Hermitiani ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ . Lo osservabile $A$ rappresenta la domanda Clinton e lo osservabile $B$ rappresenta la domanda Gore. In questo modello, QOE è identica incompatibilità-non commutatività degli osservabili:

$[{\widehat {A}},{\widehat {B}}]\neq 0$

6.2. Effetto di replicabilità della risposta per domande sequenziali

L'approccio basato sull'identificazione dell'effetto ordine con la rappresentazione non commutativa delle domande (Wang e Busemeyer, 2013) è stato criticato in un articolo (Khrennikov et al., 2014). Per discutere questo documento, ricordiamo la nozione di replicabilità della risposta. Supponiamo che a una persona, ad esempio John, venga posta una domanda $A$ e supponiamo che risponda, ad esempio "sì". Se subito dopo gli viene posta di nuovo la stessa domanda, allora risponde "sì" con probabilità uno. Chiamiamo questa proprietà $A-A$ replicabilità della risposta. Nella fisica quantistica, la replicabilità della risposta $A-A$ è espressa dal postulato della proiezione. Il sondaggio di opinione Clinton-Gore così come i tipici esperimenti decisionali soddisfano la replicabilità della risposta $A-A$. Il processo decisionale ha anche un'altra caratteristica: $A-A$ replicabilità della risposta. Supponiamo che dopo aver risposto alla domanda $A$ con la risposta "sì", a John venga posta un'altra domanda $B$. Egli ha risposto con una risposta. E poi gli viene chiesto $A$ di nuovo. Nel suddetto pool di opinioni sociali, John ripete la sua risposta originale a $A$, "sì" (con probabilità uno).

Questo fenomeno comportamentale lo chiamiamo replicabilità della risposta $A-B-A$. La combinazione di  $A-A$ con  $A-B-A$ e $B-A-B$ replicabilità della risposta è chiamata effetto di replicabilità della risposta RRE ( Response Replicability Effect).

6.3. QOE+RRE”: descritti da strumenti quantistici di tipo non proiettivo

Nell'articolo (Khrennikov et al., 2014), è stato dimostrato che utilizzando il calcolo di von Neumann è impossibile combinare RRE con QOE. Per generare QOE, gli operatori Hermitiani  ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ dovrebbero essere non commutativi, ma quest'ultimo distrugge la replicabilità della risposta $A-B-A$ di $A$. Questo è stato un risultato piuttosto inaspettato. Ha fatto persino impressione che, sebbene gli effetti cognitivi di base possano essere modellati separatamente in modo quantistico, le loro combinazioni non possono essere descritte dal formalismo quantistico.

Tuttavia, recentemente è stato dimostrato che la teoria degli strumenti quantistici fornisce una soluzione semplice della combinazione degli effetti QOE e RRE, vedi Ozawa e Khrennikov (2020a) per la costruzione di tali strumenti. Tali strumenti sono di tipo non proiettivo. Pertanto, l'essenza della QOE non è nella struttura degli osservabili, ma nella struttura della trasformazione dello stato generata dal feedback delle misurazioni. QOE non riguarda la misurazione congiunta e l'incompatibilità (non commutatività) di osservabili, ma la misurazione sequenziale di osservabili e l'aggiornamento sequenziale dello stato (mentale). Gli strumenti quantistici utilizzati in Ozawa e Khrennikov (2020a) per combinare QOE e RRE corrispondono alla misurazione delle osservabili rappresentate dagli operatori di commutazione ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$. Inoltre, è possibile dimostrare che (sotto restrizione matematica naturale) QOE e RRE possono essere modellati congiuntamente solo con l'ausilio di strumenti quantistici per la commutazione di osservabili.

6.4. Realismo mentale

Fin dall'inizio della meccanica quantistica, la non commutatività degli operatori ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ che rappresentano le osservabili $A,B$ è stata considerata come la rappresentazione matematica della loro incompatibilità. In termini filosofici, questa situazione è trattata come impossibilità della descrizione realistica. Nella scienza cognitiva, ciò significa che esistono stati mentali tali che un individuo non può assegnare i valori definiti a entrambi gli osservabili (ad esempio, domande). La descrizione matematica di QOE con osservabili rappresentate da operatori non commutativi (nello schema di von Neumann) in Wang e Busemeyer (2013) e Wang et al. (2014) hanno dato l'impressione che questo effetto implichi il rifiuto del realismo mentale. Il risultato di Ozawa e Khrennikov (2020a)dimostra che, nonostante il QOE ben documentato sperimentalmente, il realismo mentale non deve essere rifiutato. La QOE può essere modellata all'interno dell'immagine realistica data matematicamente dalla distribuzione di probabilità congiunta delle osservabili $A$ e $B$, ma con l'azione non commutativa degli strumenti quantistici che aggiornano lo stato mentale:

$[{\mathcal {J_{A}(x)}},{\mathcal {J_{B}(x)}}]={\mathcal {J_{A}(x)}}{\mathcal {J_{B}(x)}}-{\mathcal {J_{B}(x)}},{\mathcal {J_{A}(x)}}\neq 0$

$(20)$

Questo è il posto giusto per osservare che se, per qualche stato $\rho ,[\Im _{A}(x),\Im _{B}(x)]\rho =0$, allora QOE scompare, anche se $[\Im _{A}(x),\Im _{B}(x)]\neq 0$. Questa può essere considerata come la corretta formulazione dell'affermazione di Wang-Bussemeyer sulla connessione di QOE con la non commutatività. Invece della non commutatività degli operatori ${\widehat {A}}$ e ${\widehat {B}}$ rappresentando simbolicamente osservabili quantistici, si deve parlare di non commutatività dei corrispondenti strumenti quantistici.

