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Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$

Scegliamo - come formalismo - di rappresentare un insieme sfocato con la 'tilde': ${\tilde {A}}$ . Un insieme fuzzy è un insieme in cui gli elementi hanno un 'grado' di appartenenza (coerente con la logica fuzzy): alcuni possono essere inclusi nell'insieme al 100%, altri in percentuali inferiori.

A rappresentare matematicamente questo grado di appartenenza è la funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ chiamata 'Funzione di appartenenza'. La funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ è una funzione continua definita nell'intervallo $[0;1]$ dove:

$\mu _{\tilde {A}}(x)=1\rightarrow$ se $x$ è totalmente contenuta in $A$ (questi punti sono chiamati 'nucleus', essi indicano i valori plausibili del predicato ).
$\mu _{\tilde {A}}(x)=0\rightarrow$ se $x$ non è contenuto in $A$
$0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1\;\rightarrow$ se $x$ è parzialmente contenuto in $A$ (questi punti sono chiamati 'Support' ed indicano i valori possibili del predicato possible predicate values).

La rappresentazione grafica della funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ può essere variato; da quelli con linee lineari (triangolari, trapezoidali) a quelli a forma di campana o 'S' (sigmoidale) come rappresentato in Figura 1, che racchiude l'intero concetto grafico della funzione di appartenenza.^[1]^[2]

Figure 1: Types of graphs for the membership function.

Il support set di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ ; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$

Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti possibili, mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più plausibili.

Se ${A}$ rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori $1$ o $0$ , $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1\;\lor \;\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.^[3]

Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:

Figure 2: Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.

Figura 2: Immaginiamo l'Universo della Scienza $U$ in cui ci sono due mondi o contesti paralleli ${A}$ e ${\tilde {A}}$

${A}=$ Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto $KB$ con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato $KB_{c}$

${\tilde {A}}=$ In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme ${A}$ in ${\tilde {A}}$ tanto da poter dire: unione tra i contesti $KB_{c}$

Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:

Logica classica nel contesto odontoiatrico ${A}$ in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1$ , ovvero $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ essendo l'intervallo di dati $D=\{\delta _{1},\dots ,\delta _{4}\}$ ridotto alle conoscenze di base $KB$ nell'insieme ${A}$ Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ e che è sinonimo di un alto range di:

«Errore nella diagnosi differenziale»

Logica fuzzy in un contesto odontoiatrico ${\tilde {A}}$ in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base $KB$ del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ avranno la prerogativa di restituire un risultato $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$ e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una
«Riduzione dell'errore diagnostico differenziale»

↑ Zhang W, Yang J, Fang Y, Chen H, Mao Y, Kumar M, «Analytical fuzzy approach to biological data analysis», in Saudi J Biol Sci, 2017».
PMID:28386181 - PMCID:PMC5372457
DOI:10.1016/j.sjbs.2017.01.027
↑ Lazar P, Jayapathy R, Torrents-Barrena J, Mol B, Mohanalin, Puig D, «Fuzzy-entropy threshold based on a complex wavelet denoising technique to diagnose Alzheimer disease», in Healthc Technol Lett, The Institution of Engineering and Technology, 2016».
PMID:30800318 - PMCID:PMC6371778
DOI:10.1049/htl.2016.0022
↑ •SMUTS J.C. 1926, Holism and Evolution, London: Macmillan.

[1] Zhang W, Yang J, Fang Y, Chen H, Mao Y, Kumar M, «Analytical fuzzy approach to biological data analysis», in Saudi J Biol Sci, 2017».
PMID:28386181 - PMCID:PMC5372457
DOI:10.1016/j.sjbs.2017.01.027

[2] Lazar P, Jayapathy R, Torrents-Barrena J, Mol B, Mohanalin, Puig D, «Fuzzy-entropy threshold based on a complex wavelet denoising technique to diagnose Alzheimer disease», in Healthc Technol Lett, The Institution of Engineering and Technology, 2016».
PMID:30800318 - PMCID:PMC6371778
DOI:10.1049/htl.2016.0022

