Asse Cerniera verticale

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Introduzione

Nel capitolo precedente, 'Transverse Hinge Axis', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare, concentrandoci sul piano sagittale. Abbiamo osservato come, durante i movimenti di protrusione e retrusione, la mandibola non si muova semplicemente lungo l'asse X, ma esegua anche una rotazione sull'asse Y. Questo movimento condilare si riflette a livello anteriore, dove l'incisivo mandibolare si sposta linearmente, incorporando la rotazione generata a livello dell'asse Y condilare. Lo spazio angolare risultante è di fondamentale importanza per permettere alla mandibola di ruotare e scivolare linearmente in modo fluido durante il movimento masticatorio.

Spazio libero inter-incisivo e sistemi di registrazione:

Questo spazio angolare, che chiamiamo spazio libero interincisivo, è cruciale per le funzioni masticatorie. Tuttavia, strumenti come il Sirognatograph e i sistemi elettromagnetici tradizionali tendono a ignorare la componente angolare associata ai movimenti condilari, concentrandosi principalmente sulle traslazioni lineari. Sebbene sembri sufficiente per la registrazione del movimento, tale approccio risulta incompleto, data la complessità dei movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.

Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà

Il movimento mandibolare avviene in uno spazio tridimensionale e richiede una rappresentazione in termini di sei gradi di libertà. Ogni condilo è associato a tre assi principali:

L'asse $Y$ (latero-mediale), attorno al quale ruota la mandibola, creando l'asse cerniera trasversale ( $_{t}HA$ ).

L'asse $Z$ (verticale), con il proprio centro di rotazione sull'asse cerniera verticale ( $_{v}HA$ ).

L'asse $X$ (antero-posteriore), che determina la rotazione attorno all'asse cerniera orizzontale ( $_{o}HA$ ).

Con questi tre assi si formano tre piani:

Piano sagittale, dove possiamo visualizzare il tracciato condilare generato dalla rototraslazione sull'asse trasversale ( $_{t}HA$ ). il Piano coronale ( $_{o}HA$ ) ed il Piano assiale generato dall'asse verticale ( $Z$ ) che denominiamo Asse Cerniera Verticale $_{v}HA$ . Ci focalizzeremo sullo $_{v}HA$ per le motivazioni imprescindibili riferibili a sistemi di replicazione patografica ed assiografica ma prima di ciò è bene capirne il razionale su cui si basa la 'Gnatologia Classica'

Il pantografo analogico complesso è stato lodato come un dispositivo che simulava accuratamente i movimenti di confine del paziente e li trasferiva su un articolatore completamente regolabile tramite le sue 6 piastrine. ^[1]^[2]^[3]Successivamente, si è riportato che anche il pantografo elettronico registrava i determinanti condilari con un intervallo accettabile. ( argomento che affronteremo dettagliatamente nei prossimi capitoli)
Gli investigatori hanno sottolineato l’influenza della corretta registrazione dei movimenti mandibolari sulla morfologia occlusale risultante dei denti posteriori, espressa negli angoli delle cuspidi e nella direzione dei solchi come effetto diretto della variazione dei determinanti condilari.^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]
Un determinante particolare del movimento condilare, la traslazione laterale immediata mandibolare (IMLT) dei condili, è stato oggetto di notevole dibattito e confusione nella letteratura protesica.^[9]^[10]^[11] Tuttavia, una recente revisione sistematica della letteratura ha riportato una mancanza di prove riguardo al significato clinico o alle implicazioni di questo movimento.^[12] ( argomento che discuteremo in questo capitolo)

