Store:Asse Cerniera Verticale parte 2

Rappresentazione spazio temporale dei markers da rivedere

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo descrive il calcolo delle distanze e degli angoli tra segmenti in un piano 2D, applicati alla cinematica mandibolare. In particolare, si analizzano i movimenti articolari dei condili durante il ciclo masticatorio, rappresentati nella Figura 5 e nella Tabella 1.

Tabella 1
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione	Direzione $Y$
Figura 5: Marker sovrapposti in Geogebra sul tracciato del condilo laterotrusivo	2	1.734	Protrusiva	Parallela
	3	4.99	Protrusiva	Lateralizzazione
	4	6.59	Protrusiva	Lateralizzazione
	5	3.66	Inversione	Inversione
	6	0.923	Retrusiva	Lateralizzazione
	7*	0.898	Protrusiva	Medializzazione
	8	0.257	Protrusiva	Medializzazione

Dalla figura e dalla tabella emerge che il punto $7L_{c}$ rappresenta l'inversione del moto condilare, con il passaggio verso un percorso mediale diretto alla massima intercuspidazione. La distanza tra il punto $7L_{c}$ e $1L_{c}$, pari a circa $0.898\,{\text{mm}}$, definisce il movimento di Bennett.

La direzione angolare è stata calcolata come: $\theta =131.87^{\circ }$ e $\theta '=42^{\circ }$.

Per approfondire, il calcolo dettagliato è riportato di seguito:  Calcolo dettagliato: distanza tra $P_{1}=(58.3,-50.9)$ e $P_{7}=(44,-34.9)$, distanza euclidea ${\sqrt {(-14.3)^{2}+(16)^{2}}}\approx 21.47\,{\text{pixel}}$, convertita in mm come $21.47\times 0.04184\approx 0.898\,{\text{mm}}$, angolo $\theta =\arccos(-0.6665)\approx 131.87^{\circ }$.

Molare Laterotrusivo

Questo paragrafo analizza i movimenti articolari del molare ipsilaterale al condilo laterotrusivo, basandosi sul calcolo delle distanze tra punti e degli angoli tra vettori mediante trigonometria vettoriale (Figura 6 e Tabella 2).

Tabella 2
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 6: Marker grafici rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro	2	0.39	Indietro	Lateralizzazione
	3	2.18	Indietro	Lateralizzazione
	4	3.57	Indietro	Lateralizzazione
	5	5.68	Indietro	Lateralizzazione
	6	6.76	Indietro	Inversione
	7*	3.93	Indietro	Medializzazione
	8	1.15	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, si evidenziano le distanze e le direzioni dei punti marcati. In particolare, la distanza tra il punto $7L_{m}$ e il punto iniziale $1L_{m}$ è stata calcolata come circa $3.93\,_{\text{mm}}$, con un angolo tra i vettori pari a $73^{\circ }$. Calcolo dettagliato: 1. Definizione dei vettori: ${\vec {AB}}=7L_{m}-1L_{m}=(255.7,-816.0)-(345.2,-844.5)=(-89.5,28.5)$ ${\vec {AC}}=R_{p}-1L_{m}=(346.6,-727.1)-(345.2,-844.5)=(1.4,117.4)$ 2. Magnitudine dei vettori: $|{\vec {AB}}|={\sqrt {(-89.5)^{2}+(28.5)^{2}}}\approx 93.93$ $|{\vec {AC}}|={\sqrt {(1.4)^{2}+(117.4)^{2}}}\approx 117.41$ 3. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=(-89.5)(1.4)+(28.5)(117.4)=2928.4$ 4. Calcolo dell'angolo: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}={\frac {2928.4}{93.93\cdot 117.41}}\approx 0.292$ $\theta =\arccos(0.292)\approx 73.02^{\circ }$

