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Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$

Scegliamo - come formalismo - di rappresentare un insieme sfocato con la 'tilde': ${\tilde {A}}$ . Un insieme fuzzy è un insieme in cui gli elementi hanno un 'grado' di appartenenza (coerente con la logica fuzzy): alcuni possono essere inclusi nell'insieme al 100%, altri in percentuali inferiori.

A rappresentare matematicamente questo grado di appartenenza è la funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ chiamata 'Funzione di appartenenza'. La funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ è una funzione continua definita nell'intervallo $[0;1]$ dove:

$\mu _{\tilde {A}}(x)=1\rightarrow$ se $x$ è totalmente contenuta in $A$ (questi punti sono chiamati 'nucleus', essi indicano i valori plausibili del predicato ).
$\mu _{\tilde {A}}(x)=0\rightarrow$ se $x$ non è contenuto in $A$
$0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1\;\rightarrow$ se $x$ è parzialmente contenuto in $A$ (questi punti sono chiamati 'Support' ed indicano i valori possibili del predicato possible predicate values).

La rappresentazione grafica della funzione $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$ può essere variato; da quelli con linee lineari (triangolari, trapezoidali) a quelli a forma di campana o 'S' (sigmoidale) come rappresentato in Figura 1, che racchiude l'intero concetto grafico della funzione di appartenenza.^[1]^[2]

Figure 1: Types of graphs for the membership function.

Il support set di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ ; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$

Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti possibili, mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più plausibili.

Se ${A}$ rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori $1$ o $0$ , $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1\;\lor \;\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.^[3]

Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:

Figure 2: Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.

Figura 2: Immaginiamo l'Universo della Scienza $U$ in cui ci sono due mondi o contesti paralleli ${A}$ e ${\tilde {A}}$

${A}=$ Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto $KB$ con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato $KB_{c}$

${\tilde {A}}=$ In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme ${A}$ in ${\tilde {A}}$ tanto da poter dire: unione tra i contesti $KB_{c}$

Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:

Logica classica nel contesto odontoiatrico ${A}$ in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=1$ , ovvero $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ essendo l'intervallo di dati $D=\{\delta _{1},\dots ,\delta _{4}\}$ ridotto alle conoscenze di base $KB$ nell'insieme ${A}$ Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente $\mu _{\displaystyle {A}}(x)=0$ e che è sinonimo di un alto range di:

«Errore nella diagnosi differenziale»

Logica fuzzy in un contesto odontoiatrico ${\tilde {A}}$ in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base $KB$ del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ avranno la prerogativa di restituire un risultato $\mu _{\tilde {A}}(x)=1$ e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di $0<\mu _{\tilde {A}}(x)<1$ contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una
«Riduzione dell'errore diagnostico differenziale»

↑ Zhang W, Yang J, Fang Y, Chen H, Mao Y, Kumar M, «Analytical fuzzy approach to biological data analysis», in Saudi J Biol Sci, 2017».
PMID:28386181 - PMCID:PMC5372457
DOI:10.1016/j.sjbs.2017.01.027
↑ Lazar P, Jayapathy R, Torrents-Barrena J, Mol B, Mohanalin, Puig D, «Fuzzy-entropy threshold based on a complex wavelet denoising technique to diagnose Alzheimer disease», in Healthc Technol Lett, The Institution of Engineering and Technology, 2016».
PMID:30800318 - PMCID:PMC6371778
DOI:10.1049/htl.2016.0022
↑ •SMUTS J.C. 1926, Holism and Evolution, London: Macmillan.

[1] Zhang W, Yang J, Fang Y, Chen H, Mao Y, Kumar M, «Analytical fuzzy approach to biological data analysis», in Saudi J Biol Sci, 2017».
PMID:28386181 - PMCID:PMC5372457
DOI:10.1016/j.sjbs.2017.01.027

[2] Lazar P, Jayapathy R, Torrents-Barrena J, Mol B, Mohanalin, Puig D, «Fuzzy-entropy threshold based on a complex wavelet denoising technique to diagnose Alzheimer disease», in Healthc Technol Lett, The Institution of Engineering and Technology, 2016».
PMID:30800318 - PMCID:PMC6371778
DOI:10.1049/htl.2016.0022

