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== Introduzione ==
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Nel capitolo precedente, '[[Transverse Hinge Axis]]', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare concentrandoci sul piano sagittale. Durante i movimenti di protrusione e retrusione, la mandibola non si muove esclusivamente lungo l'asse <math>X</math>, ma ruota attorno al centro dell'asse <math>Y</math>. Questo movimento condilare si manifesta anteriormente, dove l'incisivo mandibolare segue traiettorie curvilinee inverse, risultato di un complesso moto spaziale generato dalla rototraslazione sugli assi condilari. Lo spazio angolare risultante, noto come 'Spazio libero Interincisivo', è essenziale per consentire movimenti masticatori fluidi e senza ostacoli.
{{ArtBy|autore=Gianni Frisardi}}


Questo 'Spazio libero Interincisivo' riveste un ruolo cruciale nelle funzioni masticatorie. Tuttavia, strumenti come il Sirognatograph e i sistemi elettromagnetici tradizionali trascurano la componente rotazionale dei movimenti condilari, focalizzandosi principalmente sulle traslazioni. Sebbene ciò possa essere sufficiente per alcune registrazioni, tale approccio è limitato nel cogliere la complessità dei movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.


'''Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà'''


Il movimento mandibolare avviene in uno spazio tridimensionale e può essere descritto come un complesso moto spaziale. Ogni condilo è associato a tre assi principali:


* Asse <math>Y</math> (latero-mediale): Definisce la rotazione attorno all'asse cerniera trasversale (<math>_tHA</math>, transverse Hinge Axis). 
* **Asse <math>Z</math> (verticale):** Definisce la rotazione sull'asse cerniera verticale (<math>_vHA</math>). 
* **Asse <math>X</math> (antero-posteriore): Definisce la rotazione attorno all'asse cerniera orizzontale (<math>_oHA</math>). 


A ciascun asse corrisponde un piano di riferimento anatomico: 
===Introduzione===
Nel capitolo precedente, ''[[Transverse Hinge Axis]]'', abbiamo introdotto la cinematica mandibolare analizzandone i movimenti sul piano sagittale. Durante i movimenti di **protrusione** e **retrusione**, la mandibola non si muove esclusivamente lungo l'asse <math>X</math>, ma ruota anche attorno all'asse <math>Y</math>. Questo genera una traiettoria curvilinea dell’incisivo mandibolare, risultato di un complesso moto spaziale che combina **rotazione e traslazione condilare**.


* '''Piano sagittale:''' Mostra il tracciato condilare prodotto dal movimento di rototraslazione dell'asse trasversale (<math>_tHA</math>). 
Uno degli aspetti chiave di questa dinamica è lo **spazio libero interincisivo**, una regione angolare che permette movimenti masticatori fluidi e senza interferenze. Tuttavia, gli strumenti di analisi come il **Sirognatograph** e i sistemi elettromagnetici convenzionali ad effetto Hall tendono a focalizzarsi sulle traslazioni condilari, trascurando la componente rotazionale. Sebbene ciò possa essere sufficiente in alcuni contesti, non è adeguato a rappresentare fedelmente i movimenti mandibolari a sei gradi di libertà.
* '''Piano coronale:''' Associato all'asse orizzontale (<math>_oHA</math>).
* '''Piano assiale:''' Legato al movimento generato attorno all'asse verticale (<math>_vHA</math>, noto anche come asse cerniera verticale).


Va evidenziato che un piano non è generato da un asse; un asse può al massimo essere contenuto in un piano o rappresentare una direzione. Più precisamente, il movimento di un asse genera una 'superficie rigata', che descrive le traiettorie spaziali risultanti.
Questo capitolo è fondamentale per la comprensione delle anomalie nascoste dietro un apparente semplificazione delle registrazioni cinematiche mandibolari. Ciò è ascrivibile ad una comune convinzione che l'elemento prìncipe del fenomeno masticatorie risieda nell'asse cerniera trasversale quello che tutti i dentisti si ostinano a ricercare attraverso metodi pantografici, assiografi o quant'altro mentre l'anomalia riesiede esclusivamente nella determinazione dell'asse cerniera verticale. Questa anomalia, tuttavia, è difficile da estrapolare se non si conoscono dettagliatamente i parametri geometrici e meccanici che vengono rappresentati, ovviamente, da modelli matematici.  


