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Condilo Mediotrusivo

Questi punti rappresentano posizioni specifiche all'interno di un sistema articolare che stiamo studiando, con l'obiettivo di calcolare l'angolo tra il segmento che unisce i punti $1M_{c}$ e $/M_{c}$, e il segmento che unisce i punti $1M_{c}$ e $R_{p}c$. Questo tipo di analisi è comune nella modellazione di movimenti articolari per comprendere come si muovono i segmenti di un sistema rispetto a un punto di riferimento, come nel caso di un sistema masticatorio.

Tabella 5
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione $X$ (antero-posteriore)	Direzione $Y$ (latero-mediale)
Figura 6:	2	4.86	Protrusiva	Medializzazione
	3	12.86	Protrusiva	Medializzazione
	4	23.27	Protrusiva	Medializzazione
	5	24.61	Protrusiva	Inversione
	6	16.56	Protrusiva	Lateralizzazione
	7*	6.88	Protrusiva	Lateralizzazione
	8	1.75	Protrusiva	Lateralizzazione

Per quanto riguarda le distanze e la direzione del punto 7 nel condilo mediotrusivo, abbiamo una distanza dal punto di partenza di $6.88$mm ed un angolo calcolato sull'arcoseno $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$. Infine, sottraendo questo angolo da 180°, otteniamo un angolo di $14^{\circ }$, noto come Angolo di Bennett. Per approfondire la procedura matematica, vedi  Calcolo sintetico: vettore ${\vec {AB}}=(-15.9,-60.4)$, vettore${\vec {AC}}=(0.2,52.5)$, prodotto scalare ${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=-3172.62$, norme $|{\vec {AB}}|=62.93$, $|{\vec {AC}}|=52.50$, $\cos(\theta )={\frac {-3172.62}{62.93\cdot 52.50}}\approx -0.971$, $\theta =\arccos(-0.971)\approx 166^{\circ }$.

Discussione sulla rototraslazione condilari

Il moto rototraslazionale dei condili è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare e i tracciati descritti dai denti durante la masticazione. Se i condili ruotassero semplicemente attorno a un punto fisso, i tracciati dei molari e degli incisivi sarebbero archi di cerchio con un unico centro. Tuttavia, i movimenti reali dei condili sono molto più complessi.

Durante la laterotrusione, il condilo ipsilaterale (dello stesso lato) esegue un movimento che combina rotazione attorno all'asse verticale e traslazione laterale. Allo stesso tempo, il condilo controlaterale si muove principalmente in direzione mediale e anteriore, descrivendo un percorso noto come "Tragitto orbitante".

Descrizione matematica

Matematicamente, possiamo descrivere il moto rototraslazionale del condilo laterotrusivo come una combinazione di una rotazione attorno all'asse verticale passante per il condilo stesso e una traslazione laterale lungo una traiettoria specifica. La posizione del molare ipsilaterale in un determinato istante può essere ottenuta applicando la rotazione attorno all'asse verticale e poi la traslazione corrispondente:

$x_{m}=x_{m0}\cos(\theta )-y_{m0}\sin(\theta )+T_{x}$

$y_{m}=x_{m0}\sin(\theta )+y_{m0}\cos(\theta )$

Dove:

• $(x_{m0},y_{m0})$ è la posizione iniziale del molare ipsilaterale.
• $T_{x}$ rappresenta la traslazione laterale lungo l'asse $x$.
• $(x_{m},y_{m})$ rappresenta la posizione finale del molare ipsilaterale.

Man mano che il condilo ruota e si sposta lateralmente, le coordinate $(x_{m},y_{m})$ del molare descrivono una traiettoria ellittica proiettata su un piano bidimensionale. Questo fenomeno ellittico si verifica perché il centro di rotazione istantaneo del condilo laterotrusivo non è fisso, ma si sposta continuamente a causa della traslazione laterale. Pertanto, il tracciato descritto dal molare ipsilaterale non può essere un semplice arco di cerchio, ma assume una forma ellittica.

Un comportamento simile si osserva anche per il condilo controlaterale (mediotrusivo) e per gli incisivi. Sebbene il movimento del condilo mediotrusivo sia principalmente una traslazione mediale e anteriore, può essere coinvolta anche una certa rotazione attorno all'asse verticale. Questa combinazione di traslazione e rotazione porta nuovamente a tracciati ellittici per il molare controlaterale e per gli incisivi.