Come si può notare il tema si basa sostanzialmente sulla meccanica razionale, argomento non banale, in cui si integrano concetti di geometria, matematica e meccanica ed è auspicabile, quindi, capire il profondo senso concettuale del processo di replicazione dei movimenti mandibolare e per evidenziarne l'eventuale anomalia. Per fare ciò è bene rappresentare l'argomento, non banale, con una rappresentazione il più vicino possibile alla tridimensionalità del fenomeno dinamico riprendendo i lavori prestigiosi eseguiti da Lund e Gibbs riguardo alla cinematica mandibolare con lo strumento datato ma ancora attiale chiamato, appunto, 'Replicator'. Focalizzando in questo capitolo la dinamica mandibolare sul piano assiale e cioè generata dalla cinematica dell'asse verticale $_{v}HA$ descriveremo il fenomeno simulando il processo da un tracciato estratto dal lavoro di Lund e Gibs, Figura 1 in cui viene rappresentata la cinematica mandibolare con i punti spaziali rilevati sincronicamente dallo strumento. ( vedi figura e popup Questa figura mostra la rappresentazione dei movimenti masticatori umani con un focus sulla cinematica mandibolare, evidenziando i Punti condilariQuesti punti rappresentano i condili laterotrusivi e mediotrusivi. Il Laterotrusive point (a sinistra) e il Mediotrusive point (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (1L, 2L, 3L, ecc.) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti 1M, 2M, ecc. seguono il condilo mediotrusivo e i tracciati dei movimenti su i punti occlusali Punto molareIl Molar point (situato in basso a sinistra) rappresenta il percorso tracciato dal molare durante il movimento masticatorio. Come per i condili, anche qui i punti numerati rappresentano le varie posizioni del molare nel tempo e del Punto incisaleL'Incisal point (in basso a destra) rappresenta il percorso dell'incisivo durante la masticazione. I punti numerati (1, 2, 3, ecc.) descrivono la traiettoria dell'incisivo nel tempo. La figura include un sistema di riferimento tridimensionale con assi cartesiani X, Y, e Z. L'asse Z è orientato verticalmente, l'asse Y rappresenta il movimento laterale (sinistra/destra) della mandibola, e l'asse X indica il movimento antero-posteriore (avanti/indietro).Movimenti masticatori: I tracciati mostrano l'evoluzione dei movimenti durante il ciclo masticatorio, descrivendo la traslazione e rotazione di ciascuna porzione del sistema mandibolare (condili, molari e incisivi) nel tempo.)

Figura 1: Cinematica mandibolare sul piano assiale

Per poter descrivere attraverso l'uso dell'immagine riportata la complesso processo cinematico condilare e dei punti occlusali è necessario calibrare la figura e convertirla a pixel.

Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri

Per l'analisi dei movimenti mandibolari, è stato utilizzato un modello grafico derivato da uno studio di bioingegneria meccanica, in cui i movimenti dei condili e degli incisivi sono stati registrati. Per garantire l'accuratezza delle misurazioni, l'immagine è stata calibrata convertendo i valori da pixel a millimetri utilizzando una scala di riferimento presente nell'immagine. La conversione avviene con il seguente fattore di conversione:

${\text{Fattore di conversione}}={\frac {10\,{\text{mm}}}{100.0032\,{\text{pixel}}}}\approx 0.1\,{\text{mm/pixel}}$

Misurazione della Distanza tra i Punti

Per ogni coppia di punti sull'immagine, la distanza è calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea. Ad esempio, la distanza tra il punto 1L e 2L (coordinate: (59.0, -92.3) e (58.3, -50.9)) è:

${\text{Distanza}}={\sqrt {(59.0-58.3)^{2}+(-92.3+50.9)^{2}}}\approx 41.42\,{\text{pixel}}=4.14\,{\text{mm}}$

A questo punto possiamo inziare in primis a rivedere alcuni concetti essenziali di geometria con formalismo matematico per comprendere meglio ciò che poi a volte non si esplicita nella routine clinica.

Cinematica dei Condili

Traslazioni e Rotazioni Lineari dei Condili Spiegazione del Movimento: In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.Esempio di Movimento *Il condilo laterotrusivo non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi $x$ , $y$ e $z$ , influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.Conclusione Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le posizioni, velocità e accelerazioni dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.

Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come rototraslazione, è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.

Per descrivere in modo preciso la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori rappresentano le coordinate sia di spostamento lineare che di rotazione angolare dei condili nel sistema di riferimento cartesiano.

Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (lavorante)

Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Questo condilo si sposta e ruota in modo complesso. Il vettore di posizione del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{l}(t)=[X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t),\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)]$

Dove:

$X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$ $X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$ : Rappresentano gli spostamenti lineari del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
- $X_{l}(t)$ : Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
- $Y_{l}(t)$ : Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra).
- $Z_{l}(t)$ : Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso).

$\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)$ $\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)$ : Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi:
- $\theta _{l}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $x$ (causa una torsione laterale della mandibola).
- $\phi _{l}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $y$ (controlla l'apertura e chiusura della mandibola).
- $\psi _{l}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $z$ (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).

Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)

Questo condilo si trova sul lato opposto rispetto al condilo lavorante e si sposta principalmente medialmente e anteriormente durante il movimento laterale della mandibola conosciuto nel gergo gnatologico come 'Condilo orbitante' ma contestualmente non meno complesso del lavorante. Il vettore di posizione del condilo mediotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{m}(t)=[X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t),\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)]$

Dove:

$X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t)$ $X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t)$ : Sono gli spostamenti lineari del condilo mediotrusivo:
- $X_{m}(t)$ : Spostamento antero-posteriore.
- $Y_{m}(t)$ : Spostamento latero-mediale.
- $Z_{m}(t)$ : Spostamento verticale.

$\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)$ $\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)$ : Descrivono le rotazioni angolari attorno ai tre assi:
- $\theta _{m}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $x$ .
- $\phi _{m}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $y$ .
- $\psi _{m}(t)$ : Rotazione attorno all'asse $z$ .

Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale $_{v}HA$ ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica

Rotazione del Condilo Laterotrusivo

La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse $Z$ (verticale) può essere descritta dalla seguente procedura matematica:

$R_{\psi }(X_{L},Y_{L})={\begin{pmatrix}\cos(\psi )-\sin(\psi )\sin(\psi )\cos(\psi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{L}Y_{L}\end{pmatrix}}$

meglio comprensibile in forma matriciale

$R_{\psi }(X_{L},Y_{L})={\begin{pmatrix}\cos(\psi )&-\sin(\psi )\\\sin(\psi )&\cos(\psi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X_{L}\\Y_{L}\end{pmatrix}}$

Dove $\psi$ rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale), e $(X_{L},Y_{L})$ sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale $(X,Y)$

Traslazione del Condilo Mediotrusivo

Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione lungo il piano trasversale e sagittale come abbiamo detto conosciuto come tragitto orbitante. Il vettore di traslazione è descritto come:

$T_{M}(t)={\begin{pmatrix}X_{M}(t)\\Y_{M}(t)\\Z_{M}(t)\end{pmatrix}}$

Questa traslazione descrive il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo, il quale influisce significativamente sulla dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Si tenga conto che anche il condilo mediotrusivo, nel proprio tragitto mediale e anteriore, incorpora una rotazione attorno all'asse Z (asse verticale). Da qui possiamo passare all'analisi delle posizioni spaziali dei punti descrivendone lo spostamento lineare ed angolare sia dei condili laterotrusivo e mediotrusivo che del molare ed incisivo.

Descrizione delle misure lineari ed angolari

Rappresentazione scalare dei tracciati condilari

Descrizione delle distanze e delle direzioni

Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1) considerato il unto di riferimento essendo la mandibola in una posizione di Massima Intercuspidazione e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi $X$ (antero-posteriore) e $Y$ (latero-mediale).