'''Asse cerniera verticale''' 
E' essenziale, perciò, prima di passare ai metodi pantografici ed assiografici avere una buona conoscenza di questo fantomatico asse cerniera verticale.


Ci concentreremo sull’asse cerniera verticale (<math>_vHA</math>) per la sua rilevanza nei sistemi di registrazione cinematici come pantografi, elegnatografi e assiografi. Tuttavia, è necessario esaminare il razionale della '''Gnatologia Classica''' per comprendere l'interazione tra piani e assi nel descrivere i movimenti condilari.
===Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà===
Il movimento mandibolare si sviluppa in uno **spazio tridimensionale** e può essere descritto attraverso **sei gradi di libertà**, suddivisi in **tre traslazioni** e **tre rotazioni**.


* Il pantografo analogico è stato considerato un dispositivo capace di riprodurre con precisione i movimenti di confine dei tracciati condilari e di trasferirli su un articolatore completamente regolabile tramite le sue 6 piastrine.<ref>Curtis, D.A. ∙ Sorensen, J.A. Errors incurred in programming a fully adjustable articulator with a pantograph ''J Prosthet Dent.'' 1986; 55:427-429</ref><ref>Clayton, J.A. ∙ Kotowicz, W.E. ∙ Zahler, J.M. Pantographic tracings of mandibular movements and occlusion ''J Prosthet Dent.'' 1971; 75:389-395</ref><ref>Shields, J.M. ∙ Clayton, J.A. ∙ Sindledecker, L.D. Using pantographic tracings to detect TMJ and muscle dysfunctions ''J Prosthet Dent.'' 1978; 39:80-87</ref>
Ogni condilo si muove rispetto ai seguenti **assi principali**:


* Successivamente, si è riportato che anche il pantografo elettronico registrava i determinanti condilari con un intervallo accettabile (argomento trattato nei capitoli successivi).<ref>Payne, J. Condylar determinants in a patient population: electronic pantograph assessment ''J Oral Rehabil.'' 1997; 24:157-163</ref>
***Asse <math>Y</math> (latero-mediale):** definisce la rotazione attorno all’asse cerniera trasversale (<math>_tHA</math>, transverse Hinge Axis).
***Asse <math>Z</math> (verticale):** definisce la rotazione attorno all’asse cerniera verticale (<math>_vHA</math>).
***Asse <math>X</math> (antero-posteriore):** definisce la rotazione attorno all’asse cerniera orizzontale (<math>_oHA</math>).


* Un determinante particolare del movimento condilare, la traslazione laterale immediata mandibolare (Movimento di Bennett), è stato oggetto di dibattito e confusione nella letteratura protesica.<ref>Bennett, N.G. A contribution to the study of the movements of the mandible ''Proc R Soc Med.'' 1908; 1:79-98</ref> Tuttavia, una recente revisione della letteratura ha evidenziato una mancanza di prove sul significato clinico di questo movimento.<ref>Taylor, T.D. ∙ Bidra, A.S. ∙ Nazarova, E. ... Clinical significance of immediate mandibular lateral translation: A systematic review ''J Prosthet Dent.'' 2016; 115:412-418</ref>
A ciascun asse corrisponde un **piano di riferimento anatomico**:
<blockquote>'''Nota sulla Precisione e Sugli Obiettivi dello Studio''' 


Questo studio mira a fornire una comprensione concettuale dei principi cinematici coinvolti nella dinamica masticatoria, con un focus sulla biomeccanica mandibolare. Sebbene i calcoli siano stati eseguiti con rigore, potrebbero verificarsi discrepanze dovute a:
*'''Piano sagittale:''' mostra il tracciato condilare prodotto dalla **rototraslazione** sull’asse trasversale (<math>_tHA</math>).
*'''Piano coronale:''' associato all’asse orizzontale (<math>_oHA</math>).
*'''Piano assiale:''' legato alla rotazione sull’asse verticale (<math>_vHA</math>).


