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Distanze e Direzioni

Condilo Laterotrusivo

Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolare la distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola (Figura 2 e Tabella 1).

Tabella 1
Tracciato masticatorio	Markers	Distanza (mm)	Direzione (X - antero-posteriore)	Direzione dinamica (Y - latero-mediale)
Figura 2:	2	1.70	Nessuno	Lateralizzazione
	3	4.93	Avanti	Lateralizzazione
	4	6.57	Avanti	Lateralizzazione
	5	3.51	Avanti	Lateralizzazione
	6	1.07	Indietro	Medializzazione
	7*	1.05	Indietro	Medializzazione
	8	0.43	Indietro	Medializzazione

Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze dei punti marcati dallo strumento di replicazione dei movimenti mandibolari. Nello specifico, la distanza tra il punto $1L$ e il punto $7L$ è stata correttamente calcolata come circa $1.05\,{\text{mm}}$ , con una direzione calcolata come: $\theta =\arccos(0.840)\approx 33.57^{\circ }$

Per chi desidera approfondire il formalismo matematico, riportiamo il calcolo dettagliato nel popup interattivo.

Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti $P_{1}=(63.1721,-59.6914)$ e $P_{7}=(57.7,-50.8)$ . La formula per la distanza euclidea tra due punti $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ è: ${\text{distanza}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ Sostituendo i valori: ${\text{distanza}}={\sqrt {(57.7-63.1721)^{2}+(-50.8-(-59.6914))^{2}}}$ ${\text{distanza}}={\sqrt {(-5.4721)^{2}+(8.8914)^{2}}}={\sqrt {29.96+79.06}}={\sqrt {109.02}}\approx 10.45\,{\text{pixel}}.$ . A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione: ${\text{distanza in mm}}=10.45\times 0.1007\approx 1.05\,{\text{mm}}.$ Ora possiamo calcolare l'angolo $\theta$ utilizzando la formula per il coseno dell'angolo tra due vettori: $\cos(\theta )={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}}{|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {AC}}|}}.$ Infine, l'angolo $\theta$ è calcolato tramite la funzione arccoseno: $\theta =\arccos(0.840)\approx 33.57^{\circ }.$

