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4. Quanteninstrumente aus dem Schema der indirekten Messungen

Das Grundmodell für den Bau von Quanteninstrumenten basiert auf dem Schema indirekter Messungen. Dieses Schema formalisiert die folgende Situation: Die Ergebnisse der Messung werden durch die Interaktion eines Systems generiert $S$ mit einem Messgerät $M$ .Dieser Apparat besteht aus einem komplexen physikalischen Gerät, das mit ihm interagiert $S$ und einen Zeiger, der das Ergebnis der Messung anzeigt, sagen wir Spin up oder Spin down. Ein Beobachter kann nur Ausgaben des Zeigers sehen und er ordnet diese Ausgaben den Werten der Observablen zu $A$ für das System $S$ . Somit beinhaltet das indirekte Messschema:

die Zustände der Systeme $S$ und der Apparat $M$
der Betreiber $U$ die Interaktionsdynamik für das System darstellt $S+M$
das Messgerät beobachtbar $M_{A}$ Ausgabe des Zeigers der Vorrichtung $M$ .

Ein indirektes Messmodell, eingeführt in Ozawa (1984) als „(allgemeiner) Messprozess“, ist ein Quadrupel

$(H,\sigma ,U,M_{A})$

bestehend aus einem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ , ein Dichteoperator $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ , ein einheitlicher Operator $U$ auf dem Tensorprodukt der Zustandsräume von $S$ and $M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ und ein hermitescher Operator $M_{A}$ on ${\mathcal {H}}$ .Durch dieses Messmodell entsteht der Hilbert-Raum ${\mathcal {H}}$ beschreibt die Zustände des Geräts $M$ ,der Einheitsoperator $U$ beschreibt die zeitliche Entwicklung des zusammengesetzten Systems $S+M$ ,der Dichteoperator $\sigma$ beschreibt den Ausgangszustand des Gerätes $M$ , und der hermitesche Operator $M_{A}$ beschreibt die vom Gerät beobachtbare Messgröße $M$ . Dann die ausgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung $Pr\{A=x\|\sigma \}$ im Systemzustand $\sigma \in S({\mathcal {H}})$ wird von gegeben

Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(18)

Wo $E^{M_{A}}(x)$ ist die spektrale Projektion von $M_{A}$ für den Eigenwert $x$ .

Der Zustandswechsel $\sigma$ vom System $S$ verursacht durch die Messung für das Ergebnis $A=x$ wird mit Hilfe der Karte dargestellt $\Im _{A}(x)$ im Raum der Dichteoperatoren definiert als

{\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]

(19)

Wo $Tr_{\mathcal {H}}$ ist die Teilspur vorbei ${\mathcal {H}}$ . Dann die Karte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ entpuppt sich als Quanteninstrument. Somit werden die statistischen Eigenschaften der Messung durch jedes indirekte Messmodell realisiert $(H,\sigma ,U,M_{A})$ wird durch eine Quantenmessung beschrieben. Wir bemerken, dass umgekehrt jedes Quanteninstrument durch das indirekte Messmodell (Ozawa, 1984) dargestellt werden kann. Quanteninstrumente charakterisieren also mathematisch die statistischen Eigenschaften aller physikalisch realisierbaren Quantenmessungen.

