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3. Quanteninstrumente

3.1. Ein paar Worte zum Quantenformalismus

Bezeichne mit ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ein komplexer Hilbertraum. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es endlichdimensional ist. Reine Zustände eines Systems $S$ sind durch normalisierte Vektoren von gegeben ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ und gemischte Zustände durch Dichteoperatoren (positive semidefinite Operatoren mit Einheitsspur). Der Raum der Dichteoperatoren wird mit bezeichnet $S$ ( ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ). Der Raum aller linearen Operatoren in ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ wird durch das Symbol gekennzeichnet ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . Dies wiederum ist ein linearer Raum. Darüber hinaus ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ ist der komplexe Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt, ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$ . Wir betrachten lineare Operatoren, die einwirken. Sie werden Superoperatoren genannt.

Die Dynamik des reinen Zustands eines isolierten Quantensystems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben:

i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}

(3)

Wo ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ ist der Hamiltonoperator des Systems. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand $\psi (t)$ entwickelt sich einheitlich $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ , Wo ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ ist eine parametrische Gruppe von unitären Operatoren, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ . In der Quantenphysik Hamiltonian ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ ist mit dem Energie-Beobachtbaren verbunden. Die gleiche Interpretation wird in der Quantenbiophysik verwendet (Arndt et al., 2009). In unserer quantenähnlichen Modellierung, die die Informationsverarbeitung in Biosystemen beschreibt, jedoch der Operator ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ hat keine direkte Kopplung mit physikalischer Energie. Dies ist der Evolutionsgenerator, der Informationsinteraktionen beschreibt.

Dynamik für einen reinen Zustand impliziert, dass die Dynamik eines gemischten Zustands (dargestellt durch einen Dichteoperator) durch die von Neumann-Gleichung beschrieben wird:

{\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}

(4)