7. Genetica: interferenza nel metabolismo del glucosio/lattosio

In un articolo (Asano et al., 2012a), è stato sviluppato un modello quantistico che descrive la regolazione genica del metabolismo del glucosio/lattosio nel batterio Escherichia coli.11 Esistono diversi tipi di E. coli caratterizzati dal sistema metabolico. È stato dimostrato che il tipo concreto di E. coli può essere descritto dagli operatori lineari ben determinati; troviamo le quantità operatorie invarianti che caratterizzano ciascun tipo. Tali quantità di operatori invarianti possono essere calcolate dai dati statistici ottenuti. Quindi, la rappresentazione quantistica è stata ricostruita da dati sperimentali.

Consideriamo un sistema di eventi $\{Q_{+},Q_{-}\}:Q_{+}$ significa l'evento in cui E. coli attiva il suo operone lattosio, ovvero l'evento in cui $\beta$-galattosidasi viene prodotta attraverso la trascrizione dell'mRNA da un gene nell'operone lattosio; $Q_{-}$ indica l'evento in cui E. coli non attiva il suo operone lattosio.

Questo sistema di eventi corrisponde all'attivazione osservabile che è rappresentata matematicamente da uno strumento quantistico $\Im _{Q}$. Consideriamo ora un altro sistema di eventi $\{D_{L},D_{G}\}$dove $D_{L}$ significa l'evento in cui un batterio E. coli rileva una molecola di lattosio nell'ambiente circostante della cellula, mentre $D_{G}$ significa rilevazione di una molecola di glucosio. Questo sistema di eventi corrisponde al rilevamento osservabile $D$ che è rappresentato da uno strumento quantistico $\Im _{D}$.

In questo modello, l'interazione-reazione del batterio con l'ambiente glucosio/lattosio è descritta come azione sequenziale di due strumenti quantistici, prima rilevazione e poi attivazione. Come mostrato in Asano et al. (2012a), per ogni tipo concreto di batterio E. coli, questi strumenti quantistici possono essere ricostruiti dai dati sperimentali; in Asano et al. (2012a), la ricostruzione è stata eseguita per il tipo W3110 del batterio E. coli. Il classico FTP con osservabili $A=D$ e $B=Q$ viene violato, è stato calcolato il termine di interferenza, vedere (2), (Asano et al., 2012a).

8. Sistemi quantistici aperti: interazione di un biosistema con il suo ambiente

Come già sottolineato, qualsiasi biosistema $S$ è fondamentalmente aperto. Pertanto, la dinamica del suo stato deve essere modellata tramite un'interazione con l'ambiente circostante $\varepsilon$. Gli stati di $S$ e $\varepsilon$ sono rappresentati negli spazi di Hilbert ${\mathcal {H}}$ e ${\mathcal {H}}'$. Il sistema composto $S+\varepsilon$ è rappresentato negli spazi di Hilbert del prodotto tensoriale ${\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H'}}$. Questo sistema è trattato come un sistema isolato e in accordo con la teoria quantistica, la dinamica del suo stato puro può essere descritta dall'equazione di Schrödinger:

$i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}$

$(21)$

dove $\psi (t)$ è lo stato puro del sistema $S+\varepsilon$ e ${\hat {\mathcal {H}}}$ è il suo Hamiltoniano. Questa equazione implica che lo stato puro $\psi (t)$ evolva unitariamente $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$.Qui ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$. L'hamiltoniano (generatore di evoluzione) che descrive le interazioni informative ha la forma ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$, dove  ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$, ${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$ sono Hamiltoniani dei sistemi e  ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ è l'Hamiltoniana di interazione.12 Questa equazione implica che l'evoluzione dell'operatore di densità ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ del sistema $S+\varepsilon$ è descritta dall'equazione di von Neumann:

${\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}$

$(22)$

uttavia, lo stato  ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ è troppo complesso per qualsiasi analisi matematica: l'ambiente include troppi gradi di libertà. Pertanto, ci interessa solo lo stato di $S$; la sua dinamica è ottenuta tramite il tracciamento dello stato di  $S+\varepsilon$ w.r.t. ed i gradi di libertà di $\varepsilon$:

${\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)$

$(23)$

Generalmente questa equazione, la 'equazione quantistica principale', è matematicamente molto complicata. Nelle applicazioni viene utilizzata una varietà di approssimazioni.

8.1. Modello quantistico di Markov: equazione di Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblade

L'approssimazione più semplice dell'equazione master quantistica (23) è la dinamica quantistica di Markov data dall'equazione Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad (GKSL) (Ingarden et al., 1997) (in fisica, è comunemente chiamata semplicemente equazione di Lindblad; questa è l'equazione master quantistica più semplice):

${\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}$

$(24)$

dove l'operatore hermitiano (Hamiltoniano) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ descrive la dinamica interna di $S$ e il superoperatore ${\widehat {L}}$, agendo nello spazio degli operatori di densità, descrive un'interazione con l'ambiente $\varepsilon$. Questo superoperatore è spesso chiamato Lindbladiano. L'equazione GKSL è un'equazione master quantistica per la dinamica markoviana. In questo articolo non abbiamo la possibilità di spiegare la nozione di markovianità quantistica in modo più dettagliato. L'equazione master quantistica (23) descrive generalmente dinamiche non markoviane.