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 == Distanze e Direzioni ==
+----
-=== Condilo Laterotrusivo ===
+===Condilo Laterotrusivo===
 Questo paragrafo illustra un processo matematico utilizzato per calcolare la distanza e l'angolo formato tra due segmenti in un piano 2D, con applicazione nella cinematica mandibolare. La spiegazione riguarda come determinare l'angolo tra due vettori che rappresentano movimenti articolari all'interno di un sistema articolare, ad esempio i condili durante i movimenti della mandibola (Figura 2 e Tabella 1).
-[[File:Angolo laterotrusivo TMJ.jpg|thumb|'''Figura 2:''' Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio{{Rosso inizio}}rifare{{Rosso Fine}}|center|525x525px]]Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze dei punti marcati dallo strumenti di replicazione dei movimenti mandibolari e nello specifico la distanza tra il punto 1 e il punto 7 che è stata correttamente calcolata come circa 2.78 mm e con una direzione calcolata con  <math>
+<Center>
-\theta = \arccos(0.840) \approx 33.57^\circ
+{|
-</math>. Per gli appassionati e curiosi di seguire il formalismo matematico riportiamo nel popup il contenuto.{{Tooltip|2=Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti <math>P_1 = (59, -58.3)</math> e <math>P_7 = (44, -34.9)</math>. La formula per la distanza euclidea tra due punti <math>(x_1, y_1)</math> e <math>(x_2, y_2)</math> è:<math>\text{distanza} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}</math>'''Sostituendo i valori''':<math>
+! colspan="5" |Tabella 1
-\text{distanza} = \sqrt{(44 - 59)^2 + (-34.9 - (-58.3))^2}
-</math><math>\text{distanza} =\sqrt{(-15.0)^2 + (23.4)^2} = \sqrt{225.0 + 547.56} = \sqrt{772.56} \approx 27.78 \, \text{pixel}</math>A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione (che supponiamo essere 0.1 mm/pixel, come indicato nel modello):<math>\text{distanza in mm} = 27.78 \times 0.1 = 2.78 \,\text{mm}</math> Ora possiamo usare la formula per il coseno dell'angolo tra i due vettori: <math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}</math>. Sostituendo i valori: Infine, l'angolo \(\theta\) è calcolato tramite la funzione arccoseno:  <math>\theta = \arccos(0.840) \approx 33.57^\circ  </math>}}
-{| class="wikitable"
-! colspan="4" |Tabella 1
 |-
-!Punto
+!Tracciato masticatorio
-!Distanza
+!Markers
-(mm)
+!Distanza (mm)
 !Direzione
 (X - antero-posteriore)
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 (Y - latero-mediale)
 |-
+| rowspan="8" |[[File:Figura Condilo laterotrusico.jpg|center|400x400px|'''Figura 2:''' Rappresentazione grafica reale dei punti marcati nel ciclo masticatorio]]'''Figura 2''':
 |2
-|3.40
+|1.70
 |Nessuno
 |Lateralizzazione
 |-
 |3
-|11.92
+|4.93
 |Avanti
 |Lateralizzazione
 |-
 |4
-|15.75
+|6.57
 |Avanti
 |Lateralizzazione
 |-
 |5
-|8.76
+|3.51
 |Avanti
 |Lateralizzazione
 |-
 |6
-|2.21
+|1.07
 |Indietro
 |Medializzazione
 |-
 |7*
-|2.78
+|1.05
 |Indietro
 |Medializzazione
 |-
 |8
-|1.20
+|0.43
 |Indietro
-| Medializzazione
+|Medializzazione
 |-
-| colspan="4" |Rappresentazione delle distanze e dell'angolo formato tra i punti marcati nel ciclo masticatorio riferiti al punto 1 di massima intercuspidazione. Il punto 7* è il punto considerato per lo specifico calcolo del condilo laterotrusivo. La direzione mediale o laterale del tracciato va considerato rispetto all'asseperpendicolare ed  intersecante il punto <math>
+| colspan="4" |
-L
-</math> , per cui in questo caso tutti i punti da 2 a 4 hanno un andamento di moto lateralizzante e cioè si spostano da mediale a laterale mentre dai punti 6 a 1 il moto è medializzante, cioè inizia il percorso di ritorno al p unto di partenza di massima intercuspidazione.
 |}
+</Center>
+Osservando la figura e la tabella, possiamo estrapolare le distanze dei punti marcati dallo strumento di replicazione dei movimenti mandibolari. Nello specifico, la distanza tra il punto <math>1L</math> e il punto <math>7L</math> è stata correttamente calcolata come circa <math>1.05 \, \text{mm}</math>, con una direzione calcolata come:
+<math>\theta = \arccos(0.840) \approx 33.57^\circ</math>
+Per chi desidera approfondire il formalismo matematico, riportiamo il calcolo dettagliato nel popup interattivo.
+{{Tooltip|2=Dobbiamo calcolare la distanza euclidea tra i punti <math>P_1 = (63.1721, -59.6914)</math> e <math>P_7 = (57.7, -50.8)</math>. La formula per la distanza euclidea tra due punti <math>(x_1, y_1)</math> e <math>(x_2, y_2)</math> è:
+<math>\text{distanza} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.</math>  '''Sostituendo i valori''':  <math>\text{distanza} = \sqrt{(57.7 - 63.1721)^2 + (-50.8 - (-59.6914))^2}</math>  <math>\text{distanza} = \sqrt{(-5.4721)^2 + (8.8914)^2} = \sqrt{29.96 + 79.06} = \sqrt{109.02} \approx 10.45 \, \text{pixel}.</math>. A questo punto, per convertire in millimetri, moltiplichiamo la distanza in pixel per il fattore di conversione: <math>\text{distanza in mm} = 10.45 \times 0.1007 \approx 1.05 \, \text{mm}.</math>
+Ora possiamo calcolare l'angolo <math>\theta</math> utilizzando la formula per il coseno dell'angolo tra due vettori:
+<math>\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}.</math> Infine, l'angolo <math>\theta</math> è calcolato tramite la funzione arccoseno: <math>\theta = \arccos(0.840) \approx 33.57^\circ.</math>}}