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===== In practice =====
===== En pratique =====
These two equations are how we create our quasi-quantum mechanical analogues. The second equation is an extension of Ehrenfest’s theorem, relating the average momenta of a particle to the time derivative of its average position. Where we have assumed a Hamiltonian with only a spatially dependent potential. Note that as the positions are fixed in space (positions of the electrodes) only the probability changes in time. Throughout this paper the mass m has been taking to be unity for both the <math>x</math> and <math>y</math> momenta. Each of the 92 electrodes were projected onto the horizontal plane, thus the <math>j</math>th electrode was described by one unique <math>(x_j,y_j)</math> point.
Ces deux équations sont la façon dont nous créons nos analogues mécaniques quasi-quantiques. La deuxième équation est une extension du théorème d'Ehrenfest, reliant la quantité de mouvement moyenne d'une particule à la dérivée temporelle de sa position moyenne. Où nous avons supposé un hamiltonien avec seulement un potentiel spatialement dépendant. A noter que les positions étant fixes dans l'espace (positions des électrodes) seule la probabilité change dans le temps. Tout au long de cet article, la masse <math>m</math> a été considérée comme égale à l'unité pour les impulsions <math>x</math> et <math>y</math>. Chacune des 92 électrodes a été projetée sur le plan horizontal, ainsi le <math>j</math> ème électrode a été décrite par un seul point <math>(x_j,y_j)</math>.


We first examined this model by grouping the 92 electrodes into eight regions on the scalp: Anterior L/R, Posterior L/R, Parietal L/R, Occipital L/R and the probabilities of each electrode in the region were summed to give a region-level probability. Figure 1A shows the <math>(x_j,y_j)</math> locations of each electrode, with different colours representing each of the eight groups. Figure 1B displays the frequency of entering each region, grouped by the four task conditions and two resting conditions. This reflects the normalized count of regional probabilities integrated in time. We found that each anterior region was entered more frequently while at rest than when subjects were engaged in either movie. Specifically, the anterior left and right regions had significant within stimulus change, with <math>P<0.001</math> (Tukey adjusted) for the ''Taken Rest—Taken, Taken Rest—Taken Scrambled, BYD Rest—BYD and BYD Rest—BYD Scrambled.'' This is in line with Axelrod and colleagues’ findings which showed activation in the frontal region was associated with mind wandering<ref name=":8" /><ref name=":3" />. We found frequency suppression in posterior regions, and an increase in anterior frequency in rest compared to the stimulated conditions, consistent with fMRI studies showing increased activation in the posterior cingulate cortex, and the medial prefrontal cortex during rest <ref name=":2" /><ref name=":3" /><ref name=":4">Wang RWY, Chang WL, Chuang SW, Liu IN. Posterior cingulate cortex can be a regulatory modulator of the default mode network in task-negative state. Sci. Rep. 2019;9:1–12. [PMC free article][PubMed] [Google Scholar]</ref><ref>Uddin LQ, Kelly AMC, Biswal BB, Castellanos FX, Milham MP. Functional connectivity of default mode network components: Correlation, anticorrelation, and causality. Hum. Brain Mapp. 2009;30:625–637. doi: 10.1002/hbm.20531. [PMC free article][PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Stawarczyk D, Majerus S, Maquet P, D’Argembeau A. Neural correlates of ongoing conscious experience: Both task-unrelatedness and stimulus-independence are related to default network activity. PLoS One. 2011;6:e16997. doi: 10.1371/journal.pone.0016997.[PMC free article] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref name=":5">Greicius, M. D., Krasnow, B., Reiss, A. L., Menon, V. & Raichle, M. E. ''Functional Connectivity in the Resting Brain: A Network Analysis of the Default Mode Hypothesis''. www.pnas.org. [PMC free article] [PubMed]</ref>. Thus, suggesting our model captures the frontal tendency associated with the brain activity while at rest.
Nous avons d'abord examiné ce modèle en regroupant les 92 électrodes en huit régions sur le cuir chevelu : Antérieur G/D, Postérieur G/D, Pariétal G/D, Occipital G/D et les probabilités de chaque électrode dans la région ont été additionnées pour donner un probabilité au niveau de la région. La figure 1A montre les emplacements <math>(x_j,y_j)</math> de chaque électrode, avec différentes couleurs représentant chacun des huit groupes. La figure 1B affiche la fréquence d'entrée dans chaque région, regroupée par les quatre conditions de tâche et les deux conditions de repos. Cela reflète le décompte normalisé des probabilités régionales intégrées dans le temps. Nous avons constaté que chaque région antérieure était pénétrée plus fréquemment au repos que lorsque les sujets étaient engagés dans l'un ou l'autre des films. Plus précisément, les régions antérieures gauche et droite présentaient un changement de stimulus significatif, avec <math>P<0.001</math> (ajustement de Tukey) pour Taken Rest—Taken, Taken Rest—Taken Scrambled, BYD Rest—BYD et BYD Rest—BYD Scrambled. Ceci est conforme aux découvertes d'Axelrod et de ses collègues qui ont montré que l'activation dans la région frontale était associée à l'errance mentale.<ref name=":8" /><ref name=":3" />


