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Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$

Scegliamo - come formalismo - di rappresentare un insieme sfocato con la 'tilde':${\tilde {A}}$. Un insieme fuzzy è un insieme in cui gli elementi hanno un 'grado' di appartenenza (coerente con la logica fuzzy): alcuni possono essere inclusi nell'insieme al 100%, altri in percentuali inferiori.

A rappresentare matematicamente questo grado di appartenenza è la funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ chiamata 'Funzione di appartenenza'. La funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ è una funzione continua definita nell'intervallo $[0;1]$ dove:

• $\mu _{\tilde {A}}(x)=1\rightarrow$ se $x$ è totalmente contenuta in $A$ (questi punti sono chiamati 'nucleus', essi indicano i valori plausibili del predicato ).
• $\mu _{\tilde {A}}(x)=0\rightarrow$ se $x$ non è contenuto in $A$
• $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1\;\rightarrow$ se $x$ è parzialmente contenuto in $A$ (questi punti sono chiamati 'Support' ed indicano i valori possibili del predicato possible predicate values).

La rappresentazione grafica della funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ può essere variato; da quelli con linee lineari (triangolari, trapezoidali) a quelli a forma di campana o 'S' (sigmoidale) come rappresentato in Figura 1, che racchiude l'intero concetto grafico della funzione di appartenenza.

Figure 1: Types of graphs for the membership function.

Il support set di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$

Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti possibili, mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più plausibili.

Se ${A}$ rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori $1$ o $0$, $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1\;\lor \;\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.

Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:

Figure 2: Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.

Figura 2: Immaginiamo l'Universo della Scienza $U$ in cui ci sono due mondi o contesti paralleli ${A}$ e ${\tilde {A}}$

${A}=$ Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto $KB$ con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato $KB_{c}$

${\tilde {A}}=$ In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme ${A}$ in ${\tilde {A}}$ tanto da poter dire: unione tra i contesti $KB_{c}$

Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:

• Logica classica nel contesto odontoiatrico ${A}$ in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1$, ovvero $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ essendo l'intervallo di dati $D=\{\delta _{1},\dots ,\delta _{4}\}$ ridotto alle conoscenze di base $KB$ nell'insieme ${A}$ Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ e che è sinonimo di un alto range di:

«Errore nella diagnosi differenziale»

• Logica fuzzy in un contesto odontoiatrico ${\tilde {A}}$ in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base $KB$ del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ avranno la prerogativa di restituire un risultato $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$ e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una
  «Riduzione dell'errore diagnostico differenziale»