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8.2. Funzioni biologiche nel framework quantistico di Markov

Passiamo alla dinamica dei sistemi aperti con l'equazione GKSL. Nella nostra modellazione, Hamiltoniano  ${\widehat {\mathcal {H}}}$ e Lindbladiano ${\widehat {L}}$ rappresentano una funzione biologica speciale $F$ (vedi Khrennikov et al., 2018) per i dettagli. Il suo funzionamento risulta dall'interazione di flussi informativi interni ed esterni. Nelle Sezioni 10, 11.3, $F$ è una funzione psicologica; nel caso più semplice $F$ rappresenta una domanda posta a $S$ (diciamo che $S$ è un essere umano). Nella Sezione 7, $F$ è la regolazione genica del metabolismo del glucosio/lattosio nel batterio Escherichia coli. Nelle Sezioni 9, 11.2,  $F$ rappresenta il processo di mutazione epigenetica. Simbolicamente la funzione biologica $F$ è rappresentata come osservabile quantistica: l'operatore Hermitiano  ${\widehat {F}}$ con la decomposizione spettrale ${\widehat {F}}=\sum _{x}x{\widehat {E}}^{F}(x)$, dove $x$ etichetta gli output di $F$. La teoria della dinamica di stato di Markov quantistica descrive il processo di generazione di questi output.

Nel modello matematico (Asano et al., 2015b, Asano et al., 2017b, Asano et al., 2017a, Asano et al., 2015a, Asano et al., 2012b, Asano et al., 2011, Asano et al. ., 2012a), gli output della funzione biologica $F$ sono generati avvicinandosi a uno stato stazionario della dinamica GKSL:

$\lim _{t\to \infty }{\widehat {\rho }}(t)={\widehat {\rho }}_{steady}$

$(25)$

tale che corrisponda alla decomposizione spettrale di ${\widehat {F}}$, cioè,

${\widehat {\rho }}_{steady}=\sum _{x}p_{x}{\widehat {E}}^{F}(x)$

$(26)$

dove

$p_{x}\geq \sum _{x}p_{x}=1$

$(26)$

Ciò significa che ${\widehat {\rho }}_{steady}$ è diagonale in una base ortonormale costituita da autovettori di ${\widehat {F}}$. Questo stato, o più precisamente, questa scomposizione dell'operatore di densità ${\widehat {\rho }}_{steady}$, è la classica miscela statistica degli stati informativi di base che determinano questa funzione biologica. Le probabilità nella decomposizione dello stato (26) sono interpretate statisticamente.

Consideriamo un grande insieme di biosistemi con lo stato ${\widehat {\rho }}_{0}$ che interagiscono con l'ambiente $\varepsilon$. (ricordiamo che matematicamente l'interazione è codificata nel Lindbladian ${\widehat {L}}$) Risultando da questa interazione, la funzione biologica $F$ produce output $x$ con probabilità $p_{x}$. Osserviamo che in termini operatore la probabilità è espressa come $p_{x}=Tr{\widehat {\rho }}_{steady}{\widehat {E}}^{F}(x)$

Questa interpretazione può essere applicata anche a un singolo biosistema che incontra più volte lo stesso ambiente.

Va notato che lo stato limite ${\widehat {\rho }}_{steady}$ esprime la stabilità rispetto all'influenza dell'ambiente concreto $\varepsilon$. Naturalmente, nel mondo reale lo stato limite non verrebbe mai avvicinato. La formula matematica (25) descrive il processo di stabilizzazione, smorzamento delle fluttuazioni che, però, non sarebbero mai scomparsi completamente con il tempo.

Notiamo che uno stato stazionario soddisfa l'equazione GKSL stazionaria:

$i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }}_{steady}]={\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}_{steady}]$

$(27)$

È anche importante sottolineare che generalmente uno stato stazionario dell'equazione master quantistica non è unico, dipende dalla classe delle condizioni iniziali.

8.3. Processo delle funzioni biologiche attraverso la decoerenza

Per rendere concrete le precedenti considerazioni, consideriamo uno stato quantistico puro come stato iniziale. Supponiamo che una funzione biologica $F$ sia dicotomica, $F=0,1$, ed è rappresentata simbolicamente dall'operatore Hermitiano diagonale in base ortonormale $|0\rangle$,$|1\rangle$. (Consideriamo lo spazio degli stati bidimensionale, lo spazio dei qubit.) Supponiamo che lo stato iniziale abbia la forma della sovrapposizione

$\psi \rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$

$(28)$

dove $c_{j}\in C,|c_{0}|^{2}+||c_{1}|^{2}=1$. La dinamica master quantistica non è una dinamica di stato puro: prima o poi (anzi, molto presto), questa sovrapposizione che rappresenta uno stato puro sarà trasferita in una matrice di densità che rappresenta uno stato misto. Pertanto, fin dall'inizio è utile rappresentare la sovrapposizione (28) in termini di una matrice di densità:

${\widehat {\rho }}_{0}={\begin{vmatrix}|c_{0}|^{2}&c_{0}{\bar {c}}_{1}\\{\bar {c}}_{0}c_{1}&|c_{1}|^{2}\end{vmatrix}}$

$(29)$

La purezza dello stato, la sovrapposizione, è caratterizzata dalla presenza di termini fuori diagonale diversi da zero. La sovrapposizione codifica l'incertezza rispetto alla base dello stato concreto, nel nostro caso $|0\rangle$,$|1\rangle$. Inizialmente la funzione biologica $F$ era nello stato di incertezza tra due scelte $x=0,1$. Questa è una genuina incertezza quantistica. Incertezza, su possibili azioni in futuro. Ad esempio, per la funzione psicologica (Sezione 10) $F$ che rappresenta la risposta a qualche domanda, diciamo "comprare una proprietà" ($F=1$) e la sua negazione ($F=0$), una persona il cui stato è descritto dalla sovrapposizione (28) è incerta ad agire con ($F=1$)  o con ($F=0$). Pertanto, uno stato di tipo sovrapposizione descrive la incertezza individuale, cioè l'incertezza associata al singolo biosistema e non a un insieme di biosistemi; con l'unico atto di funzionamento di $F$ e non con una grande serie di tali atti.

