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8.Offene Quantensysteme: Interaktion eines Biosystems mit seiner Umgebung

Wie bereits betont wurde, jedes Biosystem $S$ ist grundsätzlich offen. Daher muss die Dynamik seines Zustands über eine Wechselwirkung mit der Umgebung modelliert werden $\varepsilon$ . Die Staaten von $S$ und $\varepsilon$ sind in den Hilberträumen vertreten ${\mathcal {H}}$ und ${\mathcal {H}}$ . Das zusammengesetzte System $S+\varepsilon$ wird im Tensorprodukt Hilberträume dargestellt. Dieses System wird als isoliertes System behandelt und gemäß der Quantentheorie kann die Dynamik seines reinen Zustands durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben werden:

i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}

(21)

wo $\psi (t)$ ist der reine Zustand des Systems $S+\varepsilon$ and ${\hat {\mathcal {H}}}$ ist sein Hamiltonoperator. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand $\psi (t)$ entwickelt sich einheitlich: $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ . Here ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ . Hamiltonian (Evolutionsgenerator), der Informationsinteraktionen beschreibt, hat die Form ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ , wo ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$ , ${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$ sind Hamiltonoperatoren der Systeme und ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ ist der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator.12 Diese Gleichung impliziert, dass die Evolution des Dichteoperators ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ of the system $S+\varepsilon$ wird durch die von Neumann-Gleichung beschrieben:

{\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}

(22)

Allerdings der Staat ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ ist für jede mathematische Analyse zu komplex: Die Umgebung enthält zu viele Freiheitsgrade. Daher interessiert uns nur der Zustand $S$ ; seine Dynamik wird über die Verfolgung des Zustands von erhalten $S+\varepsilon$ w.r.t. die Freiheitsgrade von $\varepsilon$ :

{\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)

(23)

Im Allgemeinen ist diese Gleichung, die Quanten-Master-Gleichung, mathematisch sehr kompliziert. In Anwendungen wird eine Vielzahl von Näherungen verwendet.

8.1. Quanten-Markov-Modell: Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindbladequation

Die einfachste Annäherung der Quanten-Master-Gleichung (23) ist die Quanten-Markov-Dynamik, die durch die Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL)-Gleichung (Ingarden et al., 1997) gegeben ist (in der Physik wird sie allgemein einfach als Lindblad-Gleichung bezeichnet; Dies ist die einfachste Quanten-Master-Gleichung):

{\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}

(24)

wobei Hermitescher Operator (Hamiltonian) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ beschreibt die innere Dynamik von $S$ und der Superoperator ${\widehat {L}}$ , im Raum der Dichteoperatoren agierend, beschreibt eine Interaktion mit der Umgebung $\varepsilon$ .Dieser Superoperator wird oft Lindbladian genannt. Die GKSL-Gleichung ist eine Quantenmastergleichung für die Markovsche Dynamik. In diesem Beitrag haben wir keine Möglichkeit, den Begriff der Quanten-Markovianität näher zu erläutern. Die Quantenmastergleichung (23) beschreibt im Allgemeinen nicht-Markovsche Dynamik.