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-==4. Quantum instruments from the scheme of indirect measurements==
+==4. Quanteninstrumente aus dem Schema der indirekten Messungen==
-The basic model for construction of quantum instruments is based on the scheme of indirect measurements. This scheme formalizes the following situation: measurement’s outputs are generated via interaction of a system <math>S</math> with a measurement apparatus <math>M</math> . This apparatus consists of a complex physical device interacting with <math>S</math> and a pointer that shows the result of measurement, say spin up or spin down. An observer can see only outputs of the pointer and he associates these outputs with the values of the observable <math>A</math> for the system <math>S</math>. Thus, the indirect measurement scheme involves:
+Das Grundmodell für den Bau von Quanteninstrumenten basiert auf dem Schema indirekter Messungen. Dieses Schema formalisiert die folgende Situation: Die Ergebnisse der Messung werden durch die Interaktion eines Systems generiert <math>S</math> mit einem Messgerät <math>M</math> .Dieser Apparat besteht aus einem komplexen physikalischen Gerät, das mit ihm interagiert <math>S</math> und einen Zeiger, der das Ergebnis der Messung anzeigt, sagen wir Spin up oder Spin down. Ein Beobachter kann nur Ausgaben des Zeigers sehen und er ordnet diese Ausgaben den Werten der Observablen zu <math>A</math> für das System <math>S</math>. Somit beinhaltet das indirekte Messschema:
-# the states of the systems <math>S</math> and the apparatus <math>M</math>
+# die Zustände der Systeme <math>S</math> und der Apparat <math>M</math>
-# the operator  <math>U</math> representing the interaction-dynamics for the system <math>S+M</math>
+# der Betreiber <math>U</math>die Interaktionsdynamik für das System darstellt<math>S+M</math>
-# the meter observable <math>M_A</math> giving outputs of the pointer of the apparatus <math>M</math>.
+# das Messgerät beobachtbar <math>M_A</math> Ausgabe des Zeigers der Vorrichtung<math>M</math>.
-An ''indirect measurement model'', introduced in Ozawa (1984) as a “(general) measuring process”, is a quadruple
+Ein indirektes Messmodell, eingeführt in Ozawa (1984) als „(allgemeiner) Messprozess“, ist ein Quadrupel
 <math>(H,\sigma,U,M_A)</math>
-consisting of a Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> , a density operator <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, a unitary operator  <math>U</math> on the tensor product of the state spaces of  <math>S</math> and<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> and a Hermitian operator <math>M_A</math> on <math>\mathcal{H}</math> . By this measurement model, the Hilbert space <math>\mathcal{H}</math> describes the states of the apparatus <math>M</math>, the unitary operator <math>U</math> describes the time-evolution of the composite system <math>S+M</math>, the density operator <math>\sigma</math> describes the initial state of the apparatus <math>M</math> , and the Hermitian operator <math>M_A</math> describes the meter observable of the apparatus <math>M</math>. Then, the output probability distribution <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math> in the system state <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math> is given by
+bestehend aus einem Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math> , ein Dichteoperator <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>, ein einheitlicher Operator <math>U</math> auf dem Tensorprodukt der Zustandsräume von  <math>S</math> and<math>M,U:\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}\otimes\mathcal{H}</math> und ein hermitescher Operator <math>M_A</math> on <math>\mathcal{H}</math> .Durch dieses Messmodell entsteht der Hilbert-Raum <math>\mathcal{H}</math> beschreibt die Zustände des Geräts <math>M</math>,der Einheitsoperator <math>U</math> beschreibt die zeitliche Entwicklung des zusammengesetzten Systems <math>S+M</math>,der Dichteoperator <math>\sigma</math> beschreibt den Ausgangszustand des Gerätes <math>M</math> , und der hermitesche Operator <math>M_A</math> beschreibt die vom Gerät beobachtbare Messgröße <math>M</math>. Dann die ausgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>Pr\{A=x\|\sigma\}</math>im Systemzustand <math>\sigma\in S(\mathcal{H})</math>wird von gegeben
 {| width="80%" |
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 |}
-where <math>E^{M_{A}}(x)</math> is the spectral projection of <math>M_A</math> for the eigenvalue <math>x</math>.
+Wo <math>E^{M_{A}}(x)</math>ist die spektrale Projektion von <math>M_A</math> für den Eigenwert <math>x</math>.
-The change of the state <math>\sigma</math> of the system <math>S</math> caused by the measurement for the outcome  <math>A=x</math> is represented with the aid of the map <math>\Im_A(x)</math> in the space of density operators defined as
+Der Zustandswechsel <math>\sigma</math> vom System <math>S</math> verursacht durch die Messung für das Ergebnis <math>A=x</math> wird mit Hilfe der Karte dargestellt <math>\Im_A(x)</math>im Raum der Dichteoperatoren definiert als
 {| width="80%" |
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 |}
-where <math>Tr_\mathcal{H}</math> is the partial trace over <math>\mathcal{H}</math> . Then, the map  <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math>turn out to be a quantum instrument. Thus, the statistical properties of the measurement realized by any indirect measurement model <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> is described by a quantum measurement. We remark that conversely any quantum instrument can be represented via the indirect measurement model (Ozawa, 1984). Thus, quantum instruments mathematically characterize the statistical properties of all the physically realizable quantum measurements.
+Wo <math>Tr_\mathcal{H}</math>ist die Teilspur vorbei <math>\mathcal{H}</math> . Dann die Karte <math>x\rightarrow\Im_A(x)</math> entpuppt sich als Quanteninstrument. Somit werden die statistischen Eigenschaften der Messung durch jedes indirekte Messmodell realisiert <math>(H,\sigma,U,M_A)</math> wird durch eine Quantenmessung beschrieben. Wir bemerken, dass umgekehrt jedes Quanteninstrument durch das indirekte Messmodell (Ozawa, 1984) dargestellt werden kann. Quanteninstrumente charakterisieren also mathematisch die statistischen Eigenschaften aller physikalisch realisierbaren Quantenmessungen.