È importante sottolineare che i tracciati ellittici osservati non sono ellissi perfette, ma curve più complesse, poiché i movimenti dei condili non sono semplici rotazioni e traslazioni costanti. Infatti, i condili seguono traiettorie più elaborate, con accelerazioni e decelerazioni, che si riflettono nella forma dei tracciati dei denti.

Inoltre, i tracciati dei molari e degli incisivi non sono indipendenti, ma sono strettamente correlati ai movimenti dei condili corrispondenti. Pertanto, l'analisi dei tracciati dei denti può fornire informazioni preziose sulla cinematica mandibolare e sui movimenti articolari dei condili.

Conclusione

Figura 7a: Rappresentazione generica di conica, segue descrizione dettagliata.

In conclusione, la combinazione di rotazione e traslazione dei condili durante i movimenti mandibolari impedisce ai tracciati dei molari e degli incisivi di essere semplici archi di cerchio. Invece, questi tracciati assumono forme ellittiche, poiché il centro di rotazione istantaneo dei condili si sposta continuamente a causa del moto rototraslazionale complesso. Per comprendere meglio la complessità delle traiettorie, è stato costruito un modello matematico basato su una conica passante per cinque punti strategicamente scelti, come illustrato nella figura 7a e approfondito nel prossimo paragrafo.

Rappresentazione cinematica attraverso una conica

Per rappresentare in modo più dettagliato e formale la forma ellittica dei tracciati dei denti dovuti al moto rototraslazionale dei condili, possiamo sovrapporre una conica (ellisse) a più punti. Questo ci permetterà di evidenziare il contributo dei movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché delle distanze occlusali da essi, nella generazione di tali tracciati pseudoellittici.

Consideriamo ad esempio il tracciato del molare ipsilaterale durante la laterotrusione. Supponiamo di avere le coordinate di 5 punti distinti su questo tracciato: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})$.

L'equazione generale di un'ellisse centrata nell'origine è data da:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Dove $a$ e $b$ sono rispettivamente i semiassi maggiore e minore dell'ellisse.

Per determinare i valori di $a$ e $b$ che meglio approssimano i 5 punti dati, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati. L'obiettivo è minimizzare la somma dei quadrati delle distanze dei punti dall'ellisse.

Definiamo la funzione di costo:

$J(a,b)=\sum _{i=1}^{5}\left[\left({\frac {x_{i}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{i}^{2}}{b^{2}}}-1\right)^{2}\right]$

Minimizzando $J(a,b)$ rispetto a $a$ e $b$, otteniamo le stime ottimali dei semiassi $a$ e $b$ che approssimano al meglio i punti dati.

Questa ellisse ottimizzata rappresenterà il tracciato pseudoellittico del molare ipsilaterale, influenzato dai movimenti rototraslazionali dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, nonché dalle distanze occlusali da essi.

I semiassi $a$ e $b$ dell'ellisse saranno determinati dai pesi relativi dei contributi dei condili e delle distanze occlusali. Ad esempio, un valore di $a$ maggiore potrebbe indicare un'influenza più significativa del condilo laterotrusivo, mentre un valore di $b$ più piccolo potrebbe suggerire un'influenza minore del condilo mediotrusivo o delle distanze occlusali.

Questo approccio può essere applicato anche ai tracciati degli incisivi e dei molari controlaterali, sovrapponendo ellissi ottimizzate ai rispettivi punti per ottenere una rappresentazione formale dei loro tracciati pseudoellittici.

In questo modo, l'analisi matematica dei tracciati dei denti durante la masticazione può essere arricchita con una rappresentazione visiva più dettagliata e quantitativa, permettendo di studiare in modo più approfondito il contributo dei diversi fattori cinematici, come i movimenti dei condili e le distanze occlusali, nella generazione di tali tracciati complessi.

La scelta della conica a 5 punti

La scelta di una conica a 5 punti rappresenta un approccio matematico e geometrico efficace per modellare i tracciati articolari reali rispetto a un'ellisse ideale.

Definizione della conica

Una conica è una curva definita in geometria analitica come il luogo dei punti che soddisfano un'equazione quadratica generale:$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Dove:

• $A,B,C,D,E,F$ sono coefficienti reali determinati dai punti dati.

