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Distanze e Direzioni

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolarela distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola. ( Figura 2 e tabella 1)

Figura 2: Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio

Tabella 1
Punto	Distanza (mm)	Direzione (X - antero-posteriore)	Direzione (Y - latero-mediale)
2	4.14	Avanti	Mediale
3	11.92	Avanti	Mediale
4	15.75	Avanti	Mediale
5	8.76	Avanti	Mediale
6	2.21	Indietro	Laterale
7*	2.15	Indietro	Laterale
8	0.61	Indietro	Laterale
Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i puntimarcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. IL punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del condilo laterotrusivo

Osservando la tabella la distanza tra il punto 1 e il punto 7 è correttamente circa 2.15 mm. Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$ . La formula per la distanza euclidea tra due punti $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ è: ${\text{distanza}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ Sostituendo i valori: ${\text{distanza}}={\sqrt {(44-58.3)^{2}+(-34.9+50.9)^{2}}}$ ${\text{distanza}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46\,{\text{pixel}}$ A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione (che supponiamo essere 0.1 mm/pixel, come indicato nel modello): ${\text{distanza in mm}}=21.46\times 0.1=2.146\,{\text{mm}}$

Calcolo dell'angolo tra i punti 1, 7 e la linea tratteggiata

Per calcolare l'angolo tra il punto 1, il punto 7 e la linea tratteggiata che interseca il punto 1, dobbiamo utilizzare la trigonometria.

Punti e coordinate coinvolte

Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano:

Coordinate $P1_{L}$ del punto 1 del condilo laterotrusivo: $(58.3,-50.9)$
Coordinate $P7_{L}$ del punto 7 del condilo laterotrusivo: $(44,-34.9)$
Coordinate $R$ del punto di riferimento del condilo laterotrusivo: $(60.7,158.7)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $P7_{L}$ , e il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $R$ . Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Iter matematico per il calcolo dell'angolo

L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale** e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.

1. Definizione dei vettori

Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:

Il vettore tra il punto 1_L e il punto 7_L:

${\vec {AB}}=P7_{L}-P1_{L}=(44,-34.9)-(58.3,-50.9)=(-14.3,16.0)$

Il vettore tra il punto 1_L e il punto H₃:

${\vec {AC}}=R-P1_{L}=(60.7,158.7)-(58.3,-50.9)=(2.4,209.6)$

2. Prodotto scalare

Il **prodotto scalare** tra due vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$

Sostituendo i valori calcolati:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-14.3)\cdot (2.4)+(16.0)\cdot (209.6)=-34.32+3353.6=3319.28$

3. Calcolo delle norme

Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:

$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46$

$|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(2.4)^{2}+(209.6)^{2}}}={\sqrt {5.76+43944.16}}={\sqrt {43949.92}}\approx 209.68$

4. Calcolo dell'angolo

Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$

Sostituendo i valori:

$\cos(\theta )={\frac {3319.28}{21.46\cdot 209.68}}={\frac {3319.28}{4498.77}}\approx 0.738$

Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arcoseno:

$\theta =\arccos(0.738)\approx 42.44^{\circ }$

Con lo stesso procedimento calcoliamo le distanze e l'angolo per il molare laterotrusivo, l'incisivo, il molare mediotrusivo ed il condilo mediotrusivo per verificarne l'andamento spaziale.