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8.Offene Quantensysteme: Interaktion eines Biosystems mit seiner Umgebung

Wie bereits betont wurde, jedes Biosystem $S$ ist grundsätzlich offen. Daher muss die Dynamik seines Zustands über eine Wechselwirkung mit der Umgebung modelliert werden $\varepsilon$. Die Staaten von $S$ und $\varepsilon$ sind in den Hilberträumen vertreten ${\mathcal {H}}$ und ${\mathcal {H}}$. Das zusammengesetzte System $S+\varepsilon$wird im Tensorprodukt Hilberträume dargestellt. Dieses System wird als isoliertes System behandelt und gemäß der Quantentheorie kann die Dynamik seines reinen Zustands durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben werden:

$i{\tfrac {d}{dt}}\Psi (t)={\widehat {H}}\Psi (t)(t),\Psi (0)=\Psi _{0}$

$(21)$

wo $\psi (t)$ist der reine Zustand des Systems $S+\varepsilon$ and ${\hat {\mathcal {H}}}$ ist sein Hamiltonoperator. Diese Gleichung impliziert, dass der reine Zustand $\psi (t)$entwickelt sich einheitlich: $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$. Here ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$. Hamiltonian (Evolutionsgenerator), der Informationsinteraktionen beschreibt, hat die Form ${\hat {\mathcal {H}}}={\hat {\mathcal {H}}}_{s}+{\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }+{\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$, wo ${\hat {\mathcal {H}}}_{s}$,${\hat {\mathcal {H}}}_{\varepsilon }$sind Hamiltonoperatoren der Systeme und  ${\mathcal {{\hat {H}}_{S,\varepsilon }}}$ist der Wechselwirkungs-Hamiltonoperator.12 Diese Gleichung impliziert, dass die Evolution des Dichteoperators ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ of the system $S+\varepsilon$ wird durch die von Neumann-Gleichung beschrieben:

${\tfrac {d{\widehat {R}}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {R}},(t)],{\widehat {R}}(0)={\widehat {R}}_{0}$

$(22)$

Allerdings der Staat  ${\hat {\mathcal {R}}}(t)$ist für jede mathematische Analyse zu komplex: Die Umgebung enthält zu viele Freiheitsgrade. Daher interessiert uns nur der Zustand $S$; seine Dynamik wird über die Verfolgung des Zustands von erhalten $S+\varepsilon$ w.r.t. die Freiheitsgrade von$\varepsilon$ :

${\widehat {\rho }}(t)=Tr_{\mathcal {H}}{\widehat {R}}(t)$

$(23)$

Im Allgemeinen ist diese Gleichung, die Quanten-Master-Gleichung, mathematisch sehr kompliziert. In Anwendungen wird eine Vielzahl von Näherungen verwendet.

8.1. Quanten-Markov-Modell: Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindbladequation

Die einfachste Annäherung der Quanten-Master-Gleichung (23) ist die Quanten-Markov-Dynamik, die durch die Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKSL)-Gleichung (Ingarden et al., 1997) gegeben ist (in der Physik wird sie allgemein einfach als Lindblad-Gleichung bezeichnet; Dies ist die einfachste Quanten-Master-Gleichung):

${\tfrac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\widehat {H}},{\widehat {\rho }},(t)]+{\widehat {L}}[{\widehat {\rho }}(t),{\widehat {\rho }}(0)={\widehat {\rho }}_{0}$

$(24)$

wobei Hermitescher Operator (Hamiltonian) ${\widehat {\mathcal {H}}}$ beschreibt die innere Dynamik von $S$ und der Superoperator ${\widehat {L}}$, im Raum der Dichteoperatoren agierend, beschreibt eine Interaktion mit der Umgebung $\varepsilon$.Dieser Superoperator wird oft Lindbladian genannt. Die GKSL-Gleichung ist eine Quantenmastergleichung für die Markovsche Dynamik. In diesem Beitrag haben wir keine Möglichkeit, den Begriff der Quanten-Markovianität näher zu erläutern. Die Quantenmastergleichung (23) beschreibt im Allgemeinen nicht-Markovsche Dynamik.

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