La forma della conica (ellisse, parabola o iperbole) dipende dal discriminante:

• Ellisse se $B^{2}-4AC<0$
• Parabola se $B^{2}-4AC=0$
• Iperbole se $B^{2}-4AC>0$

Perché 5 punti?

Una conica è univocamente determinata da 5 punti distinti e non allineati. Questo significa che se conosci 5 punti sperimentali, puoi ricostruire una sola conica che passa per quei punti.

• Univocità: La conica è unica per 5 punti non allineati.
• Adattabilità: Si adatta meglio ai dati sperimentali rispetto a un'ellisse ideale.
• Flessibilità: Modella tracciati complessi, asimmetrici o irregolari, tipici della cinematica mandibolare.

Costruzione delle coniche specifiche

Abbiamo costruito coniche specifiche per diverse aree della traiettoria mandibolare e, comunque, a secondo di cosa si vuole analizzare l'ordine dei punti prescelti può essere cambiato:

Conica del molare laterotrusivo

La conica è stata costruita utilizzando 5 punti chiave lungo il tracciato sperimentale del molare laterotrusivo

• $P_{1}=(68.3,-50.9)$
• $P_{2}=(58.3,-50.9)$
• $P_{3}=(345.2,-844.5)$
• $P_{4}=(255.7,-816)$
• $P_{5}=(509.6,-1139.9)$

Conica dell'incisivo

La conica è stata determinata utilizzando punti significativi lungo la traiettoria reale dello '<<<Incisivo':

• $P_{1}=(509.6,-1139.9)$
• $P_{2}=(631.5,-1151.8)$
• $P_{3}=(68.3,-50.9)$
• $P_{4}=(58.3,-50.9)$
• $P_{5}=(910.7,-856.2)$

Conica del molare mediotrusivo

La conica è stata generata per il 'molare mediotrusivo' usando i seguenti punti chiave:

$P_{1}=(910.7,-856.2)$

• $P_{2}=(818.8,-855.1)$
• $P_{3}=(68.3,-50.9)$
• $P_{4}=(58.3,-50.9)$
• $P_{5}=(345.2,-844.5)$

Costruzione della conica unificata

Per ottenere una visione complessiva (Fig.7b), si è calcolato una 'conica unificata' a partire dalle coniche specifiche. Questa conica è stata costruita mediando i coefficienti delle coniche delle diverse aree:

${\text{Coefficienti Conica Unificata}}={\frac {{\text{Coeff}}_{\text{molare laterotrusivo}}+{\text{Coeff}}_{\text{incisale}}+{\text{Coeff}}_{\text{molare mediotrusivo}}+{\text{Coeff}}_{\text{condilo mediotrusivo}}}{4}}$

L'equazione risultante è:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

(dove i coefficienti verranno calcolati sulla base dei punti definitivi).

Figura 7b: Rappresentazione della conica passante per 5 punti strategicamente scelti come descritto nel testo. Notare la discrepanza tra i vettori ed il passaggio della conica che indica il diverso condizionamento della componente traslatoria da quella rotatoria. Effetto che si nota maggiormente sul condilo mediotrusivo.

Applicazione della conica per individuare punti cinematici

Utilizzando la conica del molare laterotrusivo, è possibile 'prevedere il punto $7L_{c}$ (condilo laterotrusivo) conoscendo due punti di riferimento (es. punto iniziale e finale sul tracciato molare). Questo approccio permette di determinare con precisione dove cade il punto condilare laterotrusivo sulla conica e utilizzare la conica come strumento per analizzare deviazioni e adattamenti nei tracciati mandibolari reali.

Riflessioni finali

La costruzione delle coniche a 5 punti ha permesso di modellare con precisione i tracciati sul Molare laterotrusivo, Incisivo e Molare mediotrusivo. L'uso della 'Conica Unificata' ha offerto una visione globale, ma per una maggiore precisione, le 'coniche specifiche' risultano più adatte per localizzare punti chiave come il punto $7L_{c}$.