Area Incisale

Questo paragrafo analizza i movimenti articolari dell’incisivo sul lato lavorante. Utilizzando le coordinate dei punti $1_{I}$, $7_{I}$ e $R_{p}^{+}$ in uno spazio 2D, sono calcolate le distanze lineari e l’angolo tra i segmenti che collegano questi punti.(Figura 7, tabella 3)

Tabella 3
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 7: Markers grafici rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione nell'area incisale sul lato destro.	2	0.69	Retrusiva	Lateralizzazione
	3	2.30	Retrusiva	Lateralizzazione
	4	4.61	Retrusiva	Lateralizzazione
	5	7.58	Protrusiva	Lateralizzazione
	6	8.54	Retrusiva	Inversione
	7*	5.12	Retrusiva	Medializzazione
	8	1.75	Retrusiva	Medializzazione

Per i tracciati dell’area incisale, la distanza tra i punti $1_{I}$ e $7_{I}$ è di $5.12\,{\text{mm}}$, con un angolo calcolato approssimativamente pari a $85.1^{\circ }$.

Per approfondire i calcoli, ecco la spiegazione dettagliata Calcolo dettagliato: Coordinate dei punti: $1_{I}=(631.5,-1151.8)$, $7_{I}=(509.6,-1139.9)$, $R_{p}^{+}=(634.3,-912.8)$. Vettori: ${\vec {1I7I}}=(-121.9,11.9)$, ${\vec {1IR_{p}^{+}}}=(2.8,239)$. Norme: $|{\vec {1I7I}}|={\sqrt {(-121.9)^{2}+(11.9)^{2}}}\approx 122.49$, $|{\vec {1IR_{p}^{+}}}|={\sqrt {(2.8)^{2}+(239)^{2}}}\approx 238.95$. Prodotto scalare: ${\vec {1I7I}}\cdot {\vec {1IR_{p}^{+}}}=(-121.9)(2.8)+(11.9)(239)\approx 2502.78$. Coseno dell’angolo: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {1I7I}}\cdot {\vec {1IR_{p}^{+}}}}{|{\vec {1I7I}}|\cdot |{\vec {1IR_{p}^{+}}}|}}={\frac {2502.78}{122.49\cdot 238.95}}\approx 0.0855$. Angolo: $\theta =\arccos(0.0855)\approx 85.1^{\circ }$.

Molare mediotrusivo

L’analisi del moto cinematico mandibolare nel molare mediotrusivo evidenzia un progressivo aumento dell’angolo di direzione rispetto al molare laterotrusivo ($73^{\circ }$) e all’incisivo ($85^{\circ }$), fino al massimo valore rilevato nel condilo ($180^{\circ }$). Questo angolo, noto come angolo di svincolo mediotrusivo, si forma tra la cuspide centrale e quella distale del primo molare. La Tabella 4 e la figura 8 mostrano le distanze tra i punti del tracciato e il punto $1M_{m}$.

Tabella 4
Tracciato mediotrusivo molare	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione dinamica $Y$
Figura 8: Markers rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro.	2	0.68	Retrusiva	Medializzazione
	3	2.19	Retrusiva	Medializzazione
	4	3.22	Retrusiva	Medializzazione
	5	5.79	Protrusiva	Medializzazione
	6	7.22	Protrusiva	Inversione
	7*	4.81	Retrusiva	Lateralizzazione
	8	1.18	Retrusiva	Lateralizzazione

La distanza lineare tra il punto $1M_{m}$ e $7M_{m}$ è stata calcolata come $4.81\,{\text{mm}}$, con un angolo approssimativo di $\theta =91.33^{\circ }$. Calcolo dettagliato: Vettori: ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}=(818.8-910.7,-855.1-(-856.2))=(-91.9,1.1)$ ${\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(912-910.7,-741.2-(-856.2))=(1.3,115)$. Norme: $|{\vec {1M_{m}7M_{m}}}|={\sqrt {(-91.9)^{2}+(1.1)^{2}}}\approx 91.92$, $|{\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}|={\sqrt {(1.3)^{2}+(115)^{2}}}\approx 115.02$. Prodotto scalare: ${\vec {1M_{m}7M_{m}}}\cdot {\vec {1M_{m}R_{p}^{+}}}=(-91.9\cdot 1.3)+(1.1\cdot 115)=-119.47+126.5=7.03$. Coseno: $\cos(\theta )={\frac {7.03}{91.92\cdot 115.02}}\approx 0.000665$. Angolo: $\theta =\arccos(0.000665)\approx 90^{\circ }$.

