Store:Asse Cerniera Verticale parte 2

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo descrive il calcolo delle distanze e degli angoli tra segmenti in un piano 2D, applicati alla cinematica mandibolare. In particolare, si analizzano i movimenti articolari dei condili durante il ciclo masticatorio, rappresentati nella Figura 5 e nella Tabella 1.

Tabella 1
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione	Direzione $Y$
Figura 5: Marker sovrapposti in Geogebra sul tracciato del condilo laterotrusivo	2	1.734	Protrusiva	Parallela
	3	4.99	Protrusiva	Lateralizzazione
	4	6.59	Protrusiva	Lateralizzazione
	5	3.66	Inversione	Inversione
	6	0.923	Retrusiva	Lateralizzazione
	7*	0.898	Protrusiva	Medializzazione
	8	0.257	Protrusiva	Medializzazione

Dalla figura e dalla tabella emerge che il punto $7L_{c}$ rappresenta l'inversione del moto condilare, con il passaggio verso un percorso mediale diretto alla massima intercuspidazione. La distanza tra il punto $7L_{c}$ e $1L_{c}$, pari a circa $0.898\,{\text{mm}}$, definisce il movimento di Bennett.

La direzione angolare è stata calcolata come: $\theta =131.87^{\circ }$ e $\theta '=42^{\circ }$.

Per approfondire, il calcolo dettagliato è riportato di seguito:  Calcolo dettagliato: distanza tra $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$, distanza euclidea ${\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$, convertita in mm come $21.47\times 0.04184\approx 0.898\,{\text{mm}}$, angolo $\theta =\arccos(-0.6665)\approx 131.87^{\circ }$.

Molare Laterotrusivo

Questo paragrafo analizza i movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo, basandosi sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli tra vettori mediante trigonometria vettoriale (Figura 6 e Tabella 2).

Tabella 2
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 6: Marker grafici rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro	2	0.39	Indietro	Lateralizzazione
	3	2.18	Indietro	Lateralizzazione
	4	3.57	Indietro	Lateralizzazione
	5	5.68	Indietro	Lateralizzazione
	6	6.76	Indietro	Inversione
	7*	3.93	Indietro	Medializzazione
	8	1.15	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, si evidenziano le distanze e le direzioni dei punti marcati. In particolare, la distanza tra il punto $7L_{m}$ e il punto iniziale $1L_{m}$ è stata calcolata come circa $3.93\,_{\text{mm}}$, con un angolo tra i vettori pari a $73^{\circ }$. Calcolo dettagliato: 1. Definizione dei vettori: ${\vec {AB}}=7L_{m}-1L_{m}=(255.7,-816.0)-(345.2,-844.5)=(-89.5,28.5)$ ${\vec {AC}}=R_{p}-1L_{m}=(346.6,-727.1)-(345.2,-844.5)=(1.4,117.4)$ 2. Magnitudine dei vettori: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-89.5)^{2}+(28.5)^{2}}}\approx 93.93$ $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(1.4)^{2}+(117.4)^{2}}}\approx 117.41$ 3. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.5)(1.4)+(28.5)(117.4)=2928.4$ 4. Calcolo dell'angolo: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}={\frac {2928.4}{93.93\cdot 117.41}}\approx 0.292$ $\theta =\arccos(0.292)\approx 73.02^{\circ }$

Area Incisale

Questo paragrafo analizza i movimenti articolari dell’incisivo sul lato lavorante. Utilizzando le coordinate dei punti $1_{I}$, $7_{I}$ e $R_{p}^{+}$ in uno spazio 2D, sono calcolate le distanze lineari e l’angolo tra i segmenti che collegano questi punti.(Figura 7, tabella 3)

Tabella 3
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 7: Markers grafici rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione nell'area incisale sul lato destro.	2	0.69	Retrusiva	Lateralizzazione
	3	2.30	Retrusiva	Lateralizzazione
	4	4.61	Retrusiva	Lateralizzazione
	5	7.58	Protrusiva	Lateralizzazione
	6	8.54	Retrusiva	Inversione
	7*	5.12	Retrusiva	Medializzazione
	8	1.75	Retrusiva	Medializzazione

Per i tracciati dell’area incisale, la distanza tra i punti $1_{I}$ e $7_{I}$ è di $5.12\,{\text{mm}}$, con un angolo calcolato approssimativamente pari a $85.1^{\circ }$.

Per approfondire i calcoli, ecco la spiegazione dettagliata Calcolo dettagliato: Coordinate dei punti: $1_{I}=(631.5,-1151.8)$, $7_{I}=(509.6,-1139.9)$, $R_{p}^{+}=(634.3,-912.8)$. Vettori: ${\vec {1I7I}}=(-121.9,11.9)$, ${\vec {1IR_{p}^{+}}}=(2.8,239)$. Norme: $|{\vec {1I7I}}|={\sqrt {(-121.9)^{2}+(11.9)^{2}}}\approx 122.49$, $|{\vec {1IR_{p}^{+}}}|={\sqrt {(2.8)^{2}+(239)^{2}}}\approx 238.95$. Prodotto scalare: ${\vec {1I7I}}\cdot {\vec {1IR_{p}^{+}}}=(-121.9)(2.8)+(11.9)(239)\approx 2502.78$. Coseno dell’angolo: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {1I7I}}\cdot {\vec {1IR_{p}^{+}}}}{|{\vec {1I7I}}|\cdot |{\vec {1IR_{p}^{+}}}|}}={\frac {2502.78}{122.49\cdot 238.95}}\approx 0.0855$. Angolo: $\theta =\arccos(0.0855)\approx 85.1^{\circ }$.