Nous avons constaté une suppression de la fréquence dans les régions postérieures et une augmentation de la fréquence antérieure au repos par rapport aux conditions stimulées, ce qui est cohérent avec les études IRMf montrant une activation accrue dans le cortex cingulaire postérieur et le cortex préfrontal médial pendant le repos.<ref name=":2" /><ref name=":3" /><ref name=":4">Wang RWY, Chang WL, Chuang SW, Liu IN. Posterior cingulate cortex can be a regulatory modulator of the default mode network in task-negative state. Sci. Rep. 2019;9:1–12. [PMC free article][PubMed] [Google Scholar]</ref><ref>Uddin LQ, Kelly AMC, Biswal BB, Castellanos FX, Milham MP. Functional connectivity of default mode network components: Correlation, anticorrelation, and causality. Hum. Brain Mapp. 2009;30:625–637. doi: 10.1002/hbm.20531. [PMC free article][PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref>Stawarczyk D, Majerus S, Maquet P, D’Argembeau A. Neural correlates of ongoing conscious experience: Both task-unrelatedness and stimulus-independence are related to default network activity. PLoS One. 2011;6:e16997. doi: 10.1371/journal.pone.0016997.[PMC free article] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]</ref><ref name=":5">Greicius, M. D., Krasnow, B., Reiss, A. L., Menon, V. & Raichle, M. E. ''Functional Connectivity in the Resting Brain: A Network Analysis of the Default Mode Hypothesis''. www.pnas.org. [PMC free article] [PubMed]</ref>


[[File:Figure 1.jpeg|thumb|<small>'''Figure 1:'''</small> <small>('''A''') Electrode locations for each of the 92 electrodes on the Electrical Geodesics Inc. headcap. Electrodes were projected onto a horizontal plane with the nose in the positive y direction. Electrodes have been colour-coded to display the constituent parts of the 8 groups for the frequency analysis, namely, occipital left (blue)/right (orange), parietal left (green)/right (red), posterior left (purple)/right (brown) and anterior left (pink)/right (grey). ('''B''') Histograms representing the frequency of entering each region ''fG'' are displayed for the six conditions tested. Significant within stimulus change is present between each of the Anterior Left and Right regions when comparing the pre-stimulus rest and the respective stimulated condition (''P'' < 0.001, Tukey adjusted.). Error bars display the 1 standard deviation confidence interval.</small>|alt=|center|500x500px]]
Ainsi, suggérant que notre modèle capture la tendance frontale associée à l'activité cérébrale au repos.


