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Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri

La calibrazione di un'immagine per ottenere misurazioni accurate richiede l'attenzione a diversi fattori critici. Estrarre distanze da un'immagine può essere complesso, poiché la precisione dipende da:

1. Fattori di distorsione: Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento.
2. Effetto prospettico: La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
3. Distorsioni prospettiche: Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.

Con questa premessa, il fattore di scala utilizzato nel nostro studio rappresenta un'approssimazione valida nel contesto specifico delle immagini 2D acquisite in condizioni controllate. Tuttavia, per applicazioni più rigorose, come quelle descritte sopra, è necessario considerare strumenti e metodi avanzati per la calibrazione.

Procedura di Calibrazione e Analisi

Per l'analisi dei movimenti mandibolari, è stato utilizzato un modello grafico derivato da uno studio di bioingegneria meccanica, in cui i movimenti dei condili e degli incisivi sono stati registrati. Per garantire l'accuratezza delle misurazioni, l'immagine è stata calibrata convertendo i valori da pixel a millimetri utilizzando una scala di riferimento presente nell'immagine. La conversione avviene con il seguente fattore di conversione:

${\text{Fattore di conversione}}={\frac {\text{Distanza reale (mm)}}{\text{Distanza misurata (pixel)}}}={\frac {10\,{\text{mm}}}{99.3\,{\text{pixel}}}}\approx 0.1007\,{\text{mm/pixel}}.$

Precisione delle Coordinate dei Punti

Le coordinate dei punti misurati nell'immagine sono espresse in valori continui (con decimali), derivanti da algoritmi di interpolazione sub-pixel che aumentano la precisione della localizzazione. Tuttavia, queste coordinate non corrispondono ai pixel discreti della griglia originale dell'immagine, ma a una stima interpolata della posizione reale del punto nel piano 2D. Le misurazioni fanno riferimento alla proiezione dei punti nello spazio tridimensionale sul piano 2D specifico (ad esempio, il piano $(X,Y)$).

Misurazione della Distanza tra i Punti

Per ogni coppia di punti nell'immagine, la distanza è calcolata utilizzando la formula della distanza euclidea nel piano $(X,Y)$. Ad esempio, la distanza tra il punto $1L$ e $2L$ (coordinate: $1L=(63.1721,-59.6914)$ e $2L=(62.9,-76.6)$) è calcolata come segue:

Calcolo della Distanza

La formula della distanza euclidea è: $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

• Differenze lungo gli assi:

$x_{2}-x_{1}=62.9-63.1721=-0.2721,$ $y_{2}-y_{1}=-76.6-(-59.6914)=-76.6+59.6914=-16.9086.$

• Quadrati delle differenze:

$(x_{2}-x_{1})^{2}=(-0.2721)^{2}\approx 0.0740,$ $(y_{2}-y_{1})^{2}=(-16.9086)^{2}\approx 285.75.$

• Somma dei quadrati:

$(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=0.0740+285.75=285.824.$

• Radice quadrata:

$d={\sqrt {285.824}}\approx 16.91{\text{pixel}}$

• Conversione in millimetri:

$d=16.91\,{\text{pixel}}\cdot 0.1007\,{\text{mm/pixel}}\approx 1.70\,{\text{mm}}.$

Nota sulle Coordinate e sulle Convenzioni

Le coordinate sono riferite alla proiezione nel piano $(X,Y)$, e i valori decimali rappresentano la posizione stimata mediante interpolazione. Nei calcoli effettuati, è stato adottato il sistema di riferimento standard utilizzato in geometria, in cui:

• l'asse $X$ rappresenta il movimento **antero-posteriore**,
• l'asse $Y$ rappresenta il movimento **latero-mediale**.

Tuttavia, software come GeoGebra possono adottare convenzioni opposte, con:

• $X$ per il movimento **latero-mediale**,
• $Y$ per il movimento **antero-posteriore**.

Questa discrepanza non incide sul risultato delle distanze calcolate, poiché la formula della distanza euclidea è indipendente dall'orientamento degli assi. Le coordinate sono state riorganizzate solo per adattarsi alla convenzione predefinita del software.

Cinematica dei Condili

Traslazioni e Rotazioni dei Condili Spiegazione del Movimento: In sintesi, i condili si muovono nello spazio in modo tridimensionale complesso, combinando spostamenti lineari con rotazioni attorno agli assi cartesiani. La rappresentazione delle loro posizioni nel tempo tramite vettori permette di descrivere accuratamente le traiettorie durante il movimento masticatorio.Esempio di Movimento *Il condilo laterotrusivo non si limita a traslare lateralmente, ma ruota anche attorno agli assi $x$, $y$ e $z$, influenzando la traiettoria dei punti dentali (come incisivo e molare) durante i movimenti mandibolari. Il 'condilo mediotrusivo' si sposta principalmente lungo l'asse mediale con una rotazione secondaria, necessaria per bilanciare il movimento della mandibola.Conclusione Questa rappresentazione vettoriale consente di calcolare con precisione le posizioni, velocità e accelerazioni dei condili in un modello tridimensionale, fondamentale per comprendere le dinamiche mandibolari durante il ciclo masticatorio.

Nel contesto del movimento mandibolare, i condili non eseguono solo movimenti traslatori (spostamenti lineari nello spazio), ma anche rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come rototraslazione, è essenziale per comprendere la complessità della cinematica mandibolare.

Per descrivere in modo accurato la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, possiamo utilizzare un insieme di vettori di posizione. Questi vettori, che rappresentano i punti nel sistema di riferimento cartesiano, variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto può essere descritto combinando spostamenti lineari e variazioni angolari, che influenzano la posizione dei vettori stessi all'interno dello spazio tridimensionale.

Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)

Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione, ovvero lo spostamento laterale della mandibola. Durante il movimento, la posizione del condilo può essere descritta mediante un vettore di posizione, definito come il segmento orientato che congiunge il condilo a un’origine del sistema di riferimento cartesiano scelto.Il vettore di posizione varia nel tempo sia in modulo che in direzione, a causa della natura complessa del moto elicoidale. Questo permette di rappresentare il movimento del condilo come una combinazione di spostamenti lineari e cambiamenti di orientamento nel sistema tridimensionale.

Il vettore di posizione del condilo laterotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{l}(t)=[X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t),\theta _{l}(t),\phi _{l}(t),\psi _{l}(t)]$

Dove:

• $X_{l}(t),Y_{l}(t),Z_{l}(t)$: Rappresentano gli spostamenti lineari del condilo laterotrusivo lungo i tre assi dello spazio cartesiano:
  • $X_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse antero-posteriore (avanti e indietro).
  • $Y_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse latero-mediale (destra e sinistra).
  • $Z_{l}(t)$: Spostamento lungo l'asse verticale (alto e basso)
  • $\theta _{l}(t)$, $\phi _{l}(t)$, $\psi _{l}(t)$: Sono le rotazioni angolari del condilo laterotrusivo attorno ai tre assi del sistema di riferimento cartesiano scelto. Queste rotazioni rappresentano il cambiamento di orientamento del condilo nello spazio, descritto utilizzando la convenzione degli angoli di Eulero. È fondamentale notare che le rotazioni non sono commutative, e quindi l'ordine in cui avvengono le rotazioni deve essere specificato per garantire una descrizione univoca.

Nel nostro caso, adottiamo la convenzione $X,Y,Z$ che descrive le rotazioni nel seguente ordine:

• $\theta _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$ (causa una torsione laterale della mandibola).

• $\phi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$ (controlla l'apertura e la chiusura della mandibola).

• $\psi _{l}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$ (controlla la rotazione laterale/mediale della mandibola).

Questa sequenza di rotazioni consente di determinare in modo univoco l'orientamento del condilo nello spazio, evitando ambiguità derivanti dalla non-commutatività delle rotazioni angolari.

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Vettori di Posizione del Condilo Mediotrusivo (non lavorante)

Questo condilo si trova sul lato opposto rispetto al condilo lavorante e si sposta principalmente medialmente e anteriormente durante il movimento laterale della mandibola conosciuto nel gergo gnatologico come 'Condilo orbitante' ma contestualmente non meno complesso del lavorante. Il vettore di posizione del condilo mediotrusivo nel tempo è descritto da:

$P_{m}(t)=[X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t),\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)]$

Dove:

• $X_{m}(t),Y_{m}(t),Z_{m}(t)$: Sono gli spostamenti lineari del condilo mediotrusivo:
  • $X_{m}(t)$: Spostamento antero-posteriore.
  • $Y_{m}(t)$: Spostamento latero-mediale.
  • $Z_{m}(t)$: Spostamento verticale.

• $\theta _{m}(t),\phi _{m}(t),\psi _{m}(t)$: Descrivono le rotazioni angolari attorno ai tre assi:
  • $\theta _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $x$.
  • $\phi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $y$.
  • $\psi _{m}(t)$: Rotazione attorno all'asse $z$.

Questa prima descrizione rappresenta solo il primo livello di complessità perchè i movimenti dei condili laterotrusivo e mediotrusivo si influenzano reciprocamente durante i cicli masticatori. Il condilo laterotrusivo esegue una rototraslazione lungo un arco che descrive una combinazione di rotazione attorno all'asse verticale $_{v}HA$ ed uno spostamento laterale. Al contrario, il condilo mediotrusivo si sposta principalmente medialmente e anteriormente. Descriviamone la dinamica

Rotazione del Condilo Laterotrusivo

La rotazione del condilo laterotrusivo attorno all'asse $Z$ (verticale) è descritta matematicamente utilizzando una trasformazione lineare nel piano trasversale $(X,Y)$. Questa trasformazione è rappresentata dalla seguente matrice di rotazione:

$R_{\psi }={\begin{pmatrix}\cos(\psi )&-\sin(\psi )\\\sin(\psi )&\cos(\psi )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}X_{L}\\Y_{L}\end{pmatrix}}$

Dove:

• $\psi$ rappresenta l'angolo di rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale).
• $(X_{L},Y_{L})$ sono le coordinate del condilo laterotrusivo nel piano trasversale.

Questo descrive il cambiamento di posizione del condilo laterotrusivo nel piano $(X,Y)$ dovuto alla rotazione angolare.

Traslazione del Condilo Mediotrusivo

Il condilo mediotrusivo si muove principalmente con una traslazione nello spazio tridimensionale, lungo i piani trasversale e sagittale, generando un tragitto noto come "tragitto orbitante". La traslazione è descritta dal seguente vettore:

$T_{M}(t)={\begin{pmatrix}X_{M}(t)\\Y_{M}(t)\\Z_{M}(t)\end{pmatrix}}$

Dove:

• $(X_{M}(t),Y_{M}(t),Z_{M}(t))$ rappresentano le coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano tridimensionale.

Questa traslazione rappresenta il movimento anteriore e mediale del condilo mediotrusivo. Inoltre, il condilo mediotrusivo può anche incorporare una rotazione attorno all'asse $Z$ (asse verticale), influenzando significativamente la dinamica complessiva del ciclo masticatorio. Da qui possiamo procedere con l'analisi combinata degli spostamenti lineari e angolari, descrivendo in modo completo il moto sia dei condili (laterotrusivo e mediotrusivo) che dei punti di riferimento principali come molare e incisivo.