Condilo Mediotrusivo

Il calcolo dell’angolo tra i segmenti $1M_{c}-7M_{c}$ e $1M_{c}-R_{p}^{c}$ è fondamentale per analizzare i movimenti articolari nel sistema masticatorio. Questa analisi consente di comprendere come si muovono i segmenti articolari rispetto a un punto di riferimento. ( Figura 9, tabella 5)

Tabella 5
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$	Direzione $Y$
Figura 9: Markers rilevati dal 'Replicator' durante la masticazione sul lato destro nell'area incisale.	2	2.13	Protrusiva	Medializzazione
	3	6.19	Protrusiva	Medializzazione
	4	10.70	Protrusiva	Medializzazione
	5	11.09	Protrusiva	Inversione
	6	6.09	Protrusiva	Lateralizzazione
	7*	2.61	Protrusiva	Lateralizzazione
	8	0.50	Protrusiva	Lateralizzazione

La distanza tra il punto $1M_{c}$ e $7M_{c}$ è risultata $6.88\,{\text{mm}}$, con un angolo calcolato di $\theta =166^{\circ }$. Sottraendo da $180^{\circ }$, si ottiene un angolo di $14^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett. Per il calcolo dettagliato Calcolo sintetico: Vettore: ${\vec {AB}}=(-15.9,-60.4)$, ${\vec {AC}}=(0.2,52.5)$. Prodotto scalare: ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=-3172.62$. Norme: $|{\vec {AB}}|=62.93$, $|{\vec {AC}}|=52.50$. $\cos(\theta )={\frac {-3172.62}{62.93\cdot 52.50}}\approx -0.971$, $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$.

Discussione sulla rototraslazione condilare

Il moto rototraslazionale dei condili è cruciale per comprendere la cinematica mandibolare. Se i condili ruotassero attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero semplici archi di cerchio. Tuttavia, i movimenti reali includono sia rotazione che traslazione.

Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale combina rotazione attorno all’asse verticale e traslazione laterale, mentre il condilo mediotrusivo si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, generando il "Tragitto orbitante".

Descrizione matematica

La rototraslazione del condilo laterotrusivo può essere rappresentata come:

$x_{m}=x_{m0}\cos(\theta )-y_{m0}\sin(\theta )+T_{x}$ $y_{m}=x_{m0}\sin(\theta )+y_{m0}\cos(\theta )$

Dove:

• $(x_{m0},y_{m0})$: posizione iniziale del molare ipsilaterale.
• $T_{x}$: traslazione laterale lungo l’asse $x$.
• $(x_{m},y_{m})$: posizione finale.

Figura 10a: Rappresentazione di una conica.

Man mano che il condilo si muove, le coordinate $(x_{m},y_{m})$ descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano 2D. Questo avviene perché il centro di rotazione istantaneo del condilo non è fisso ma si sposta continuamente.

Un fenomeno simile si osserva per il condilo mediotrusivo e gli incisivi, le cui traiettorie sono influenzate da traslazioni mediali e anteriori e da rotazioni attorno all’asse verticale. Questi tracciati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse a causa delle variazioni nei movimenti condilari.

I tracciati dentali sono correlati ai movimenti dei condili e offrono preziose informazioni sulla cinematica mandibolare, per cui sarebbe auspicabile spendere qualche parola in più sulla velocità del moto masticatorio e la rappresentazione di questa cinematica mandibolare in un forma geometrico/matematica chiamata 'Conica'.