===== Phase space =====
We also explored the average-valued phase space of this system. The phase space for each subject was plotted as the average position and momentum along the <math>x</math> direction  <math>(\langle x(t)\rangle,\langle p_x(t)\rangle)</math> or as the average position and momentum along the <math>x</math> direction  <math>(\langle y(t)\rangle,\langle p_y(t)\rangle)</math>. Figure 2 shows the centroids of the phase space scatter plots for each subject with an ellipse representing the one standard deviation confidence interval. Note that values are only reported for the intact stimuli as an analysis of variance shows the scrambled and intact movies are indistinguishable in phase space (P<math>P<0.85</math>, Tukey adjusted). Figure 2A and B show the projection of the phase space centroid onto the plane spanned by  <math>x</math> and <math>p_x</math> for “''Bang! You’re Dead''” and “''Taken''” respectively, and Fig. 2C and D (<math>y,p_y</math>) plane. The average position along the <math>y</math> axis <math>(\langle y\rangle)</math> for the intact stimulus (“BYD” and “Taken”) and their scrambled forms are significantly different from the pre-stimulus rest counterparts with <math>P<0.001</math> (Tukey adjusted) whereas the task-positive and resting centroids are indistinguishable in the <math>x</math> plane (<math>P<0.05</math>, Tukey adjusted). The averages of the group are reported in Table ​Table11 along with their standard deviations. These values are the averaged value of the centroids (average of the within stimuli centre points in Fig. 2) for the respective position/momenta within each stimulus level. As also seen in Fig. 2C and D, there is a striking difference of one order of magnitude for  <math>\langle y\rangle</math> between the resting and task conditions, yet no marked differences in <math>x</math>,<math>\langle p_x\rangle</math> , or <math>\langle p_y\rangle</math>.




[[File:Figure 2.jpeg|thumb|<small>'''Figure 2:''' Mean phase space centroids for each subject. Ellipses represent the 1 standard deviation confidence interval. Centroids for the scrambled stimuli were omitted as they are indistinguishable from intact stimuli (''P'' > 0.85) ('''A''') Centroids for ''“Bang! You’re Dead”'' along the x direction. ('''B''') Centroids for ''“Taken”'' along the x direction. ('''C''') Centroids for ''“Bang! You’re Dead”'' along the y direction. ('''D''') Centroids for ''“Taken”'' along the y direction. Differences are only apparent in the y direction (''P'' < 0.001, Tukey adjusted) indicative of the higher level of anterior activation as noted in Fig. 1.</small>|alt=|center|500x500px]]
[[File:Figure 1.jpeg|thumb|'''Figure 1 : (A)''' Emplacements des électrodes pour chacune des 92 électrodes sur le capuchon de tête de Electrical Geodesics Inc. Les électrodes ont été projetées sur un plan horizontal avec le nez dans la direction y positive. Les électrodes ont été codées par couleur pour afficher les éléments constitutifs des 8 groupes pour l'analyse de fréquence, à savoir, occipital gauche (bleu)/droit (orange), pariétal gauche (vert)/droit (rouge), postérieur gauche (violet)/ droite (marron) et antérieure gauche (rose)/droite (gris). '''(B)''' Des histogrammes représentant la fréquence d'entrée dans chaque région fG sont affichés pour les six conditions testées. Un changement significatif dans le stimulus est présent entre chacune des régions antérieures gauche et droite lors de la comparaison du repos pré-stimulus et de l'état stimulé respectif (P < 0,001, Tukey ajusté.). Les barres d'erreur affichent l'intervalle de confiance de 1 écart type.|alt=|center|500x500px]]
 
===== Espace des phases =====
Nous avons également exploré l'espace des phases de valeur moyenne de ce système. L'espace de phase pour chaque sujet a été tracé comme la position et l'impulsion moyennes le long de la direction <math>x</math>, <math>(\langle x(t)\rangle,\langle p_x(t)\rangle)</math>ou comme la position et l'impulsion moyennes le long de la direction <math>x</math>, <math>(\langle y(t)\rangle,\langle p_y(t)\rangle)</math>. La figure 2 montre les centroïdes des diagrammes de dispersion de l'espace de phase pour chaque sujet avec une ellipse représentant l'intervalle de confiance à un écart-type. Notez que les valeurs ne sont rapportées que pour les stimuli intacts car une analyse de la variance montre que les films brouillés et intacts ne se distinguent pas dans l'espace des phases (<math>P<0.85</math>, Tukey ajusté).
 
Les figures 2A et B montrent la projection du centroïde de l'espace des phases sur le plan enjambé par <math>x</math> et <math>p_x</math> pour "Bang ! You're Dead » et « Taken » respectivement, et le plan Fig. 2C et D (<math>y,p_y</math>). La position moyenne le long de l'axe <math>y</math>, <math>(\langle y\rangle)</math> pour le stimulus intact (« BYD » et « Prise ») et leurs formes brouillées sont significativement différentes des homologues de repos pré-stimulus avec <math>P<0.001</math> (ajustement de Tukey) alors que les centroïdes positifs à la tâche et au repos sont indiscernable dans le plan <math>x</math> ( <math>P<0.05</math>, Tukey ajusté).
 
