Store:QLMde04

2. Klassische versus Quantenwahrscheinlichkeit

CP wurde von Kolmogorov (1933) mathematisch formalisiert. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei der ein nicht negatives Gewicht

$p(A)$ ist jedem Ereignis zugeordnet $A$ . Die Haupteigenschaft von CP ist seine Additivität: wenn zwei Ereignisse $O_{1},O_{2}$ disjunkt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Disjunktion dieser Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten:

$P(O_{1}\lor O_{2})=P(O_{1})+(O_{2})$

QP ist das Kalkül komplexer Amplituden oder im abstrakten Formalismus komplexer Vektoren. Anstelle von Operationen auf Wahrscheinlichkeitsmaßen wird also mit Vektoren operiert. Wir können sagen, dass QP ein Vektormodell des probabilistischen Denkens ist. Jede komplexe Amplitude $\psi$ gibt die Wahrscheinlichkeit nach der Bornschen Regel an: Die Wahrscheinlichkeit erhält man als Quadrat des Betrags der komplexen Amplitude.

${\displaystyle P=|\psi |^{2}}$

(zur Formalisierung des Hilbert-Raums siehe Abschnitt 3.2, Formel (7)). Durch das Arbeiten mit komplexen Wahrscheinlichkeitsamplituden anstelle des direkten Arbeitens mit Wahrscheinlichkeiten kann man die Grundgesetze von CP verletzen.

In CP wird die Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit (FTP) unter Verwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit und der Bayes-Formel, der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, abgeleitet, $P(O_{2}|O_{1})={\tfrac {P(O_{2})\cap (O_{1})}{PO_{1}}}$, $P(O_{1})>0$

Betrachten Sie das Paar,  und , diskreter klassischer Zufallsvariablen. Dann

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )$

Thus, in CP the -probability distribution can be calculated from the -probability and the conditional probabilities

So ist in CP die $B$-Wahrscheinlichkeitsverteilung kann aus der berechnet werden $A$-Wahrscheinlichkeit und die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(B=\beta |A=\alpha )$

In QP, classical FTP is perturbed by the interference term (Khrennikov, 2010); for dichotomous quantum observables  and  of the von Neumann-type, i.e., given by Hermitian operators  and , the quantum version of FTP has the form:

Bei QP wird klassisches FTP durch den Interferenzterm gestört (Khrennikov, 2010); für dichotome Quantenobservablen $A$ Und $B$ vom von-Neumann-Typ, d.h. gegeben durch hermitesche Operatoren ${\hat {A}}$ Und ${\hat {B}}$ , hat die Quantenversion von FTP die Form:

$P(B=\beta )=\sum _{\alpha }P(A=\alpha )P(B=\beta |A=\alpha )+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(1)$

$+2\sum _{\alpha _{1}<\alpha _{2}}\cos \theta _{\alpha _{1}\alpha _{2}}{\sqrt {P(A=\alpha _{1})P(B=\beta |A=\alpha _{1})}}P(A=\alpha _{2})P(B=\beta |a=\alpha _{2})$

$(2)$

Wenn der Interferenzterm7 positiv ist, dann würde der QP-Kalkül eine Wahrscheinlichkeit erzeugen, die größer ist als sein CP-Gegenstück, das durch die klassische FTP gegeben ist (2). Insbesondere diese Wahrscheinlichkeitsverstärkung ist die Grundlage der Vormachtstellung des Quantencomputings.

Es gibt eine Fülle statistischer Daten aus der kognitiven Psychologie, Entscheidungsfindung, Molekularbiologie, Genetik und Epigenetik, die zeigen, dass Biosysteme, von Proteinen und Zellen (Asano et al., 2015b) bis hin zum Menschen (Khrennikov, 2010, Busemeyer und Bruza, 2012) nutzen diese Verstärkung und arbeiten mit Nicht-CP-Updates. Wir setzen unsere Präsentation mit solchen Beispielen fort. \