[:0-3] •SMUTS J.C. 1926, Holism and Evolution, London: Macmillan.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 54: / Line 54: @@
 [[File:Fuzzy_crisp.svg|alt=|left|thumb|400px|'''Figure 1:''' Types of graphs for the membership function.]]
-The '''support set''' of a fuzzy set is defined as the zone in which the degree of membership results <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math>; on the other hand, the '''core''' is defined as the area in which the degree of belonging assumes value <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math>
+Il '''support set''' di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math>; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math>
-The 'Support set' represents the values of the predicate deemed '''possible''', while the 'core' represents those deemed more '''plausible'''.
+Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti '''possibili''', mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più '''plausibili'''.
-If <math>{A}</math> represented a set in the ordinary sense of the term or classical language logic previously described, its membership function could assume only the values <math>1</math> or <math>0</math>, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> depending on whether the element <math>x</math> belongs to the whole or not, as considered. Figure 2 shows a graphic representation of the crisp (rigidly defined) or fuzzy concept of membership, which clearly recalls Smuts's considerations.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
+Se <math>{A}</math> rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori <math>1</math> o <math>0</math>, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
+Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:
-Let us go back to the specific case of our Mary Poppins, in which we see a discrepancy between the assertions of the dentist and the neurologist and we look for a comparison between classical logic and fuzzy logic:
 [[File:Fuzzy1.jpg|thumb|400x400px|'''<!--141-->Figure 2:''' <!--142-->Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.]]
-'''Figure 2:''' Let us imagine the Science Universe <math>U</math> in which there are two parallel worlds or contexts, <math>{A}</math> and <math>\tilde{A}</math>.
+'''Figura 2''': Immaginiamo l'Universo della Scienza <math>U</math> in cui ci sono due mondi o contesti paralleli <math>{A}</math> e <math>\tilde{A}</math>
-<math>{A}=</math>  In the scientific context, the so-called ‘crisp’, and we have converted into ''the logic'' of ''Classic Language'', in which the physician has an absolute scientific background information <math>KB</math>  with a clear dividing line that we have named <math>KB_c</math>.
+<math>{A}=</math> Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto <math>KB</math> con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato <math>KB_c</math>
-<math>\tilde{A}=</math> In another scientific context called  ‘fuzzy logic’, and in which there is a union between the subset <math>{A}</math> in <math>\tilde{A}</math> that we can go so far as to say: union between <math>KB_c</math>.
-We will remarkably notice the following deductions:
+<math>\tilde{A}=</math> In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme <math>{A}</math> in <math>\tilde{A}</math> tanto da poter dire: unione tra i contesti <math>KB_c</math>
-*'''Classical Logic''' in the Dental Context <math>{A}</math> in which only a logical process that gives as results <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math> will be possible, or <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> being the range of data <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math> reduced to basic knowledge <math>KB</math> in the set <math>{A}</math>. This means that outside the dental world there is a void and that term of set theory is written precisely <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> and which is synonymous with a high range of:
+Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:
-{{q2|Differential diagnostic error|}}
+* '''Logica classica''' nel contesto odontoiatrico <math>{A}</math> in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math>, ovvero <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> essendo l'intervallo di dati <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math> ridotto alle conoscenze di base <math>KB</math> nell'insieme <math>{A}</math> Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> e che è sinonimo di un alto range di:
+{{q2|Errore nella diagnosi differenziale|}}
-*'''Fuzzy logic''' in a dental context <math>\tilde{A}</math> in which they are represented beyond the basic knowledge <math>KB</math> of the dental context also those partially acquired from the neurophysiological world <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> will have the prerogative to return a result <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
+*'''Logica fuzzy''' in un contesto odontoiatrico <math>\tilde{A}</math> in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base <math>KB</math> del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> avranno la prerogativa di restituire un risultato <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
-  </math> and a result <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> because of basic knowledge <math>KB</math> which at this point is represented by the union of <math>KB_c</math> dental and neurological contexts. The result of this scientific-clinical implementation of dentistry would allow a {{q2|Reduction of differential diagnostic error|}}
+  </math> e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una {{q2|Riduzione dell'errore diagnostico differenziale|}}

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Insieme sfocato A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} e funzione di appartenenza μ A ~ ( x ) {\displaystyle \mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)}

Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$