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3.4. Allgemeine Theorie (Davies–Lewis–Ozawa)

Schließlich formulieren wir den allgemeinen Begriff des Quanteninstruments. Ein Superoperator, der eingreift ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$heißt positiv, wenn es die Menge der positiven semidefiniten Operatoren in sich selbst abbildet. Wir bemerken das für jeden $x,\Im _{A}(x)$ gegeben durch (13) kann als lineare positive Abbildung betrachtet werden.

Im Allgemeinen jede Karte$x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , wo für jeden $x$, die Karte $\Im _{A}(x)$ein positiver Superoperator ist, wird Davies-Lewis-Quanteninstrument (Davies und Lewis, 1970) genannt.

Hier Index ${\textstyle A}$  bezeichnet die an dieses Instrument gekoppelte Observable. Die Wahrscheinlichkeiten von ${\textstyle A}$-Ergebnisse sind durch die Bornsche Regel in Form (15) und die Zustandsaktualisierung durch Transformation (14) gegeben. Yuen (1987) wies jedoch darauf hin, dass die Klasse der Davies-Lewis-Instrumente zu allgemein ist, um physikalisch nicht realisierbare Instrumente auszuschließen. Ozawa (1984) führte die wichtige zusätzliche Bedingung ein, um sicherzustellen, dass jedes Quanteninstrument physikalisch realisierbar ist. Dies ist die Bedingung vollständiger Positivität.

Ein Superoperator heißt vollständig positiv, wenn seine natürliche Erweiterung ${\textstyle \jmath \otimes I}$ zum Tensorprodukt ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})={\mathcal {L}}({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})}$ liegt wieder ein positiver Superoperator an ${\textstyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\otimes {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$. Eine Karte $x\rightarrow \Im _{A}(x)$ , wo für jeden ${\textstyle x}$, die Karte $\Im _{A}(x)$ein vollständig positiver Superoperator ist, heißt Davies-Lewis-Ozawa (Davies und Lewis, 1970, Ozawa, 1984) Quanteninstrument oder einfach Quanteninstrument. Wie wir in Abschnitt 4 sehen werden, ist vollständige Positivität eine hinreichende Bedingung dafür, dass ein Instrument physikalisch realisierbar ist. Andererseits wird die Notwendigkeit wie folgt hergeleitet (Ozawa, 2004).

Alles beobachtbar ${\textstyle A}$ eines Systems ${\textstyle S}$ wird mit dem Beobachtbaren identifiziert ${\textstyle A\otimes I}$ eines Systems ${\textstyle S+S'}$ mit jedem System ${\textstyle S'}$extern zu${\textstyle S}$ .10

Dann jedes physikalisch realisierbare Instrument $\Im _{A}$ messung ${\textstyle A}$ sollte mit dem Instrument identifiziert werden ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}}$ messung ${\textstyle A{\otimes }I}$ so dass ${\textstyle \Im _{A}{_{\otimes }}_{I}(x)=\Im _{A}(x)\otimes I}$. Dies impliziert das ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ ist wieder ein positiver Superoperator, so dass $\Im _{A}(x)$ ist absolut positiv.

Ebenso jedes physikalisch realisierbare Instrument $\Im _{A}(x)$ Messsystem ${\textstyle S}$ sollte sein erweitertes Instrument haben ${\textstyle \Im _{A}(x)\otimes I}$ Messsystem ${\textstyle S+S'}$für jedes externe System${\textstyle S'}$. Dies ist nur dann erfüllt, wenn  $\Im _{A}(x)$ist absolut positiv. Daher ist vollständige Positivität eine notwendige Bedingung für $\Im _{A}$ ein physikalisch realisierbares Instrument zu beschreiben.