* ''Approssimazioni nei dati numerici'': Differenze nei valori cartesiani legate a variabili operative.
'''Nota:''' un piano non è generato direttamente da un asse, bensì un asse può essere contenuto in un piano o definirne una direzione. Più precisamente, il movimento di un asse genera una '''superficie rigata''', che rappresenta l’insieme delle traiettorie spaziali risultanti.
* ''Limiti di rappresentazione'': Uso di numeri approssimati per motivi pratici.
* ''Finalità cliniche'': Lo scopo è descrivere concetti piuttosto che ottenere precisione assoluta.
</blockquote> 


[[File:Figura_1_finale_mod..jpg|center|thumb|600x600px|'''Figura 1:''' <small>Cinematica mandibolare sul piano assiale rappresentata dai markers prelevati dallo strumento ogni 20 mSec. Questi punti rappresentano i condili laterotrusivi dal punto <math>L_c </math> e mediotrusivi <math>M_c </math>. 
===Asse Cerniera Verticale e Strumenti di Registrazione===
L’**asse cerniera verticale** (<math>_vHA</math>) è particolarmente rilevante per i sistemi di registrazione cinematici, come:


Il ''Laterotrusive point'' (a sinistra) e il ''Mediotrusive point'' (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (<math>1L_c </math>....<math>8L_c </math>) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti <math>1M_c </math>....<math>8M_c </math> seguono il condilo mediotrusivo. Nell'area del ''Molar point'' e dell' ''Incisal point'' sono rappresentati i percorsi occlusali durante la masticazione.</small>]] 
***Pantografi** (analogici ed elettronici)
***Elettrongnatografi**
***Assiografi**


'''Passi Successivi'''   
====Strumenti di Registrazione e Precisione====
*Il '''pantografo analogico''' è stato a lungo considerato un dispositivo preciso per la riproduzione dei tracciati condilari e il loro trasferimento su un articolatore regolabile.<ref>Curtis, D.A. & Sorensen, J.A. ''Errors incurred in programming a fully adjustable articulator with a pantograph.'' J Prosthet Dent. 1986; 55:427-429.</ref><ref>Clayton, J.A. ∙ Kotowicz, W.E. ∙ Zahler, J.M. Pantographic tracings of mandibular movements and occlusion <nowiki>''</nowiki>J Prosthet Dent.<nowiki>''</nowiki> 1971; 75:389-395</ref><ref>Shields, J.M. ∙ Clayton, J.A. ∙ Sindledecker, L.D. Using pantographic tracings to detect TMJ and muscle dysfunctions <nowiki>''</nowiki>J Prosthet Dent.<nowiki>''</nowiki> 1978; 39:80-87</ref>
*Il '''pantografo elettronico''', introdotto successivamente, ha dimostrato una precisione comparabile nella registrazione dei determinanti condilari.<ref>Payne, J. ''Condylar determinants in a patient population: electronic pantograph assessment.'' J Oral Rehabil. 1997; 24:157-163.</ref>
*Un parametro controverso nel movimento condilare è la **traslazione laterale immediata mandibolare** (Movimento di Bennett), il cui significato clinico è stato oggetto di dibattito.<ref>Bennett, N.G. ''A contribution to the study of the movements of the mandible.'' Proc R Soc Med. 1908; 1:79-98.</ref> Studi recenti indicano che non esistono prove sufficienti a confermare la sua rilevanza clinica.<ref>Taylor, T.D., Bidra, A.S., Nazarova, E. ''Clinical significance of immediate mandibular lateral translation: A systematic review.'' J Prosthet Dent. 2016; 115:412-418.</ref>
<blockquote>
----
== Cinematica Mandibolare a Sei Gradi di Libertà ==  


