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3.2. Formalismo di Von Neumann per osservabili quantistici

Nel formalismo quantistico originale (Von Neumann, 1955), l'osservabile fisico $A$ è rappresentato da un operatore hermitiano ${\hat {A}}$. Consideriamo solo operatori con spettri discreti: ${\hat {A}}=\sum _{x}x{\hat {E}}^{A}(x)$ dove ${\hat {E}}^{A}(x)$ è il proiettore sul sottospazio di ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ corrispondente all'autovalore ${\textstyle x}$. Supponiamo che lo stato del sistema sia rappresentato matematicamente da un operatore di densità ${\textstyle \rho }$. Allora la probabilità di ottenere la risposta ${\textstyle x}$ è data dalla regola di Born

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho ]=Tr[{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)]}$

$(5)$

e secondo il postulato della proiezione lo stato post-misurazione si ottiene tramite la trasformazione di stato:

${\textstyle \rho \rightarrow \rho _{x}={\frac {{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}{Tr{\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}}}$

$(6)$

Per comodità del lettore, presentiamo queste formule per un puro stato iniziale ${\textstyle \psi \in {\mathcal {H}}}$. La regola di Born ha la forma:

${\textstyle Pr\{A=x||\rho \}=||{\widehat {E}}^{A}(x)\psi ||^{2}=<\psi \mid {\widehat {E}}^{A}(x)\psi >}$

$(7)$

La trasformazione di stato è data dal postulato della proiezione:

${\textstyle \psi \rightarrow \psi _{x}={\widehat {E}}^{A}(x)\psi /\parallel {\widehat {E}}^{A}(x)\psi \parallel }$

$(8)$

Qui l'operatore osservabile ${\hat {A}}$ (la sua decomposizione spettrale) determina in modo univoco le trasformazioni dello stato di feedback ${\textstyle {\mathcal {\Im }}_{A}(x)}$ per i risultati ${\textstyle x}$

${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)\rho ={\widehat {E}}^{A}(x)\rho {\widehat {E}}^{A}(x)}$

$(9)$

La mappa ${\textstyle \rho \rightarrow \Im _{A}(x)}$ data dalla (9) è l'esempio più semplice (ma molto importante) di strumento quantistico.