Punti da confrontare rispetto a 1L

Punto 2L

Coordinate: (59.0, -92.3) Calcolo della distanza rispetto a 1L: ${\text{distanza}}={\sqrt {(59.0-58.3)^{2}+(-92.3+50.9)^{2}}}={\sqrt {(0.7)^{2}+(-41.4)^{2}}}\approx {\sqrt {0.49+1714.56}}\approx {\sqrt {1715.05}}\approx 41.42\,{\text{pixel}}$ Distanza in millimetri: $41.42\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=4.14\,{\text{mm}}$

Punto 3L

Coordinate: (46.3, -169.5) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

${\text{distanza}}={\sqrt {(46.3-58.3)^{2}+(-169.5+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-12.0)^{2}+(-118.6)^{2}}}\approx {\sqrt {144.0+14065.96}}\approx {\sqrt {14209.96}}\approx 119.2\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $119.2\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=11.92\,{\text{mm}}$

Punto 4L

Coordinate: (44.1, -207.7) Calcolo della distanza rispetto a 1L: ${\text{distanza}}={\sqrt {(44.1-58.3)^{2}+(-207.7+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-14.2)^{2}+(-156.8)^{2}}}\approx {\sqrt {201.64+24596.84}}\approx {\sqrt {24798.48}}\approx 157.5\,{\text{pixel}}$ Distanza in millimetri: $157.5\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=15.75\,{\text{mm}}$

Punto 5L

Coordinate: (38.4, -136.2) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

${\text{distanza}}={\sqrt {(38.4-58.3)^{2}+(-136.2+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-19.9)^{2}+(-85.3)^{2}}}\approx {\sqrt {396.01+7276.09}}\approx {\sqrt {7672.1}}\approx 87.6\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $87.6\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=8.76\,{\text{mm}}$

Punto 6L

Coordinate: (36.4, -48.2) Calcolo della distanza rispetto a 1L:

${\text{distanza}}={\sqrt {(36.4-58.3)^{2}+(-48.2+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-21.9)^{2}+(2.7)^{2}}}\approx {\sqrt {479.61+7.29}}\approx {\sqrt {486.9}}\approx 22.1\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $22.1\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=2.21\,{\text{mm}}$

Punto 7L

Coordinate: (44.0, -34.9)

Calcolo della distanza rispetto a 1L:

${\text{distanza}}={\sqrt {(44.0-58.3)^{2}+(-34.9+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}\approx {\sqrt {204.49+256.0}}\approx {\sqrt {460.49}}\approx 21.5\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $21.5\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=2.15\,{\text{mm}}$

Punto 8L

Coordinate: (52.9, -48.0)

Calcolo della distanza rispetto a 1L:

${\text{distanza}}={\sqrt {(52.9-58.3)^{2}+(-48.0+50.9)^{2}}}={\sqrt {(-5.4)^{2}+(2.9)^{2}}}\approx {\sqrt {29.16+8.41}}\approx {\sqrt {37.57}}\approx 6.13\,{\text{pixel}}$

Distanza in millimetri: $6.13\,{\text{pixel}}\times 0.1\,{\text{mm/pixel}}=0.61\,{\text{mm}}$

e così via per gli altri lati. L'obiettivo dell'analisi è determinare l'angolo tra due movimenti all'interno di un sistema articolare, in particolare nell'area di studio della cinematica masticatoria. La comprensione di questi angoli ci consente di: Valutare la dinamica mandibolare: Calcolare gli angoli tra i segmenti mandibolari può fornire informazioni essenziali su come la mandibola si sposta durante il movimento, aiutando a descrivere i pattern del movimento articolare. Modellare la biomeccanica del sistema masticatorio: Gli angoli tra i punti permettono di costruire modelli accurati che simulano il comportamento meccanico del sistema mandibolare, utilizzabili in applicazioni cliniche per diagnosi e trattamenti. Confrontare con angoli standard: Gli angoli misurati possono essere confrontati con valori normali o patologici per identificare eventuali alterazioni nei movimenti mandibolari che potrebbero indicare disturbi dell'articolazione temporomandibolare (ATM). Questo calcolo è fondamentale per fornire una descrizione matematica precisa della cinetica mandibolare e per migliorare la modellazione biomeccanica di strutture orofacciali, cruciali per la diagnosi e l'intervento clinico.