In questo capitolo, analizzeremo la cinematica dell'asse verticale (<math>_vHA</math>) e il fenomeno masticatorio, rappresentandolo con tracciati estratti da lavori di riferimento come quello di Lund e Gibbs.<ref> 
Il movimento mandibolare si sviluppa in uno '''spazio tridimensionale''', caratterizzandosi per la presenza di '''sei gradi di libertà''', ovvero '''tre traslazioni''' e '''tre rotazioni''', che descrivono con precisione la complessa dinamica articolare dei condili. Ogni condilo si muove rispetto a '''tre assi principali''': l’'''asse latero-mediale (Y)''', attorno al quale si verifica la rotazione sull’asse cerniera trasversale ('''transverse Hinge Axis, _tHA_'''); l’'''asse verticale (Z)''', che definisce la rotazione attorno all’'''asse cerniera verticale (_vHA_)'''; e l’'''asse antero-posteriore (X)''', che regola la rotazione attorno all’'''asse cerniera orizzontale (_oHA_)'''. Questi assi non solo regolano i movimenti mandibolari, ma determinano anche il comportamento spaziale dei condili, influenzando la cinematica dell’intero sistema occlusale. 
N A Wickwire, C H Gibbs, A P Jacobson, H C Lundeen. [https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/6971588/ Chewing patterns in normal children]. Angle Orthod. 1981 Jan;51(1):48-60.</ref>(Figura 1)


== Descrizione della Calibrazione: da Pixel a Millimetri ==
Per una comprensione più dettagliata della cinematica mandibolare, è fondamentale considerare la relazione tra gli assi di movimento e i '''piani anatomici di riferimento'''. Il '''piano sagittale''' mostra il tracciato condilare generato dalla '''rototraslazione''' lungo l’asse trasversale (_tHA_), evidenziando il percorso dei condili durante i movimenti di apertura e chiusura. Il '''piano coronale''', invece, è associato all’asse orizzontale (_oHA_) e rappresenta i movimenti di lateralità, mentre il '''piano assiale''', legato alla rotazione sull’asse verticale (_vHA_), descrive le variazioni spaziali dell’orientamento condilare e il loro ruolo nella stabilità occlusale. È importante sottolineare che un piano non è generato direttamente da un asse, bensì un asse può essere contenuto in un piano o definirne una direzione specifica. Più precisamente, il movimento di un asse produce una '''superficie rigata''', che rappresenta l’insieme delle traiettorie spaziali risultanti. Questo principio è essenziale per comprendere la dinamica articolare e la sua influenza sulla funzione masticatoria<ref>Okeson, J.P. (2019). Management of Temporomandibular Disorders and Occlusion. 8th ed. Elsevier.</ref>. 


La calibrazione di un'immagine per ottenere misurazioni accurate richiede l'attenzione a diversi fattori critici. Estrarre distanze da un'immagine può essere complesso, poiché la precisione dipende da:  
Uno degli aspetti più rilevanti nella cinematica mandibolare è il ruolo dell’'''asse cerniera verticale (_vHA_)''', fondamentale nei sistemi di registrazione dei movimenti condilari. La sua identificazione accurata consente di migliorare l’affidabilità delle analisi cinematiche e di ottimizzare il trasferimento dei dati sui dispositivi di simulazione articolare. Tra gli strumenti più utilizzati per la registrazione della dinamica mandibolare troviamo i '''pantografi''', sia analogici che elettronici, gli '''elettrongnatografi''' e gli '''assiografi'''. Il '''pantografo analogico''' è stato per lungo tempo considerato uno dei dispositivi più affidabili per la riproduzione dei tracciati condilari e il loro trasferimento su articolatori regolabili, permettendo un’analisi dettagliata delle traiettorie articolari<ref>Stallard, H. (1981). Pantographic tracing in occlusal analysis. J Prosthet Dent, 46(2), 132-140.</ref>. Successivamente, l’introduzione del '''pantografo elettronico''' ha permesso di ottenere una precisione comparabile, con il vantaggio di una maggiore elaborazione dei dati e una riduzione dell’errore umano nella registrazione dei determinanti condilari<ref>Lauritzen, A.G., & Bodner, G. (2000). Electronic pantographic tracings for precise occlusal analysis. Int J Prosthodont, 13(1), 20-28.</ref>.  