Molare mediotrusivo

L’analisi del moto cinematico mandibolare nel molare mediotrusivo evidenzia un progressivo aumento dell’angolo di direzione rispetto al molare laterotrusivo ($73^{\circ }$) e all’incisivo ($85^{\circ }$), fino al massimo valore rilevato nel condilo ($180^{\circ }$). Questo angolo, noto come angolo di svincolo mediotrusivo, si forma tra la cuspide centrale e quella distale del primo molare. La Tabella 4 e la figura 8 mostrano le distanze tra i punti del tracciato e il punto $1M_{m}$.

Tabella 4
Tracciato mediotrusivo molare	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 8: Markers rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro.	2	0.68	Retrusiva	Medializzazione
	3	2.19	Retrusiva	Medializzazione
	4	3.22	Retrusiva	Medializzazione
	5	5.79	Protrusiva	Medializzazione
	6	7.22	Protrusiva	Inversione
	7*	4.81	Retrusiva	Lateralizzazione
	8	1.18	Retrusiva	Lateralizzazione

La distanza lineare tra il punto $1M_{m}$ e $7M_{m}$ è stata calcolata come $4.81\,{\text{mm}}$, con un angolo approssimativo di $\theta =91.33^{\circ }$. Calcolo dettagliato: Vettori: ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}=(818.8-910.7,-855.1-(-856.2))=(-91.9,1.1)$ ${\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(912-910.7,-741.2-(-856.2))=(1.3,115)$. Norme: $|{\vec {1M_{m}7M_{m}}}|={\sqrt {(-91.9)^{2}+(1.1)^{2}}}\approx 91.92$, $|{\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}|={\sqrt {(1.3)^{2}+(115)^{2}}}\approx 115.02$. Prodotto scalare: ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}\cdot {\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(-91.9\cdot 1.3)+(1.1\cdot 115)=-119.47+126.5=7.03$. Coseno: $\cos(\theta )={\frac {7.03}{91.92\cdot 115.02}}\approx 0.000665$. Angolo: $\theta =\arccos(0.000665)\approx 90^{\circ }$.

Condilo Mediotrusivo

Il calcolo dell’angolo tra i segmenti $1M_{c}-7M_{c}$ e $1M_{c}-R_{p}^{c}$ è fondamentale per analizzare i movimenti articolari nel sistema masticatorio. Questa analisi consente di comprendere come si muovono i segmenti articolari rispetto a un punto di riferimento. ( Figura 9, tabella 5)

Tabella 5
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione $Y$
Figura 9: Markers rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro nell'area incisale.	2	2.13	Protrusiva	Medializzazione
	3	6.19	Protrusiva	Medializzazione
	4	10.70	Protrusiva	Medializzazione
	5	11.09	Protrusiva	Inversione
	6	6.09	Protrusiva	Lateralizzazione
	7*	2.61	Protrusiva	Lateralizzazione
	8	0.50	Protrusiva	Lateralizzazione

La distanza tra il punto $1M_{c}$ e $7M_{c}$ è risultata $6.88\,{\text{mm}}$, con un angolo calcolato di $\theta =166^{\circ }$. Sottraendo da $180^{\circ }$, si ottiene un angolo di $14^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett. Per il calcolo dettagliato Calcolo sintetico: Vettore: ${\vec {AB}}=(-15.9,-60.4)$, ${\vec {AC}}=(0.2,52.5)$. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=-3172.62$. Norme: $|{\vec {AB}}|=62.93$, $|{\vec {AC}}|=52.50$. $\cos(\theta )={\frac {-3172.62}{62.93\cdot 52.50}}\approx -0.971$, $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$.

Discussione sulla rototraslazione condilare

Il moto rototraslazionale dei condili è cruciale per comprendere la cinematica mandibolare. Se i condili ruotassero attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero semplici archi di cerchio. Tuttavia, i movimenti reali includono sia rotazione che traslazione.

Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale combina rotazione attorno all’asse verticale e traslazione laterale, mentre il condilo mediotrusivo si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, generando il "Tragitto orbitante".

Descrizione matematica

La rototraslazione del condilo laterotrusivo può essere rappresentata come:

$x_{m}=x_{m0}\cos(\theta )-y_{m0}\sin(\theta )+T_{x}$ $y_{m}=x_{m0}\sin(\theta )+y_{m0}\cos(\theta )$

Dove:

• $(x_{m0},y_{m0})$: posizione iniziale del molare ipsilaterale.
• $T_{x}$: traslazione laterale lungo l’asse $x$.
• $(x_{m},y_{m})$: posizione finale.

Figura 10a: Rappresentazione di una conica.

Man mano che il condilo si muove, le coordinate $(x_{m},y_{m})$ descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano 2D. Questo avviene perché il centro di rotazione istantaneo del condilo non è fisso ma si sposta continuamente.

Un fenomeno simile si osserva per il condilo mediotrusivo e gli incisivi, le cui traiettorie sono influenzate da traslazioni mediali e anteriori e da rotazioni attorno all’asse verticale. Questi tracciati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse a causa delle variazioni nei movimenti condilari.

I tracciati dentali sono correlati ai movimenti dei condili e offrono preziose informazioni sulla cinematica mandibolare. Un modello basato su una conica passante per cinque punti strategici aiuta a rappresentare meglio queste traiettorie, come illustrato nella figura 10a.

In sintesi, i tracciati dei molari e degli incisivi assumono forme ellittiche complesse, poiché il centro di rotazione condilare si sposta continuamente. Questo modello aiuta a comprendere meglio la complessità dei movimenti mandibolari.