La risoluzione dell'incertezza rispetto a qubit è caratterizzata dal lavaggio dei termini fuori diagonale in (29) La dinamica quantistica (24) sopprime i termini fuori diagonale e, infine, una matrice di densità diagonale che rappresenta uno stato stazionario di questi sistemi dinamici è generato:

${\widehat {\rho }}_{0}={\begin{vmatrix}p_{0}&0\\0&p_{1}\end{vmatrix}}$

$(30)$

Questa è una classica miscela statistica. Descrive un insieme di biosistemi; statisticamente generano output $F=\alpha$ con probabilità $p_{\alpha }$. Allo stesso modo, l'interpretazione statistica può essere utilizzata per un singolo sistema che esegue il funzionamento $F$ in diverse istanze temporali (per una lunga serie temporale).

Nella fisica quantistica, il processo di lavaggio degli elementi fuori diagonale in una matrice di densità è noto come processo di decoerenza. Pertanto, il modello descritto può essere chiamato operazione della funzione biologica attraverso la decoerenza.

8.4. Linearità della rappresentazione quantistica: accelerazione esponenziale per il funzionamento biologico

La modellazione quantistica non afferma che i biosistemi siano fondamentalmente quantistici. Un'immagine più naturale è che sono sistemi biofisici classici complessi e il modello di tipo quantistico fornisce la rappresentazione delle informazioni dei processi biofisici classici, nei geni, nelle proteine, nelle cellule, nel cervello. Uno dei vantaggi di questa rappresentazione è la sua linearità. Lo spazio degli stati quantistici è uno spazio di Hilbert complesso e le equazioni dinamiche sono equazioni differenziali lineari. Per spazi di stato a dimensione finita, queste sono solo equazioni differenziali ordinarie con coefficienti complessi (quindi, il lettore non dovrebbe aver paura di nomi patetici come equazioni di Schrödinger, von Neumann o Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad). La dinamica biofisica classica al di là della rappresentazione dell'informazione quantistica è tipicamente non lineare e molto complicata. L'uso della rappresentazione dello spazio lineare semplifica la struttura di elaborazione. Ci sono due punti di vista su questa semplificazione, esterno e interno. Il primo è la semplificazione della modellazione matematica, cioè la semplificazione dello studio dei bioprocessi (da parte nostra, osservatori esterni). La seconda è più delicata e interessante. Abbiamo già indicato un'importante specialità delle applicazioni della teoria quantistica alla biologia. Qui, i sistemi possono eseguire auto-osservazioni. Quindi, nel processo di evoluzione diciamo che una cellula può "imparare" tramite tali auto-osservazioni che è computazionalmente vantaggioso utilizzare la rappresentazione lineare di tipo quantistico. E ora arriviamo al vantaggio principale della linearità.

La dinamica lineare accelera esponenzialmente l'elaborazione delle informazioni. Le soluzioni dell'equazione GKSL possono essere rappresentate nella forma ${\widehat {\rho }}(t)=e^{t{\widehat {\Gamma }}}{\widehat {\rho }}$, dove ${\widehat {\Gamma }}$ è il superoperatore dato dal lato destro dell'equazione di GKSL. Nel caso di dimensione finita, la dinamica di decoerenza è espressa tramite fattori della forma $e^{t{(ia-b)}}$ dove $b>0$. Tali fattori sono esponenzialmente decrescenti. La realizzazione lineare di tipo quantistico delle funzioni biologiche è esponenzialmente rapida rispetto alle dinamiche classiche non lineari.

L'uso della rappresentazione dell'informazione quantistica significa che generalmente grandi gruppi di stati biofisici classici sono codificati da pochi stati quantistici. Significa un'enorme compressione delle informazioni. Implica anche un aumento della stabilità nell'elaborazione dello stato. La rumorosa dinamica classica non lineare è mappata su dinamiche guidate da un'equazione quantistica (simile) lineare di tipo GKSL.

Quest'ultimo ha una struttura essenzialmente più semplice e tramite la selezione dei coefficienti dell'operatore che codificano simbolicamente l'interazione all'interno del sistema $S$ e con l'ambiente circostante $\varepsilon$, $S$ può stabilire dinamiche con regimi di stabilizzazione che portano a stati stazionari.

9. Evoluzione epigenetica all'interno della teoria dei sistemi quantistici aperti

Nell'articolo (Asano et al., 2012b), è stato creato un modello generale dell'evoluzione epigenetica che unifica gli approcci neo-darwiniani con quelli neo-lamarckiani nel quadro della teoria dei sistemi quantistici aperti. Il processo di evoluzione è rappresentato sotto forma di dinamica adattativa data dall'equazione master quantistica (-like) che descrive la dinamica dello stato informativo dell'epigenoma nel processo di interazione con l'ambiente circostante. Questo modello dell'evoluzione epigenetica esprime le probabilità di osservazioni che si possono fare sugli epigenomi delle cellule; questo modello (quantistico) non fornisce una descrizione dettagliata dei processi cellulari. L'approccio operativo quantistico offre la possibilità di descrivere con un modello tutti i tipi noti di ereditarietà epigenetica cellulare.