Velocità lineare ed angolare

Fattori Considerati

Partiamo dalla premessa logica che la cinematica masticatoria rappresentata nel capitolo viene rappresentta come un ciclo di apertura e chiusrua mandibolare prelevando lo stato spaziel e temporale nei marker convertiti successivamente in Geogebra ne punti 1-7 per ogni distretto condilare ed occlusale. Ciò, comunque, determina, come abbiamo dimostrato, distanza ed angoli diversi nei vari distretti del sistema con una specifica velocità lineare ed angolare tra loro ma sostanzialmente tutti i punti tornano al punto 1 ( massima Intercuspidazione) simultaneamente, Ciò indica una variabilitò delle velocità. Spiegamo ilprocesso:

Sincronizzazione Temporale

Entrambi i condili devono completare il movimento di ritorno nello stesso intervallo di tempo ($t_{tot}$), indipendentemente dalla distanza percorsa.

• Differenze nelle Distanze: La distanza tra i punti 1-7 nel condilo laterotrusivo ($L_{c}$) è $d_{L_{c}}=0.898\,{\text{mm}}$ mentre per il Condilo mediotrusivo ($M_{c}$): $d_{M_{c}}=2.61\,{\text{mm}}$. La velocità del $M_{c}$ deve essere proporzionalmente maggiore per compensare la maggiore distanza percorsa nello stesso tempo.

Calcolo della Velocità Necessaria

Assumiamo che il tempo di ritorno ($t_{tot}$) sia governato dal condilo $L_{c}$, la cui velocità media di ritorno è basata sul dato iniziale ($v_{L_{c}}=224.5\,{\text{mm/s}}$):

$t_{tot}={\frac {d_{L_{c}}}{v_{L_{c}}}}={\frac {0.898}{224.5}}\approx 0.004\,{\text{s}}$

Per il condilo $M_{c}$, la velocità media necessaria ($v_{M_{c}}$) è:

$v_{M_{c}}={\frac {d_{M_{c}}}{t_{tot}}}={\frac {2.61}{0.004}}\approx 652.5\,{\text{mm/s}}$

Interpretazione Biomeccanica

Il condilo $M_{c}$ deve operare con una velocità media di $652.5\,{\text{mm/s}}$, quasi tripla rispetto a quella del $L_{c}$ ($224.5\,{\text{mm/s}}$). Questo incremento è necessario per sincronizzarsi con il condilo laterotrusivo, che percorre una distanza minore nello stesso intervallo di tempo.

Ruolo Funzionale del $M_{c}$: La velocità più alta del $M_{c}$ riflette il suo ruolo dinamico e adattativo. Questo condilo deve compensare la maggiore distanza del tragitto e la necessità di stabilizzare il movimento mandibolare e mantenere un equilibrio biomeccanico.

Efficienza del $L_{c}$: Il condilo $L_{c}$, percorrendo una distanza più breve, opera a velocità inferiori, indicando una maggiore stabilità durante i movimenti masticatori laterali.

In conclusioni la maggiore distanza percorsa dal $M_{c}$ richiede un incremento significativo della velocità di ritorno, raggiungendo $652.5\,{\text{mm/s}}$, per sincronizzarsi con il condilo $L_{c}$. Questo fenomeno è un chiaro esempio di adattamento biomeccanico, dove la mandibola bilancia le differenze di distanza e velocità tra i due condili per garantire una chiusura armonica e simultanea.

Rappresentazione in una 'Conica'

Un modello basato su una conica passante per cinque punti strategici aiuta a rappresentare meglio queste traiettorie, come illustrato nella figura 10a.

In sintesi, i tracciati dei molari e degli incisivi assumono forme ellittiche complesse, poiché il centro di rotazione condilare si sposta continuamente. Questo modello aiuta a comprendere meglio la complessità dei movimenti mandibolari.