Les moyennes du groupe sont rapportées dans le tableau 11 avec leurs écarts-types. Ces valeurs sont la valeur moyenne des centroïdes (moyenne des points centraux des stimuli sur la figure 2) pour la position/le moment respectif dans chaque niveau de stimulus. Comme on le voit également sur les figures 2C et D, il existe une différence frappante d'un ordre de grandeur pour <math>\langle y\rangle</math> entre les conditions de repos et de tâche, mais aucune différence marquée <math>x</math>, <math>\langle p_x\rangle</math>dans <math>\langle p_y\rangle</math>.
 
 
 
 
 
[[File:Figure 2.jpeg|thumb|'''Figure 2 :''' Centroïdes moyens de l'espace de phase pour chaque sujet. Les ellipses représentent l'intervalle de confiance à 1 écart type. Les centroïdes des stimuli brouillés ont été omis car ils ne peuvent pas être distingués des stimuli intacts (P > 0,85) '''(A)''' Centroïdes pour "Bang ! Tu es mort » le long de la direction x. '''(B)''' Centroïdes pour "Prise" le long de la direction x. '''(C)''' Centroïdes pour "Bang ! Tu es mort » dans la direction y. '''(D)''' Centroïdes pour "Prise" le long de la direction y. Les différences ne sont apparentes que dans la direction y (P < 0,001, ajusté de Tukey) indiquant le niveau plus élevé d'activation antérieure comme indiqué sur la Fig. 1.|alt=|center|500x500px]]

Latest revision as of 10:42, 26 March 2023

En pratique

Ces deux équations sont la façon dont nous créons nos analogues mécaniques quasi-quantiques. La deuxième équation est une extension du théorème d'Ehrenfest, reliant la quantité de mouvement moyenne d'une particule à la dérivée temporelle de sa position moyenne. Où nous avons supposé un hamiltonien avec seulement un potentiel spatialement dépendant. A noter que les positions étant fixes dans l'espace (positions des électrodes) seule la probabilité change dans le temps. Tout au long de cet article, la masse a été considérée comme égale à l'unité pour les impulsions et . Chacune des 92 électrodes a été projetée sur le plan horizontal, ainsi le ème électrode a été décrite par un seul point .

Nous avons d'abord examiné ce modèle en regroupant les 92 électrodes en huit régions sur le cuir chevelu : Antérieur G/D, Postérieur G/D, Pariétal G/D, Occipital G/D et les probabilités de chaque électrode dans la région ont été additionnées pour donner un probabilité au niveau de la région. La figure 1A montre les emplacements de chaque électrode, avec différentes couleurs représentant chacun des huit groupes. La figure 1B affiche la fréquence d'entrée dans chaque région, regroupée par les quatre conditions de tâche et les deux conditions de repos. Cela reflète le décompte normalisé des probabilités régionales intégrées dans le temps. Nous avons constaté que chaque région antérieure était pénétrée plus fréquemment au repos que lorsque les sujets étaient engagés dans l'un ou l'autre des films. Plus précisément, les régions antérieures gauche et droite présentaient un changement de stimulus significatif, avec (ajustement de Tukey) pour Taken Rest—Taken, Taken Rest—Taken Scrambled, BYD Rest—BYD et BYD Rest—BYD Scrambled. Ceci est conforme aux découvertes d'Axelrod et de ses collègues qui ont montré que l'activation dans la région frontale était associée à l'errance mentale.[1][2]

Nous avons constaté une suppression de la fréquence dans les régions postérieures et une augmentation de la fréquence antérieure au repos par rapport aux conditions stimulées, ce qui est cohérent avec les études IRMf montrant une activation accrue dans le cortex cingulaire postérieur et le cortex préfrontal médial pendant le repos.[3][2][4][5][6][7]

Ainsi, suggérant que notre modèle capture la tendance frontale associée à l'activité cérébrale au repos.