Per dare qualche suggerimento sul modello, consideriamo un gene, diciamo $g$. Questo è il sistema $S$ nella Sezione 8.1. Interagisce con l'ambiente circostante $\varepsilon$ una cellula contenente questo gene e altre cellule che inviano segnali a questa cellula concreta e attraverso di essa al gene $g$. Come conseguenza di questa interazione può verificarsi una mutazione epigenetica $\mu$ nel gene $g$. Ciò cambierebbe il livello del $g$-espressione.

Per il momento ignoriamo che ci sono altri geni. In questo modello estremamente semplificato, la mutazione può essere descritta all'interno dello spazio degli stati bidimensionale, lo spazio complesso di Hilbert ${\mathcal {H}}_{epi}$ (spazio qubit). Gli stati di $g$ senza e con mutazione sono rappresentati dalla base ortogonale $|0\rangle$,$|1\rangle$; questi vettori esprimono possibili cambiamenti epigenetici del tipo fisso $\mu$.

Uno stato di informazione quantistica pura ha la forma di sovrapposizione $|\psi \rangle _{epi}=c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$.

Passiamo ora allo schema generale della Sezione 8.2 con la funzione biologica $F$ che esprime $\mu$-epimutazione in un gene fissato. La dinamica quantistica di Markov (24) risolve l'incertezza codificata nella sovrapposizione $|\psi \rangle _{epi}$ ("modellazione delle epimutazioni come decoerenza"). La classica miscela statistica,${\rho }_{steady}$ vedi (30), viene approcciata. I suoi elementi diagonali $p_{0},p_{1}$ danno le probabilità degli eventi: “no $\mu$-epimutazione" e " $\mu$-epimutazione". Queste probabilità sono interpretate statisticamente: in una vasta popolazione di cellule,  $M$ cellule, $M\gg 1$ , il numero di cellule con $\mu$-epimutazione è $N_{m}\approx p_{1}M$. Questa $\mu$-epimutazione in una popolazione cellulare si stabilizzerebbe completamente allo stato stazionario solo nel tempo infinito, quindi in realtà ci sono fluttuazioni (di ampiezza decrescente) in ogni intervallo finito di tempo.

Infine, indichiamo il vantaggio della dinamica quantistica dell'interazione dei geni con l'ambiente: la linearità della dinamica implica un'accelerazione esponenziale del processo di evoluzione epigenetica (Sezione 8.4).

10. Collegamento dei processi elettrochimici nelle reti neurali con l'elaborazione delle informazioni quantistiche

Come è stato sottolineato nell'introduzione, i modelli di tipo quantistico sono modelli operativi formali che descrivono l'elaborazione delle informazioni nei biosistemi. (in contrasto con gli studi di biologia quantistica, la scienza sui veri processi fisici quantistici nei biosistemi). Tuttavia, è interessante collegare la struttura dell'elaborazione quantistica dell'informazione in un biosistema con i processi fisici e chimici in esso. Questo è un problema di elevata complessità. Paper (Khrennikov et al., 2018) presenta un tentativo di procedere in questa direzione per il cervello umano, il biosistema più complicato (e allo stesso tempo il più interessante per gli scienziati). Nel quadro della teoria dell'informazione quantistica, c'era un'elaborazione modellata delle informazioni da parte delle reti neurali del cervello. La formalizzazione dell'informazione quantistica degli stati delle reti neurali è accoppiata con i processi elettrochimici nel cervello. Il punto chiave è la rappresentazione dell'incertezza generata dal potenziale d'azione di un neurone come sovrapposizione quantistica (like) degli stati mentali di base corrispondenti a un codice neurale, vedi Fig. 1 per l'illustrazione.

Considera l'elaborazione delle informazioni da parte di un singolo neurone; questo è il sistema  $S$ (vedi Sezione 8.2). Il suo stato di informazione quantistica corrispondente al codice neurale quiescente e acceso, $0/1$, può essere rappresentato nello spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}_{neuron}$ complesso bidimensionale  (spazio qubit). In un istante concreto lo stato del neurone può essere descritto matematicamente dalla sovrapposizione di due stati, etichettati da $|0\rangle$,$|1\rangle$:$|\psi _{neuron}\rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$ Si presume che questi stati siano ortogonali e normalizzati, cioè $\langle 0|1\rangle =0$ e $\langle \alpha |\alpha \rangle =1$,$\alpha =0,1$ . Le coordinate $c_{0}$ e $c_{1}$ rispetto al quiescente-base di attivazione sono ampiezze complesse che rappresentano le potenzialità per il neurone $S$ di essere quiescente o attivo. La sovrapposizione rappresenta l'incertezza nel potenziale d'azione, "sparare" o "non sparare". Questa sovrapposizione è la rappresentazione dell'informazione quantistica dell'incertezza fisica ed elettrochimica.

Lascia che $F$ sia una funzione psicologica (cognitiva) realizzata da questo neurone. (Naturalmente, questa è una semplificazione eccessiva, considerata, ad esempio, nel paradigma "neurone della nonna"; vedere la Sezione 11.3 per la modellazione di $F$ basata su una rete neurale). Supponiamo che $F=0,1$ sia dicotomico. Supponiamo che $F$ rappresenti un istinto, ad esempio l'aggressività: "attaccare" $=1$, "non attaccare" $=0$

Una funzione psicologica può rappresentare la risposta a qualche domanda (o classe di domande), la risoluzione di problemi, l'esecuzione di compiti. Matematicamente $F$ è rappresentato dall'operatore Hermitiano ${\widehat {F}}$  che è diagonale in base $|0\rangle$,$|1\rangle$. Il neurone $S$ interagisce con l'ambiente elettrochimico circostante $\varepsilon$. Questa interazione genera l'evoluzione dello stato del neurone e la realizzazione della funzione psicologica $F$. Modelliamo la dinamica con il quanto equazione principale (24). La decoerenza trasforma lo stato puro $|\psi _{neuron}\rangle$ nella classica miscela statistica (30), uno stato stazionario di questa dinamica. Questa è la risoluzione dell'incertezza elettrochimica originale nel potenziale d'azione del neurone.

