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3. Instruments quantiques

3.1. Quelques mots sur le formalisme quantique

Dénotons par ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ un espace de Hilbert complexe. Pour simplifier, nous supposons qu'il est de dimension finie. Les états purs d'un système $S$ sont donnés par des vecteurs normalisés de ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ et les états mixtes par des opérateurs de densité (opérateurs semi-définis positifs avec trace unitaire). L'espace des opérateurs de densité est noté $S$ ( ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ). L'espace de tous les opérateurs linéaires en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ est désigné par le symbole ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . À son tour, il s'agit d'un espace linéaire. De plus, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ est l'espace de Hilbert complexe avec le produit scalaire, ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$ . Nous considérons des opérateurs linéaires agissant en ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ . Ils sont appelés superopérateurs.

La dynamique de l'état pur d'un système quantique isolé est décrite par l'équation de Schrödinger :

i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}

(3)

où ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ est l'hamiltonien du système. Cette équation implique que l'état pur $\psi (t)$ évolue unitairement $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$ , où ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ est un groupe paramétrique d'opérateurs unitaires, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ . En physique quantique, l'Hamiltonien ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ est associé à l'énergie observable. La même interprétation est utilisée en biophysique quantique (Arndt et al., 2009^[1]). Cependant, dans notre modélisation de type quantique décrivant le traitement de l'information dans les biosystèmes, l'opérateur ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ n'a pas de couplage direct avec l'énergie physique. C'est le générateur d'évolution décrivant les interactions d'information.

La dynamique de Schrödinger pour un état pur implique que la dynamique d'un état mixte (représenté par un opérateur de densité) est décrite par l'équation de von Neumann :

{\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}

(4)

↑ Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400,

[1] Arndt M., Juffmann T., Vedral V. Quantum physics meets biology HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400,

[1]

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-==3. Quantum instruments==
+==3. Instruments quantiques==
-===3.1. A few words about the quantum formalism===
+===3.1. Quelques mots sur le formalisme quantique===
-Denote by  <math display="inline">\mathcal{H}</math> a complex Hilbert space. For simplicity, we assume that it is finite dimensional. Pure states of a system <math>S</math> are given by normalized vectors of  <math display="inline">\mathcal{H}</math> and mixed states by density operators (positive semi-definite operators with unit trace). The space of density operators is denoted by <math>S</math> (<math display="inline">\mathcal{H}</math>). The space of all linear operators in <math display="inline">\mathcal{H}</math> is denoted by the symbol <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> . In turn, this is a linear space. Moreover, <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> is the complex Hilbert space with the scalar product, <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math>. We consider linear operators acting in <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. They are called ''superoperators.''
+Dénotons par <math display="inline">\mathcal{H}</math> un espace de Hilbert complexe. Pour simplifier, nous supposons qu'il est de dimension finie. Les états purs d'un système <math>S</math> sont donnés par des vecteurs normalisés de <math display="inline">\mathcal{H}</math> et les états mixtes par des opérateurs de densité (opérateurs semi-définis positifs avec trace unitaire). L'espace des opérateurs de densité est noté<math>S</math>(<math display="inline">\mathcal{H}</math>). L'espace de tous les opérateurs linéaires en <math display="inline">\mathcal{H}</math> est désigné par le symbole <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. À son tour, il s'agit d'un espace linéaire. De plus, <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math> est l'espace de Hilbert complexe avec le produit scalaire, <math display="inline"><A|B>=TrA^*B</math>. Nous considérons des opérateurs linéaires agissant en <math display="inline">\mathcal{L}(\mathcal{H})</math>. Ils sont appelés superopérateurs.
-The dynamics of the pure state of an isolated quantum system is described by ''the Schrödinger equation:''
+La dynamique de l'état pur d'un système quantique isolé est décrite par l'équation de Schrödinger :
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+où <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> est l'hamiltonien du système. Cette équation implique que l'état pur <math>\psi(t)</math> évolue unitairement <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math>, où <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> est un groupe paramétrique d'opérateurs unitaires, <math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math>. En physique quantique, l'Hamiltonien <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> est associé à l'énergie observable. La même interprétation est utilisée en biophysique quantique (Arndt et al., 2009<ref>Arndt M., Juffmann T., Vedral V.
+Quantum physics meets biology
-where <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math>  is system’s Hamiltonian. This equation implies that the pure state <math>\psi(t)</math> evolves unitarily <math>\psi(t)= \hat{U}(t)\psi_0</math>, where  <math>\hat{U}(t)=e^{-it\hat{\mathcal H}}</math> is one parametric group of unitary operators,<math>\hat{U}(t):\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}</math> . In quantum physics, Hamiltonian  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> is associated with the energy-observable. The same interpretation is used in quantum biophysics (Arndt et al., 2009). However, in our quantum-like modeling describing information processing in biosystems, the operator  <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> has no direct coupling with physical energy. This is the evolution-generator describing information interactions.
+HFSP J., 3 (6) (2009), pp. 386-400,</ref>). Cependant, dans notre modélisation de type quantique décrivant le traitement de l'information dans les biosystèmes, l'opérateur <math display="inline">\hat{\mathcal{H}}</math> n'a pas de couplage direct avec l'énergie physique. C'est le générateur d'évolution décrivant les interactions d'information.
-Schrödinger’s dynamics for a pure state implies that the dynamics of a mixed state (represented by a density operator) is described by the ''von Neumann equation'':
+La dynamique de Schrödinger pour un état pur implique que la dynamique d'un état mixte (représenté par un opérateur de densité) est décrite par l'équation de ''von Neumann'' :
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