Figure 1 : (A) Emplacements des électrodes pour chacune des 92 électrodes sur le capuchon de tête de Electrical Geodesics Inc. Les électrodes ont été projetées sur un plan horizontal avec le nez dans la direction y positive. Les électrodes ont été codées par couleur pour afficher les éléments constitutifs des 8 groupes pour l'analyse de fréquence, à savoir, occipital gauche (bleu)/droit (orange), pariétal gauche (vert)/droit (rouge), postérieur gauche (violet)/ droite (marron) et antérieure gauche (rose)/droite (gris). (B) Des histogrammes représentant la fréquence d'entrée dans chaque région fG sont affichés pour les six conditions testées. Un changement significatif dans le stimulus est présent entre chacune des régions antérieures gauche et droite lors de la comparaison du repos pré-stimulus et de l'état stimulé respectif (P < 0,001, Tukey ajusté.). Les barres d'erreur affichent l'intervalle de confiance de 1 écart type.
Espace des phases

Nous avons également exploré l'espace des phases de valeur moyenne de ce système. L'espace de phase pour chaque sujet a été tracé comme la position et l'impulsion moyennes le long de la direction , ou comme la position et l'impulsion moyennes le long de la direction , . La figure 2 montre les centroïdes des diagrammes de dispersion de l'espace de phase pour chaque sujet avec une ellipse représentant l'intervalle de confiance à un écart-type. Notez que les valeurs ne sont rapportées que pour les stimuli intacts car une analyse de la variance montre que les films brouillés et intacts ne se distinguent pas dans l'espace des phases (, Tukey ajusté).

Les figures 2A et B montrent la projection du centroïde de l'espace des phases sur le plan enjambé par et pour "Bang ! You're Dead » et « Taken » respectivement, et le plan Fig. 2C et D (). La position moyenne le long de l'axe , pour le stimulus intact (« BYD » et « Prise ») et leurs formes brouillées sont significativement différentes des homologues de repos pré-stimulus avec (ajustement de Tukey) alors que les centroïdes positifs à la tâche et au repos sont indiscernable dans le plan ( , Tukey ajusté).

Les moyennes du groupe sont rapportées dans le tableau 11 avec leurs écarts-types. Ces valeurs sont la valeur moyenne des centroïdes (moyenne des points centraux des stimuli sur la figure 2) pour la position/le moment respectif dans chaque niveau de stimulus. Comme on le voit également sur les figures 2C et D, il existe une différence frappante d'un ordre de grandeur pour entre les conditions de repos et de tâche, mais aucune différence marquée , dans .



Figure 2 : Centroïdes moyens de l'espace de phase pour chaque sujet. Les ellipses représentent l'intervalle de confiance à 1 écart type. Les centroïdes des stimuli brouillés ont été omis car ils ne peuvent pas être distingués des stimuli intacts (P > 0,85) (A) Centroïdes pour "Bang ! Tu es mort » le long de la direction x. (B) Centroïdes pour "Prise" le long de la direction x. (C) Centroïdes pour "Bang ! Tu es mort » dans la direction y. (D) Centroïdes pour "Prise" le long de la direction y. Les différences ne sont apparentes que dans la direction y (P < 0,001, ajusté de Tukey) indiquant le niveau plus élevé d'activation antérieure comme indiqué sur la Fig. 1.
  1. ↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :8
  2. ↑ 2.0 2.1 Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :3
  3. ↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named :2
  4. ↑ Wang RWY, Chang WL, Chuang SW, Liu IN. Posterior cingulate cortex can be a regulatory modulator of the default mode network in task-negative state. Sci. Rep. 2019;9:1–12. [PMC free article][PubMed] [Google Scholar]
  5. ↑ Uddin LQ, Kelly AMC, Biswal BB, Castellanos FX, Milham MP. Functional connectivity of default mode network components: Correlation, anticorrelation, and causality. Hum. Brain Mapp. 2009;30:625–637. doi: 10.1002/hbm.20531. [PMC free article][PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
  6. ↑ Stawarczyk D, Majerus S, Maquet P, D’Argembeau A. Neural correlates of ongoing conscious experience: Both task-unrelatedness and stimulus-independence are related to default network activity. PLoS One. 2011;6:e16997. doi: 10.1371/journal.pone.0016997.[PMC free article] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]
  7. ↑ Greicius, M. D., Krasnow, B., Reiss, A. L., Menon, V. & Raichle, M. E. Functional Connectivity in the Resting Brain: A Network Analysis of the Default Mode Hypothesis. www.pnas.org. [PMC free article] [PubMed]
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