[:0-3] •SMUTS J.C. 1926, Holism and Evolution, London: Macmillan.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-==Fuzzy set <math>\tilde{A}</math> and membership function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math>==
+==Insieme sfocato <math>\tilde{A}</math> e funzione di appartenenza <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math>==
-We choose - as a formalism - to represent a fuzzy set with the 'tilde':<math>\tilde{A}</math>. A fuzzy set is a set where the elements have a 'degree' of belonging (consistent with fuzzy logic): some can be included in the set at 100%, others in lower percentages.
+Scegliamo - come formalismo - di rappresentare un insieme sfocato con la 'tilde':<math>\tilde{A}</math>. Un insieme fuzzy è un insieme in cui gli elementi hanno un 'grado' di appartenenza (coerente con la logica fuzzy): alcuni possono essere inclusi nell'insieme al 100%, altri in percentuali inferiori.
-To mathematically represent this degree of belonging is the function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> called ''''Membership Function''''. The function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> is a continuous function defined in the interval <math>[0;1]</math>where it is:
-*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1\rightarrow </math> if <math>x</math> is totally contained in <math>A</math> (these points are called 'nucleus', they indicate <u>plausible</u> predicate values).
+A rappresentare matematicamente questo grado di appartenenza è la funzione <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> chiamata ''''Funzione di appartenenza'''<nowiki/>'. La funzione <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> è una funzione continua definita nell'intervallo <math>[0;1]</math> dove:
-*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 0\rightarrow </math> if <math>x</math> is not contained in <math>A</math>
-*<math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1 \;\rightarrow </math> if <math>x</math> is partially contained in <math>A</math> (these points are called 'support', they indicate the <u>possible</u> predicate values).
-The graphical representation of the function <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> can be varied; from those with linear lines (triangular, trapezoidal) to those in the shape of bells or 'S' (sigmoidal) as depicted in Figure 1, which contains the whole graphic concept of the function of belonging.<ref>{{Cite book
+*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1\rightarrow </math> se <math>x</math> è totalmente contenuta in <math>A</math> (questi punti sono chiamati 'nucleus', essi indicano i valori ''plausibili'' del predicato ).
+*<math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 0\rightarrow </math> se <math>x</math> non è contenuto in <math>A</math>
+*<math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1 \;\rightarrow </math> se <math>x</math> è parzialmente contenuto in <math>A</math> (questi punti sono chiamati 'Support' ed indicano i valori possibili del predicato <u>possible</u> predicate values).
+La rappresentazione grafica della funzione <math>\mu_{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)</math> può essere variato; da quelli con linee lineari (triangolari, trapezoidali) a quelli a forma di campana o 'S' (sigmoidale) come rappresentato in Figura 1, che racchiude l'intero concetto grafico della funzione di appartenenza.<ref>{{Cite book
   | autore = Zhang W
   | autore2 = Yang J
@@ Line 53: / Line 54: @@
 [[File:Fuzzy_crisp.svg|alt=|left|thumb|400px|'''Figure 1:''' Types of graphs for the membership function.]]
-The '''support set''' of a fuzzy set is defined as the zone in which the degree of membership results <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math>; <!--131-->on the other hand, the '''core''' is defined as the area in which the degree of belonging assumes value <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math>
+Il '''support set''' di un insieme fuzzy è definito come la zona in cui il grado di appartenenza risulta <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math>; il nucleo o core è invece definito come l'area in cui il grado di appartenenza assume valore <math>\mu_ {\tilde {A}}(x) = 1</math>
+Il 'Support set' rappresenta i valori del predicato ritenuti '''possibili''', mentre il 'core' rappresenta quelli ritenuti più '''plausibili'''.
-The 'Support set' represents the values of the predicate deemed '''possible''', while the 'core' represents those deemed more '''plausible'''.
+Se <math>{A}</math> rappresentasse un insieme nel senso ordinario del termine o nella logica del linguaggio classico precedentemente descritto, la sua funzione di appartenenza potrebbe assumere solo i valori <math>1</math> o <math>0</math>, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> a seconda che l'elemento 0 appartenga o meno al tutto, come considerato. La figura 2 mostra una rappresentazione grafica del concetto nitido (rigidamente definito) o sfocato di appartenenza, che richiama chiaramente le considerazioni di Smuts.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