A questo punto non ci resto altro da fare che rappresentare e simulare la posizione spaziale dei punti dinamici marcati dalla figura, quantificandone lo spostamento lineare ed angolare.

Distanze e delle Direzioni

Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolare l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola

Punto	Distanza (mm)	Direzione (X - antero-posteriore)	Direzione (Y - latero-mediale)
2	4.14	Avanti	Mediale
3	11.92	Avanti	Mediale
4	15.75	Avanti	Mediale
5	8.76	Avanti	Mediale
6	2.21	Indietro	Laterale
7	2.15	Indietro	Laterale
8	0.61	Indietro	Laterale

Calcolo dell'angolo tra i punti 1, 7 e la linea tratteggiata

Per calcolare l'angolo tra il punto 1, il punto 7 e la linea tratteggiata che interseca il punto 1, dobbiamo utilizzare la trigonometria.

Punti e coordinate coinvolte

Nel contesto della nostra analisi, abbiamo tre punti nello spazio 2D che ci interessano:

Coordinate $P1_{L}$ del punto 1 del condilo laterotrusivo: $(58.3,-50.9)$
Coordinate $P7_{L}$ del punto 7 del condilo laterotrusivo: $(44,-34.9)$
Coordinate $R$ del punto di riferimento del condilo laterotrusivo: $(60.7,158.7)$

Questi punti rappresentano tre posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $P7_{L}$ , e il segmento che unisce i punti $P1_{L}$ e $H3_{L}$ . Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Iter matematico per il calcolo dell'angolo

L'angolo tra due segmenti può essere calcolato utilizzando la **trigonometria vettoriale** e, in particolare, il **prodotto scalare**. Questo metodo è utile quando vogliamo determinare la relazione angolare tra due movimenti distinti nello spazio.

1. Definizione dei vettori

Innanzitutto, dobbiamo calcolare i vettori che rappresentano i segmenti tra i punti:

Il vettore tra il punto 1_L e il punto 7_L:

${\vec {AB}}=P7_{L}-P1_{L}=(44,-34.9)-(58.3,-50.9)=(-14.3,16.0)$

Il vettore tra il punto 1_L e il punto H₃:

${\vec {AC}}=R-P1_{L}=(60.7,158.7)-(58.3,-50.9)=(2.4,209.6)$

2. Prodotto scalare

Il **prodotto scalare** tra due vettori ${\vec {AB}}$ e ${\vec {AC}}$ è dato dalla formula:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=AB_{x}\cdot AC_{x}+AB_{y}\cdot AC_{y}$

Sostituendo i valori calcolati:

${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-14.3)\cdot (2.4)+(16.0)\cdot (209.6)=-34.32+3353.6=3319.28$

3. Calcolo delle norme

Le norme (lunghezze) dei due vettori sono calcolate con la formula della lunghezza del vettore:

$|{\vec {AB}}|={\sqrt {AB_{x}^{2}+AB_{y}^{2}}}={\sqrt {(-14.3)^{2}+(16.0)^{2}}}={\sqrt {204.49+256.0}}={\sqrt {460.49}}\approx 21.46$

$|{\vec {AC}}|={\sqrt {AC_{x}^{2}+AC_{y}^{2}}}={\sqrt {(2.4)^{2}+(209.6)^{2}}}={\sqrt {5.76+43944.16}}={\sqrt {43949.92}}\approx 209.68$

4. Calcolo dell'angolo

Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori:

$\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}$

Sostituendo i valori:

$\cos(\theta )={\frac {3319.28}{21.46\cdot 209.68}}={\frac {3319.28}{4498.77}}\approx 0.738$

Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arcoseno:

$\theta =\arccos(0.738)\approx 42.44^{\circ }$

qui

Bibliography & references

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