Analisi geometrica e matematica del discostarsi dei vettori dalla conica

Vettore molare laterotrusivo ipsilaterale

Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché la 'rotazione del condilo laterotrusivo' attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare e la traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

e il vettore posizione del molare laterotrusivo come $\mathbf {r} _{L_{m}}(t)=(x_{L_{m}}(t),y_{L_{m}}(t))$il discostarsi del vettore è determinato dal residuo:

$R_{L_{m}}=A(x_{L_{m}})^{2}+Bx_{L_{m}}y_{L_{m}}+C(y_{L_{m}})^{2}+Dx_{L_{m}}+Ey_{L_{m}}+F$

Essendo $R_{L_{m}}\approx 0$, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.

Vettore molare controlaterale (mediotrusivo)

Il molare 'controlaterale' (mediotrusivo) si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché il condilo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione e la traiettoria del molare controlaterale risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale.

Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo dato da$R_{M_{m}}=A(x_{M_{m}})^{2}+Bx_{M_{m}}y_{M_{m}}+C(y_{M_{m}})^{2}+Dx_{M_{m}}+Ey_{M_{m}}+F$

con$|R_{M_{m}}|>|R_{L_{m}}|$dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.

Vettore incisale

Il vettore incisale si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perchè gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente,il residuo per il vettore incisale è dato da$R_{I}=A(x_{I})^{2}+Bx_{I}y_{I}+C(y_{I})^{2}+Dx_{I}+Ey_{I}+F$con$|R_{L_{m}}|<|R_{I}|<|R_{M_{m}}|$dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale ma meno del molare controlaterale.

«Why is the patient's key the REAL one?»
(Answer: Consider the Gate Control phenomenon.)

Conclusioni

Il molare 'laterotrusivo ipsilaterale' mostra un comportamento quasi coincidente con il passaggio della conica. Questo fenomeno si spiega con la 'relazione diretta tra il condilo laterotrusivo e il molare ipsilaterale', poiché, la rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse verticale produce una traiettoria ellittica regolare. La traslazione del condilo laterotrusivo lungo una traiettoria definita genera variazioni che rimangono vincolate alla conica. Matematicamente, considerando la conica com $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

e il vettore posizione del molare laterotrusivo come$\mathbf {r} _{L_{m}}(t)=(x_{L_{m}}(t),y_{L_{m}}(t))$il discostarsi del vettore è determinato dal residuo$R_{L_{m}}=A(x_{L_{m}})^{2}+Bx_{L_{m}}y_{L_{m}}+C(y_{L_{m}})^{2}+Dx_{L_{m}}+Ey_{L_{m}}+F$. Essendo $R_{L_{m}}\approx 0$, il vettore segue quasi perfettamente il passaggio della conica.

Per il molare 'Controlaterale' (mediotrusivo) il vettore si discosta maggiormente dalla conica. Questo fenomeno si verifica perché, il condilo mediotrusivo compie un movimento prevalentemente traslatorio con una componente minima di rotazione. La traiettoria del molare mediotrusivo risente delle variazioni angolari complesse del condilo mediotrusivo, generando deviazioni dal piano della conica. Geometricamente, perciò, la traiettoria del molare mediotrusivo non segue perfettamente la conica a causa delle componenti traslazionali che deviano il tracciato rispetto alla curva ellittica ideale. Matematicamente, il residuo per il molare mediotrusivo è dato da$R_{M_{m}}=A(x_{M_{m}})^{2}+Bx_{M_{m}}y_{M_{m}}+C(y_{M_{m}})^{2}+Dx_{M_{m}}+Ey_{M_{m}}+F$con$|R_{M_{m}}|>|R_{L_{m}}|$. Questo dimostra un maggiore scostamento rispetto alla conica.

Il vettore incisale, invece, si colloca in una posizione intermedia rispetto ai molari ipsilaterali e controlaterali. Questo perché gli 'incisivi' sono influenzati dalla combinazione dei movimenti del condilo laterotrusivo e del condilo mediotrusivo. La traiettoria degli incisivi segue una curva regolare ma leggermente deviata rispetto alla conica. Matematicamente, il residuo per il vettore incisale è dato da$R_{I}=A(x_{I})^{2}+Bx_{I}y_{I}+C(y_{I})^{2}+Dx_{I}+Ey_{I}+F$con$|R_{L_{m}}|<|R_{I}|<|R_{M_{m}}|$dimostrando che il vettore incisale si discosta più del molare ipsilaterale, ma meno del molare controlaterale.

Residui conica