Gli elementi diagonali di ${\widehat {\rho }}_{steady}$ danno le probabilità con l'interpretazione statistica: in un grande insieme di neuroni (individualmente) che interagiscono con lo stesso ambiente $\varepsilon$, diciamo $M$ neuroni, $M\gg 1$, il numero di neuroni che prendono la decisione $F=1$ è uguale all'elemento diagonale $p_{1}$.

Indichiamo anche il vantaggio della dinamica di tipo quantistico dell'interazione di un neurone con il suo ambiente - linearità della dinamica che implica un'accelerazione esponenziale del processo di evoluzione dello stato del neurone verso una "matrice di decisione" data da uno stato stazionario (Sezione 8.4).

11. Biosistemi composti

11.1. Entanglement degli stati informativi dei biosistemi

Lo spazio degli stati ${\mathcal {H}}$ del biosistema $S$ costituito dai sottosistemi $S_{j},j=1,2,....n$, è il prodotto tensoriale degli spazi degli stati dei sottosistemi ${\mathcal {H}}_{j}$, quindi

*

${\mathcal {H}}={\mathcal {H_{1}}}\otimes ....\otimes {\mathcal {H_{n}}}$

$(31)$

Il modo più semplice per immaginare questo spazio degli stati è considerare la sua rappresentazione delle coordinate rispetto a una base costruita con basi in ${\mathcal {H_{j}}}$. Per semplicità, consideriamo il caso degli spazi degli stati qubit ${\mathcal {H_{j}}}$ lasciamo $|\alpha \rangle$,$|\alpha \rangle =0,1$ essere una base ortonormale in ${\mathcal {H_{j}}}$, cioè elementi di questo spazio sono combinazioni lineari della forma $|\psi _{j}\rangle =c_{0}|0\rangle +c_{1}|1\rangle$. (Per essere completamente formali, dobbiamo etichettare i vettori di base con l'indice $j$, cioè $|\alpha \rangle \equiv |\alpha \rangle _{j}$. Ma lo ometteremo.) Quindi i vettori  $|\alpha _{1}.....\alpha _{n}\rangle \equiv |\alpha _{1}\rangle \otimes ....\otimes |\alpha _{n}\rangle$ formano la base ortonormale in ${\mathcal {H}}$, cioè , qualsiasi stato  $|{\mathcal {\Psi }}\in {\mathcal {H_{j}}}$ può essere rappresentato nel modulo

$|\psi \rangle =\sum _{\alpha _{j}=0,1}C_{(}\alpha _{1)}....\alpha _{n}|\alpha _{1}....\alpha _{n}\rangle$

$(32)$

e le coordinate complesse $C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}$ sono normalizzate: $\sum |C_{\alpha _{1}.....\alpha _{n}}|^{2}=1$. Ad esempio, se $n=2$, possiamo considerare lo stato

$|\Psi \rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}$

$(33)$

Questo è un esempio di stato entangled, cioè uno stato che non può essere fattorizzato nel prodotto tensoriale degli stati dei sottosistemi. Un esempio di stato non entangled (fino alla normalizzazione) è dato da

$|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|1\rangle +|0\rangle )$

Gli stati entangled sono stati di base per il calcolo quantistico che esplora l'inseparabilità dello stato. Agire su un qubit concreto modifica l'intero stato. Per uno stato separabile, trasformando diciamo il primo qubit, cambiamo solo lo stato del sistema $S_{1}$. Questa possibilità di cambiare lo stato molto complesso di un sistema composto attraverso il cambiamento dello stato locale di un sottosistema è considerata la radice della superiorità di calcolo quantistico rispetto a quello classico. Osserviamo che la dimensione dello spazio degli stati del prodotto tensoriale è molto grande, ed equivale a $2^{n}$per $n$ sottosistemi qubit. Nella fisica quantistica, questa possibilità di manipolare con lo stato composto (che può avere la grande dimensione) è tipicamente associata alla "non località quantistica" e all'azione spettrale a distanza. Ma anche nella fisica quantistica questa interpretazione non locale è fonte di dibattiti permanenti []. In particolare, nella recente serie di articoli, è stato dimostrato che è possibile procedere senza fare riferimento alla nonlocalità quantistica e che la meccanica quantistica può essere interpretata come la teoria fisica locale. Il punto di vista locale sulla teoria quantistica è più naturale per l'applicazione biologica.13 Per i biosistemi, l'azione spettrale a distanza è davvero misteriosa; per l'uomo corrisponde all'accettazione dei fenomeni parapsicologici.

Come si può spiegare la generazione della trasformazione dello stato del sistema composto $S$ dalla "trasformazione locale" dello stato del suo sottosistema $S_{1}$? Qui il ruolo chiave è svolto dalle correlazioni simbolicamente codificate in stati entangled. Ad esempio, considera il sistema composto $S=(S_{1},S_{2})$ nello stato $|\Psi \rangle$ dato da (33). Considera le osservabili di tipo proiezione $A_{j}$ su $A_{j}$ rappresentate dagli operatori Hermitiani ${\widehat {A}}_{j}$ con autovettori $|0\rangle$,$|1\rangle$ (negli spazi qubit${\mathcal {H}}_{j}$ ). La misurazione diciamo $A_{1}$ con l'output $A_{1}=\alpha$ induce la proiezione dello stato sul vettore $|\alpha \alpha \rangle$. Quindi, la misurazione di $A_{2}$ produrrà automaticamente l'output $A_{2}=\alpha$. Pertanto, lo stato  $|\Psi \rangle$ codifica le correlazioni esatte per questi due osservabili. Allo stesso modo, lo stato

$|\Psi \rangle =(|10\rangle +|01\rangle )/{\sqrt {2}}$

$(34)$

codifica le correlazioni $A_{1}=\alpha$,$A_{2}=\alpha$ (mod 2).

