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4. Quanteninstrumente aus dem Schema der indirekten Messungen

Das Grundmodell für den Bau von Quanteninstrumenten basiert auf dem Schema indirekter Messungen. Dieses Schema formalisiert die folgende Situation: Die Ergebnisse der Messung werden durch die Interaktion eines Systems generiert $S$ mit einem Messgerät $M$ .Dieser Apparat besteht aus einem komplexen physikalischen Gerät, das mit ihm interagiert $S$ und einen Zeiger, der das Ergebnis der Messung anzeigt, sagen wir Spin up oder Spin down. Ein Beobachter kann nur Ausgaben des Zeigers sehen und er ordnet diese Ausgaben den Werten der Observablen zu $A$ für das System $S$. Somit beinhaltet das indirekte Messschema:

1. die Zustände der Systeme $S$ und der Apparat $M$
2. der Betreiber $U$die Interaktionsdynamik für das System darstellt$S+M$
3. das Messgerät beobachtbar $M_{A}$ Ausgabe des Zeigers der Vorrichtung$M$.

Ein indirektes Messmodell, eingeführt in Ozawa (1984) als „(allgemeiner) Messprozess“, ist ein Quadrupel

$(H,\sigma ,U,M_{A})$

bestehend aus einem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ , ein Dichteoperator $\sigma \in S({\mathcal {H}})$, ein einheitlicher Operator $U$ auf dem Tensorprodukt der Zustandsräume von  $S$ and$M,U:{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ und ein hermitescher Operator $M_{A}$ on ${\mathcal {H}}$ .Durch dieses Messmodell entsteht der Hilbert-Raum ${\mathcal {H}}$ beschreibt die Zustände des Geräts $M$,der Einheitsoperator $U$ beschreibt die zeitliche Entwicklung des zusammengesetzten Systems $S+M$,der Dichteoperator $\sigma$ beschreibt den Ausgangszustand des Gerätes $M$ , und der hermitesche Operator $M_{A}$ beschreibt die vom Gerät beobachtbare Messgröße $M$. Dann die ausgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung $Pr\{A=x\|\sigma \}$im Systemzustand $\sigma \in S({\mathcal {H}})$wird von gegeben

$Pr\{A=x\|\rho \}=Tr[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(18)$

Wo $E^{M_{A}}(x)$ist die spektrale Projektion von $M_{A}$ für den Eigenwert $x$.

Der Zustandswechsel $\sigma$ vom System $S$ verursacht durch die Messung für das Ergebnis $A=x$ wird mit Hilfe der Karte dargestellt $\Im _{A}(x)$im Raum der Dichteoperatoren definiert als

${\mathcal {P}}_{A}(x)\rho =Tr_{\mathcal {H}}[{\Bigl (}I\otimes E^{M}{^{_{A}}(x){\Bigr )}}U(\rho \otimes \sigma )U^{*}]$

$(19)$

Wo $Tr_{\mathcal {H}}$ist die Teilspur vorbei ${\mathcal {H}}$ . Dann die Karte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ entpuppt sich als Quanteninstrument. Somit werden die statistischen Eigenschaften der Messung durch jedes indirekte Messmodell realisiert $(H,\sigma ,U,M_{A})$ wird durch eine Quantenmessung beschrieben. Wir bemerken, dass umgekehrt jedes Quanteninstrument durch das indirekte Messmodell (Ozawa, 1984) dargestellt werden kann. Quanteninstrumente charakterisieren also mathematisch die statistischen Eigenschaften aller physikalisch realisierbaren Quantenmessungen.