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Descrizione focalizzata dell'analisi matematica dei punti

Punti e coordinate coinvolte

Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano:

Coordinate $P1_{M}$ del punto 1 del condilo mediotrusivo: $(1164.1,-64.2)$
Coordinate $P7_{M}$ del punto 7 del condilo mediotrusivo: $(1148.2,-124.6)$
Coordinate $H3_{M}$ del punto di riferimento del condilo mediotrusivo: $(1165,11.4)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $P7_{M}$ , e il segmento che unisce i punti $P1_{M}$ e $H3_{M}$ . Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Punto	Distanza (pixel)	Distanza (mm)	Direzione in X (antero-posteriore)	Direzione in Y (latero-mediale)
2	50.92	5.09	Indietro	Mediale
3	148.05	14.81	Indietro	Mediale
4	255.81	25.58	Indietro	Mediale
5	265.43	26.54	Indietro	Mediale
6	145.68	14.57	Indietro	Mediale
7*	62.45	6.25	Indietro	Mediale
8	11.87	1.19	Indietro	Mediale

Iter matematico per il calcolo dell'angolo

L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la trigonometria vettorialeInnanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:

Il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto $P7_{M}$ : ${\vec {AB}}=P7_{M}-P1_{M}=(1148.2,-124.6)-(1164.1,-64.2)=(-15.9,-60.4)$
Il vettore tra il punto $P1_{M}$ e il punto $H3_{M}$ : ${\vec {AC}}=H3_{M}-P1_{M}=(1165,11.4)-(1164.1,-64.2)=(0.9,75.6)$

Questo metodo ci permette di rappresentare le relazioni angolari tra movimenti distinti nello spazio. ed il Prodotto scalareIl prodotto scalare tra due vettori $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ è dato dalla formula:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$

Sostituendo i valori calcolati:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-15.9)\cdot (0.9)+(-60.4)\cdot (75.6)=-14.31-4566.24=-4580.55$ .

Una volta eseguiti i passaggi trigonometrici ed il prodotto scalare si passa al calcolo della normaLa norma (o lunghezza) di ciascun vettore è calcolata utilizzando la formula della lunghezza del vettore:

$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-15.9)^{2}+(-60.4)^{2}}}={\sqrt {252.81+3648.16}}={\sqrt {3900.97}}\approx 62.45$ $|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(0.9)^{2}+(75.6)^{2}}}={\sqrt {0.81+5710.56}}={\sqrt {5711.37}}\approx 75.58$

Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$ Sostituendo i valori:

$\cos(\theta )={\frac {-4580.55}{62.45\cdot 75.58}}={\frac {-4580.55}{4717.25}}\approx -0.971$ L'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arccoseno: $\theta =\arccos(-0.971)$

Motivo dell'analisi

L'obiettivo dell'analisi è determinare l'angolo tra due movimenti all'interno di un sistema articolare, in particolare nell'area di studio della cinematica masticatoria. La comprensione di questi angoli ci consente di:

1. **Valutare la dinamica mandibolare**: Calcolare gli angoli tra i segmenti mandibolari può fornire informazioni essenziali su come la mandibola si sposta durante il movimento, aiutando a descrivere i pattern del movimento articolare.

2. **Modellare la biomeccanica del sistema masticatorio**: Gli angoli tra i punti permettono di costruire modelli accurati che simulano il comportamento meccanico del sistema mandibolare, utilizzabili in applicazioni cliniche per diagnosi e trattamenti.

3. **Confrontare con angoli standard**: Gli angoli misurati possono essere confrontati con valori normali o patologici per identificare eventuali alterazioni nei movimenti mandibolari che potrebbero indicare disturbi dell'articolazione temporomandibolare (ATM).

Questo calcolo è fondamentale per fornire una descrizione matematica precisa della cinetica mandibolare e per migliorare la modellazione biomeccanica di strutture orofacciali, cruciali per la diagnosi e l'intervento clinico.

Conclusione

Il tracciato lateroretrusivo del punto molare laterotrusivo, anziché un arco puramente laterale, suggerisce un'interazione complessa tra il condilo laterotrusivo e il movimento del condilo mediotrusivo. Questo fenomeno può essere spiegato come un’interferenza causata dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo, oltre che da una componente retrusiva intrinseca al condilo laterotrusivo stesso.