Quindi, "uno stato entangled fornisce la rappresentazione simbolica delle correlazioni tra gli stati dei sottosistemi di un biosistema composto"

La teoria dei sistemi quantistici aperti opera con stati misti descritti da operatori di densità. E prima di passare alla modellazione delle funzioni biologiche per i sistemi composti, definiamo l'entanglement per gli stati misti. Considera il caso del prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert, ovvero il sistema $S$ composto da due sottosistemi $S_{1}$ e $S_{2}$. Uno stato misto di $S$ dato da ${\widehat {\rho }}$ è detto separabile se può essere rappresentato come una combinazione convessa di stati prodotto ${\widehat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}{\widehat {\rho }}_{1k}\otimes {\widehat {\rho }}_{2k}$ dove ${\widehat {\rho }}ik$, $i=1,2$, sono l'operatore di densità del sottosistema $S_{i}$ di $S$. Gli stati non separabili sono chiamati entangled. Rappresentano simbolicamente le correlazioni tra i sottosistemi.

La dinamica quantistica descrive l'evoluzione di queste correlazioni. Nel quadro della dinamica dei sistemi aperti, una funzione biologica si avvicina allo stato stazionario attraverso il processo di decoerenza. Come discusso nella Sezione 8.3, questa dinamica risolve l'incertezza che era inizialmente presente nello stato di un biosistema; allo stesso tempo, cancella anche le correlazioni: lo stato stazionario che è diagonale in base $\{|\alpha _{1}....\alpha _{2}\rangle \}$ ed è separabile (districato). Tuttavia, nel processo di stato-evoluzione le correlazioni tra sottosistemi (entanglement) giocano un ruolo cruciale. La loro presenza porta a trasformazioni dello stato del sistema composto $S$ tramite "trasformazioni locali" degli stati dei suoi sottosistemi. Tale dinamica correlata dello stato informativo globale riflette la coerenza delle trasformazioni degli stati dei sottosistemi.

Poiché l'approccio di tipo quantistico si basa sulla rappresentazione dell'informazione quantistica degli stati dei sistemi, possiamo dimenticare la posizione nello spazio fisico dei biosistemi e lavorare nello spazio dell'informazione dato dal complesso spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$. In questo spazio, possiamo introdurre la nozione di località basata sulla decomposizione del prodotto tensoriale fisso (31). Le operazioni nei suoi componenti ${\mathcal {H}}_{j}$ possiamo chiamare locali (nello spazio informazioni). Ma essi inducono un'evoluzione "informazionalmente non locale" dello stato del sistema composto.

11.2. Entanglement delle epimutazioni geniche

Torniamo ora al modello presentato nella Sezione 9 e consideriamo lo stato informativo dell'epigenoma cellulare che esprime potenziali epimutazioni del tipo di marcatura della cromatina. Supponiamo che il genoma della cellula sia composto da $m$ geni $g_{1},....,g_{m}$. Per ogni gene $g$, considera tutte le sue possibili epimutazioni ed enumerale: $j_{g}=1,......k_{g}$. Lo stato di tutte le potenziali epimutazioni nel gene $g$ è rappresentato come sovrapposizione

$|\psi _{g}\rangle =\sum _{j_{g}}c_{j_{g})}|j_{g}\rangle$

$(35)$

Nella situazione ideale - le epimutazioni dei geni sono indipendenti - lo stato dell'epigenoma della cellula è descritto matematicamente dal prodotto tensoriale degli stati $|\psi _{g}\rangle$

$|\psi _{epi}\rangle =|\psi _{g_{1}}\rangle \otimes ....\otimes |\psi _{g_{m}}\rangle$

$(36)$

Tuttavia, in un biosistema vivente, la maggior parte dei geni e delle proteine sono correlati formando un grande sistema di rete. Pertanto, un'epimutazione colpisce altri geni. Nel quadro dell'informazione quantistica, questa situazione è descritta da stati entangled:

$|\psi _{epi}\rangle =\sum _{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}C_{j_{g_{1}....{j_{g_{m}}}}}|j_{g_{1}}...j_{g_{m}}\rangle$

$(37)$

Questa forma di rappresentazione delle potenziali epimutazioni nel genoma di una cellula implica che l'epimutazione in un gene sia coerente con le epimutazioni in altri geni. Se lo stato è entangled (non fattorizzato), agendo, cioè attraverso il cambiamento nell'ambiente, su un gene, diciamo $g_{1}$, e inducendo in esso qualche epimutazione, la cellula "può indurre" epimutazioni coerenti in altri geni.

La linearità della rappresentazione dell'informazione quantistica dei processi biofisici in una cellula induce la dinamica dello stato lineare. Questo rende l'evoluzione epigenetica molto rapida; gli elementi fuori diagonale della matrice di densità diminuiscono in modo esponenziale rapidamente. Pertanto, il nostro modello quantistico giustifica l'elevata velocità dell'evoluzione epigenetica. Se fosse basato esclusivamente sulla rappresentazione biofisica con dinamiche di stato non lineari, sarebbe essenzialmente più lento.