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-==8. Open quantum systems: interaction of a biosystem with its environment==
+==8.Offene Quantensysteme: Interaktion eines Biosystems mit seiner Umgebung==
-As was already emphasized, any biosystem <math>S</math> is fundamentally open. Hence, dynamics of its state has to be modeled via an interaction with surrounding environment <math>
+Wie bereits betont wurde, jedes Biosystem <math>S</math> ist grundsätzlich offen. Daher muss die Dynamik seines Zustands über eine Wechselwirkung mit der Umgebung modelliert werden <math>
-\varepsilon</math>. The states of  <math>S</math> and <math>
+\varepsilon</math>. Die Staaten von <math>S</math> und <math>
-\varepsilon</math> are represented in the Hilbert spaces <math>\mathcal{H}</math> and <math>\mathcal{H}</math>. The compound system <math>S+\varepsilon</math> is represented in the tensor product Hilbert spaces . This system is treated as an isolated system and in accordance with quantum theory, dynamics of its pure state can be described by the Schrödinger equation:
+\varepsilon</math> sind in den Hilberträumen vertreten <math>\mathcal{H}</math> und <math>\mathcal{H}</math>. Das zusammengesetzte System <math>S+\varepsilon</math>wird im Tensorprodukt Hilberträume dargestellt. Dieses System wird als isoliertes System behandelt und gemäß der Quantentheorie kann die Dynamik seines reinen Zustands durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben werden:
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 |}
-where <math>\psi(t)</math> is the pure state of the system <math>S+\varepsilon</math> and <math>\hat{\mathcal{H}}</math> is its Hamiltonian. This equation implies that the pure state <math>\psi(t)</math> evolves unitarily :<math>\psi(t)=\hat{U}(t)\psi_0</math>. Here <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal{H}}}</math>. Hamiltonian (evolution-generator) describing information interactions has the form <math>\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_s+\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon+{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>, where  <math>\hat{\mathcal{H}}_s</math>,<math>\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon</math>are Hamiltonians of the systems and  <math>{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>is the interaction Hamiltonian.12 This equation implies that evolution of the density operator <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> of the system <math>S+\varepsilon</math> is described by von Neumann equation:
+wo <math>\psi(t)</math>ist der reine Zustand des Systems <math>S+\varepsilon</math> and <math>\hat{\mathcal{H}}</math> ist sein Hamiltonoperator. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand <math>\psi(t)</math>entwickelt sich einheitlich: <math>\psi(t)=\hat{U}(t)\psi_0</math>. Here <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal{H}}}</math>. Hamiltonian (Evolutionsgenerator), der Informationsinteraktionen beschreibt, hat die Form <math>\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}_s+\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon+{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>, wo  <math>\hat{\mathcal{H}}_s</math>,<math>\hat{\mathcal{H}}_\varepsilon</math>sind Hamiltonoperatoren der Systeme und  <math>{\mathcal{\hat H_{S,\varepsilon}}}</math>ist der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator.12 Diese Gleichung impliziert, dass die Evolution des Dichteoperators <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> of the system <math>S+\varepsilon</math> wird durch die von Neumann-Gleichung beschrieben:
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 |}
-However, the state  <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math> is too complex for any mathematical analysis: the environment includes too many degrees of freedom. Therefore, we are interested only the state of <math>S</math>; its dynamics is obtained via tracing of the state of  <math>S+\varepsilon</math> w.r.t. the degrees of freedom of <math>\varepsilon</math> :
+Allerdings der Staat  <math>\hat{\mathcal{R}}(t)</math>ist für jede mathematische Analyse zu komplex: Die Umgebung enthält zu viele Freiheitsgrade. Daher interessiert uns nur der Zustand <math>S</math>; seine Dynamik wird über die Verfolgung des Zustands von erhalten <math>S+\varepsilon</math> w.r.t. die Freiheitsgrade von<math>\varepsilon</math> :
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-Generally this equation, ''the quantum master equation'', is mathematically very complicated. A variety of approximations is used in applications.
+Im Allgemeinen ist diese Gleichung, die Quanten-Master-Gleichung, mathematisch sehr kompliziert. In Anwendungen wird eine Vielzahl von Näherungen verwendet.
-===8.1. Quantum Markov model: Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindbladequation===
+===8.1. Quanten-Markov-Modell: Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindbladequation===
-The simplest approximation of quantum master equation (23) is ''the quantum Markov dynamics'' given by the ''Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad'' (GKSL) equation (Ingarden et al., 1997) (in physics, it is commonly called simply the Lindblad equation; this is the simplest quantum master equation):
+Die einfachste Annäherung der Quanten-Master-Gleichung (23) ist die Quanten-Markov-Dynamik, die durch die Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL)-Gleichung (Ingarden et al., 1997) gegeben ist (in der Physik wird sie allgemein einfach als Lindblad-Gleichung bezeichnet; Dies ist die einfachste Quanten-Master-Gleichung):
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-where Hermitian operator (Hamiltonian) <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> describes the internal dynamics of <math>S</math> and the superoperator <math>\widehat{{L}}</math>, acting in the space of density operators, describes an interaction with environment <math>\varepsilon</math>. This superoperator is often called ''Lindbladian.'' The GKSL-equation is a quantum master equation for Markovian dynamics. In this paper, we have no possibility to explain the notion of quantum Markovianity in more detail. Quantum master equation (23) describes generally non-Markovean dynamics.
+wobei Hermitescher Operator (Hamiltonian) <math>\widehat{\mathcal{H}}</math> beschreibt die innere Dynamik von <math>S</math> und der Superoperator <math>\widehat{{L}}</math>, im Raum der Dichteoperatoren agierend, beschreibt eine Interaktion mit der Umgebung <math>\varepsilon</math>.Dieser Superoperator wird oft Lindbladian genannt. Die GKSL-Gleichung ist eine Quantenmastergleichung für die Markovsche Dynamik. In diesem Beitrag haben wir keine Möglichkeit, den Begriff der Quanten-Markovianität näher zu erläutern. Die Quantenmastergleichung (23) beschreibt im Allgemeinen nicht-Markovsche Dynamik.
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