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3. Instruments quantiques

3.1. Quelques mots sur le formalisme quantique

Dénotons par ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ un espace de Hilbert complexe. Pour simplifier, nous supposons qu'il est de dimension finie. Les états purs d'un système $S$ sont donnés par des vecteurs normalisés de ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ et les états mixtes par des opérateurs de densité (opérateurs semi-définis positifs avec trace unitaire). L'espace des opérateurs de densité est noté$S$(${\textstyle {\mathcal {H}}}$). L'espace de tous les opérateurs linéaires en ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ est désigné par le symbole ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. À son tour, il s'agit d'un espace linéaire. De plus, ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$ est l'espace de Hilbert complexe avec le produit scalaire, ${\textstyle <A|B>=TrA^{*}B}$. Nous considérons des opérateurs linéaires agissant en ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Ils sont appelés superopérateurs.

La dynamique de l'état pur d'un système quantique isolé est décrite par l'équation de Schrödinger :

$i{\tfrac {d}{dt}}\psi (t)={\widehat {H}}\psi (t)(t),\psi (0)=\psi _{0}$

$(3)$

où ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ est l'hamiltonien du système. Cette équation implique que l'état pur $\psi (t)$ évolue unitairement $\psi (t)={\hat {U}}(t)\psi _{0}$, où ${\hat {U}}(t)=e^{-it{\hat {\mathcal {H}}}}$ est un groupe paramétrique d'opérateurs unitaires, ${\hat {U}}(t):{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$. En physique quantique, l'Hamiltonien ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ est associé à l'énergie observable. La même interprétation est utilisée en biophysique quantique (Arndt et al., 2009). Cependant, dans notre modélisation de type quantique décrivant le traitement de l'information dans les biosystèmes, l'opérateur ${\textstyle {\hat {\mathcal {H}}}}$ n'a pas de couplage direct avec l'énergie physique. C'est le générateur d'évolution décrivant les interactions d'information.

La dynamique de Schrödinger pour un état pur implique que la dynamique d'un état mixte (représenté par un opérateur de densité) est décrite par l'équation de von Neumann :

${\frac {d{\hat {\rho }}}{dt}}(t)=-i[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {\rho }}(t)],{\hat {\rho }}(0)={\hat {\rho }}_{0}$

$(4)$