-If <math>{A}</math> <!--134-->represented a set in the ordinary sense of the term or classical language logic previously described, its membership function could assume only the values <math>1</math> <!--135-->or <math>0</math>, <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 \; \lor \;\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0</math> <!--136-->depending on whether the element <math>x</math> <!--137-->belongs to the whole or not, as considered. <!--138-->Figure 2 shows a graphic representation of the crisp (rigidly defined) or fuzzy concept of membership, which clearly recalls Smuts's considerations.<ref name=":0">•SMUTS J.C. 1926, [[wikipedia:Holism_and_Evolution|<!--139-->Holism and Evolution]], London: Macmillan.</ref>
+Torniamo al caso specifico della nostra Mary Poppins, in cui vediamo una discrepanza tra le affermazioni del dentista e del neurologo e cerchiamo un confronto tra logica classica e logica fuzzy:
-Let us go back to the specific case of our Mary Poppins, in which we see a discrepancy between the assertions of the dentist and the neurologist and we look for a comparison between classical logic and fuzzy logic:
 [[File:Fuzzy1.jpg|thumb|400x400px|'''<!--141-->Figure 2:''' <!--142-->Representation of the comparison between a classical and fuzzy ensemble.]]
-'''Figure 2:''' Let us imagine the Science Universe <math>U</math> <!--145-->in which there are two parallel worlds or contexts, <math>{A}</math> <!--146-->and <math>\tilde{A}</math>.
+'''Figura 2''': Immaginiamo l'Universo della Scienza <math>U</math> in cui ci sono due mondi o contesti paralleli <math>{A}</math> e <math>\tilde{A}</math>
-<math>{A}=</math>  In the scientific context, the so-called ‘crisp’, and we have converted into ''the logic'' of ''Classic Language'', in which the physician has an absolute scientific background information <math>KB</math>  <!--148-->with a clear dividing line that we have named <math>KB_c</math>.
+<math>{A}=</math> Nel contesto scientifico, il cosiddetto 'ben definito', della logica del linguaggio classico, in cui il medico ha un background scientifico assoluto <math>KB</math> con una chiara linea di demarcazione che abbiamo chiamato <math>KB_c</math>
-<math>\tilde{A}=</math> In another scientific context called  ‘fuzzy logic’, and in which there is a union between the subset <math>{A}</math> <!--150-->in <math>\tilde{A}</math> <!--151-->that we can go so far as to say: union between <math>KB_c</math>.
-We will remarkably notice the following deductions:
+<math>\tilde{A}=</math> In un altro contesto scientifico chiamato 'logica fuzzy', in cui esiste un'unione tra il sottoinsieme <math>{A}</math> in <math>\tilde{A}</math> tanto da poter dire: unione tra i contesti <math>KB_c</math>
-*'''Classical Logic''' in the Dental Context <math>{A}</math> in which only a logical process that gives as results <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math> will be possible, or <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> being the range of data <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math> reduced to basic knowledge <math>KB</math> in the set <math>{A}</math>. This means that outside the dental world there is a void and that term of set theory is written precisely <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> and which is synonymous with a high range of:
+Noteremo notevolmente le seguenti deduzionii:
-{{q2|Differential diagnostic error|}}
+* '''Logica classica''' nel contesto odontoiatrico <math>{A}</math> in cui sarà possibile solo un processo logico che dia come risultato <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 1 </math>, ovvero <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> essendo l'intervallo di dati <math>D=\{\delta_1,\dots,\delta_4\}</math> ridotto alle conoscenze di base <math>KB</math> nell'insieme <math>{A}</math> Ciò significa che al di fuori del mondo odontoiatrico c'è un vuoto e che il termine di teoria degli insiemi è scritto esattamente <math>\mu_{\displaystyle {{A}}}(x)= 0 </math> e che è sinonimo di un alto range di:
+{{q2|Errore nella diagnosi differenziale|}}
-*'''Fuzzy logic''' in a dental context <math>\tilde{A}</math> in which they are represented beyond the basic knowledge <math>KB</math> of the dental context also those partially acquired from the neurophysiological world <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> will have the prerogative to return a result <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
+*'''Logica fuzzy''' in un contesto odontoiatrico <math>\tilde{A}</math> in cui sono rappresentati oltre le conoscenze di base <math>KB</math> del contesto odontoiatrico anche quelli parzialmente acquisiti dal mondo neurofisiologico <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> avranno la prerogativa di restituire un risultato <math>\mu_\tilde{A}(x)= 1
-  </math> and a result <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> because of basic knowledge <math>KB</math> which at this point is represented by the union of <math>KB_c</math> dental and neurological contexts. The result of this scientific-clinical implementation of dentistry would allow a {{q2|Reduction of differential diagnostic error|}}
+  </math> e un risultato 0 per via delle conoscenze di base 0 che a questo punto è rappresentato dall'unione di <math>0<\mu_ {\tilde {A}}(x) < 1</math> contesti odontoiatrici e neurologici. Il risultato di questa implementazione scientifico-clinica dell'odontoiatria consentirebbe una {{q2|Riduzione dell'errore diagnostico differenziale|}}

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Insieme sfocato A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} e funzione di appartenenza μ A ~ ( x ) {\displaystyle \mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)}

Insieme sfocato ${\tilde {A}}$ e funzione di appartenenza $\mu _{\displaystyle {\tilde {A}}}(x)$