La modellazione basata sulla teoria dei sistemi aperti porta a riconsiderare l'interrelazione tra il punto di vista darwiniano e lamarckiano sull'evoluzione. Qui ci siamo concentrati sulle epimutazioni, ma allo stesso modo possiamo modellare le mutazioni (Asano et al., 2015b).

11.3. Funzioni psicologiche

Passiamo ora al modello presentato nella Sezione 10. Una rete neurale è modellata come un sistema quantistico composto; il suo stato è presentato come prodotto tensoriale di spazi di stato a singolo neurone. Le funzioni del cervello eseguono automisurazioni modellate all'interno della teoria dei sistemi quantistici aperti. (Non è necessario considerare il collasso dello stato.) La dinamica dello stato di alcune funzioni cerebrali (funzioni psicologiche) $F$ è descritta dall'equazione quantistica principale. I suoi stati stazionari rappresentano miscele statistiche classiche di possibili risultati di $F$ (decisioni). Pertanto, attraverso l'interazione con l'ambiente elettrochimico, $F$ (considerato come un sistema aperto) risolve l'incertezza originariamente codificata nello stato entangled che rappresenta le incertezze nei potenziali d'azione dei neuroni e le correlazioni tra di loro.

L'entanglement gioca il ruolo cruciale nel generare coerenza nella dinamica dei neuroni. Come nella Sezione 11.1, supponiamo che la rappresentazione dell'informazione quantistica sia basata sul codice $0-1$ . Considera una rete di $n$ neuroni che interagiscono con l'ambiente elettrochimico circostante $\varepsilon$, inclusa la segnalazione da altre reti neurali. Lo stato delle informazioni è dato dalla (32). L'entanglement codifica le correlazioni tra l'attivazione dei singoli neuroni. Ad esempio, lo stato (33) è associato a due neuroni che si attivano in modo sincrono e lo stato (34) a due neuroni che si attivano in modo asincrono.

Gli output della funzione psicologica $F$ basata biofisicamente su una rete neurale sono il risultato di dinamiche di stato coerenti dei singoli neuroni appartenenti a questa rete. Come già sottolineato, l'evoluzione dello stato verso uno stato stazionario è molto rapida, come conseguenza della linearità della dinamica del sistema aperto; gli elementi fuori diagonale della matrice di densità diminuiscono in modo esponenziale rapidamente.

12. Osservazioni conclusive

Dal 1990 (Khrennikov, 1999), la modellazione quantistica al di fuori della fisica, in particolare la modellazione della cognizione e del processo decisionale, è fiorita in tutto il mondo. La teoria dell'informazione quantistica (accoppiata alla misurazione e alle teorie dei sistemi quantistici aperti) è un terreno fertile per i sostenitori della simil-quantistica. L'ipotesi di base presentata in questo articolo è che il funzionamento dei biosistemi sia basato sulla rappresentazione dell'informazione quantistica dei loro stati. Questa rappresentazione è l'output dell'evoluzione biologica. Quest'ultimo è considerato come l'evoluzione nello spazio dell'informazione. Quindi, i biosistemi reagiscono non solo ai vincoli materiali o energetici imposti dall'ambiente, ma anche ai vincoli informativi. In questo lavoro, le funzioni biologiche sono considerate come sistemi informativi aperti che interagiscono con l'ambiente informativo.

La rappresentazione quantistica delle informazioni offre la possibilità di elaborare sovrapposizioni. Questo modo di elaborare le informazioni è vantaggioso in quanto consente di risparmiare risorse computazionali: una funzione biologica $F$ non ha bisogno di risolvere le incertezze codificate nelle sovrapposizioni e di calcolare i JPD di tutte le variabili compatibili coinvolte nell'esecuzione di $F$.

Un'altra caratteristica vantaggiosa dell'elaborazione delle informazioni di tipo quantistico è la sua linearità. La transizione dalla dinamica non lineare degli stati elettrochimici alla dinamica lineare di tipo quantistico accelera enormemente l'elaborazione dello stato (per l'espressione genica, le epimutazioni e in generale il processo decisionale). In questo quadro, i decisori sono geni, proteine, cellule, cervelli, sistemi ecologici.

Le funzioni biologiche hanno sviluppato la capacità di eseguire automisurazioni, per generare output del loro funzionamento. Modelliamo questa capacità nel quadro di sistemi quantistici aperti, come processo decisionale attraverso la decoerenza. Sottolineiamo che questo modello è libero dalla nozione ambigua di collasso della funzione d'onda.

Le correlazioni all'interno di una funzione biologica così come tra diverse funzioni biologiche e l'ambiente sono rappresentate linearmente da stati quantistici entangled.

Ci auguriamo che questo documento possa essere utile per i biologi (specialmente che lavorano sulla modellazione matematica) come introduzione all'approccio di tipo quantistico per modellare il funzionamento dei biosistemi. Ci auguriamo inoltre che possa attirare l'attenzione degli esperti di teoria dell'informazione quantistica sulla possibilità di utilizzare il suo formalismo e la sua metodologia negli studi biologici.

Dichiarazione di interesse concorrente

Gli autori dichiarano di non avere interessi finanziari concorrenti noti o relazioni personali che potrebbero aver influenzato il lavoro riportato in questo documento.

Ringraziamenti

Questo lavoro è stato parzialmente supportato da JSPS, Japan KAKENHI, n. 26247016 e 17K19970. MO riconosce il sostegno della collaborazione IRI-NU, Giappone .

Bibliography & references

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particularly focusing on the field of the neurophysiology of the masticatory system
 

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