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3. Quanteninstrumente

3.1. Ein paar Worte zum Quantenformalismus

Bezeichne mit ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ein komplexer Hilbertraum. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es endlichdimensional ist. Reine Zustände eines Systems $S$ sind durch normalisierte Vektoren von gegeben ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ und gemischte Zustände durch Dichteoperatoren (positive semidefinite Operatoren mit Einheitsspur). Der Raum der Dichteoperatoren wird mit bezeichnet $S$ ( ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ). Der Raum aller linearen Operatoren in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ wird durch das Symbol gekennzeichnet ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . Dies wiederum ist ein linearer Raum. Darüber hinaus ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ist der komplexe Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt, ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$ . Wir betrachten lineare Operatoren, die einwirken. Sie werden Superoperatoren genannt.

Die Dynamik des reinen Zustands eines isolierten Quantensystems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben:

i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}

(3)

Wo ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ ist der Hamiltonoperator des Systems. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand $\psi (t)$ entwickelt sich einheitlich $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ , Wo ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ ist eine parametrische Gruppe von unitären Operatoren, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ . In der Quantenphysik Hamiltonian ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ ist mit dem Energie-Beobachtbaren verbunden. Die gleiche Interpretation wird in der Quantenbiophysik verwendet (Arndt et al., 2009). In unserer quantenähnlichen Modellierung, die die Informationsverarbeitung in Biosystemen beschreibt, jedoch der Operator ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ hat keine direkte Kopplung mit physikalischer Energie. Dies ist der Evolutionsgenerator, der Informationsinteraktionen beschreibt.

Dynamik für einen reinen Zustand impliziert, dass die Dynamik eines gemischten Zustands (dargestellt durch einen Dichteoperator) durch die von Neumann-Gleichung beschrieben wird:

{\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}

(4)

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-==3. Quantum instruments==
+==3. Quanteninstrumente==
-===3.1. A few words about the quantum formalism===
+===3.1. Ein paar Worte zum Quantenformalismus===
-Denote by  <math display="inline">\mathcal{H}</math> a complex Hilbert space. For simplicity, we assume that it is finite dimensional. Pure states of a system <math>S</math> are given by normalized vectors of  <math display="inline">\mathcal{H}</math> and mixed states by density operators (positive semi-definite operators with unit trace). The space of density operators is denoted by <math>S</math> (<math display="inline">\mathcal{H}</math>). The space of all linear operators in <math display="inline">\mathcal{H}</math> is denoted by the symbol <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> . In turn, this is a linear space. Moreover, <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> is the complex Hilbert space with the scalar product, <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math>. We consider linear operators acting in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. They are called ''superoperators.''
-The dynamics of the pure state of an isolated quantum system is described by ''the Schrödinger equation:''
+Bezeichne mit <math display="inline">\mathcal{H}</math> ein komplexer Hilbertraum. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es endlichdimensional ist. Reine Zustände eines Systems <math>S</math> sind durch normalisierte Vektoren von gegeben <math display="inline">\mathcal{H}</math> und gemischte Zustände durch Dichteoperatoren (positive semidefinite Operatoren mit Einheitsspur). Der Raum der Dichteoperatoren wird mit bezeichnet <math>S</math> (<math display="inline">\mathcal{H}</math>). Der Raum aller linearen Operatoren in <math display="inline">\mathcal{H}</math> wird durch das Symbol gekennzeichnet <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Dies wiederum ist ein linearer Raum. Darüber hinaus <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> ist der komplexe Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt, <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math> . Wir betrachten lineare Operatoren, die einwirken. Sie werden Superoperatoren genannt.
+Die Dynamik des reinen Zustands eines isolierten Quantensystems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben:
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+Wo <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> ist der Hamiltonoperator des Systems. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand <math>\psi(t)</math> entwickelt sich einheitlich <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math> , Wo <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> ist eine parametrische Gruppe von unitären Operatoren, <math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math> . In der Quantenphysik Hamiltonian <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math>  ist mit dem Energie-Beobachtbaren verbunden. Die gleiche Interpretation wird in der Quantenbiophysik verwendet (Arndt et al., 2009). In unserer quantenähnlichen Modellierung, die die Informationsverarbeitung in Biosystemen beschreibt, jedoch der Operator <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math>  hat keine direkte Kopplung mit physikalischer Energie. Dies ist der Evolutionsgenerator, der Informationsinteraktionen beschreibt.
-where <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math>  is system’s Hamiltonian. This equation implies that the pure state <math>\psi(t)</math> evolves unitarily <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math>, where  <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> is one parametric group of unitary operators,<math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math> . In quantum physics, Hamiltonian  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> is associated with the energy-observable. The same interpretation is used in quantum biophysics (Arndt et al., 2009). However, in our quantum-like modeling describing information processing in biosystems, the operator  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> has no direct coupling with physical energy. This is the evolution-generator describing information interactions.
+Dynamik für einen reinen Zustand impliziert, dass die Dynamik eines gemischten Zustands (dargestellt durch einen Dichteoperator) durch die von Neumann-Gleichung beschrieben wird:
-Schrödinger’s dynamics for a pure state implies that the dynamics of a mixed state (represented by a density operator) is described by the ''von Neumann equation'':
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