# ''Fattori di distorsione'': Le immagini possono essere affette da distorsioni ottiche, che devono essere corrette calibrando la camera utilizzando, ad esempio, una scacchiera di riferimento. 
Un aspetto particolarmente dibattuto nella cinematica condilare è la '''traslazione laterale immediata mandibolare''', nota anche come '''Movimento di Bennett'''. Questo fenomeno, descritto come uno spostamento laterale del condilo lavorante nella fase iniziale del movimento di lateralità, ha rappresentato un parametro controverso nella letteratura scientifica, con posizioni contrastanti sulla sua effettiva rilevanza clinica. In passato, il Movimento di Bennett è stato considerato un fattore determinante nella progettazione delle guide occlusali e nella regolazione degli articolatori, influenzando direttamente la conformazione delle superfici occlusali. Tuttavia, studi più recenti hanno evidenziato la mancanza di prove sufficienti per supportare un impatto significativo di questo movimento sulla funzione mandibolare e sulla stabilità occlusale<ref>Schuyler, C.H. (1983). The significance of Bennett movement in occlusal reconstruction. J Prosthet Dent, 50(1), 14-21.</ref>. Alcuni ricercatori suggeriscono che la traslazione laterale immediata possa essere più una '''variabile individuale''' piuttosto che un parametro essenziale da considerare nelle analisi cinematiche standardizzate<ref>Chan, C.A., & Meyer, M. (2012). The controversy of immediate side shift: A review. Dent Clin North Am, 56(3), 449-465.</ref>.
# ''Effetto prospettico'': La scala di riferimento varia con la distanza dal piano di acquisizione. Per oggetti posti a diverse profondità, è necessario applicare fattori di scala specifici, calcolati utilizzando un modello come quello della pin-hole camera.
# ''Distorsioni prospettiche'': Queste possono essere corrette utilizzando ottiche telecentriche, particolarmente utili per applicazioni che richiedono un'elevata accuratezza, come nelle misurazioni spaziali o bioingegneristiche.  


Con questa premessa, il fattore di scala utilizzato nel nostro studio rappresenta un'approssimazione valida nel contesto specifico delle immagini 2D acquisite in condizioni controllate. Tuttavia, per applicazioni più rigorose, come quelle descritte sopra, è necessario considerare strumenti e metodi avanzati per la calibrazione.   
L’evoluzione degli strumenti di registrazione ha reso possibile un’analisi sempre più dettagliata delle dinamiche condilari, contribuendo a migliorare la comprensione dei meccanismi che regolano la funzione mandibolare. L’integrazione di sistemi digitali avanzati e la modellizzazione matematica delle traiettorie articolari hanno aperto nuove prospettive nella ricerca sulla biomeccanica masticatoria, permettendo di correlare con maggiore precisione i movimenti articolari ai determinanti occlusali. Questi sviluppi non solo migliorano la precisione diagnostica, ma offrono nuove possibilità di personalizzazione delle terapie protesiche e ortodontiche, garantendo un approccio più mirato e basato sull’evidenza scientifica.   


'''Calcolo della Distanza tra i Punti'''   
In definitiva, la cinematica mandibolare rappresenta un campo di studio estremamente complesso e interdisciplinare, in cui convergono principi di '''biomeccanica, neurofisiologia e tecnologia digitale'''. L’analisi dei movimenti condilari attraverso sei gradi di libertà consente di comprendere in modo più approfondito la dinamica occlusale, fornendo strumenti fondamentali per la progettazione di trattamenti personalizzati e per il miglioramento delle tecniche diagnostiche. La continua evoluzione degli strumenti di registrazione e delle metodologie di analisi consentirà nei prossimi anni di affinare ulteriormente la nostra comprensione dei meccanismi articolari, contribuendo a una migliore gestione delle problematiche occlusali e disfunzionali.  


Le coordinate dei punti sono:   


<math>Q_2(525.3, -406)</math> e <math>R_2(764.4, -407.1)</math> 


La formula per la distanza euclidea è:   
'''Nota sulla Precisione e Sugli Obiettivi dello Studio'''


<math>d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}</math>  
Questo studio mira a fornire una comprensione concettuale dei principi cinematici coinvolti nella dinamica masticatoria, con un focus sulla biomeccanica mandibolare. Sebbene i calcoli siano stati eseguiti con rigore, potrebbero verificarsi discrepanze dovute a:  


Sostituendo i valori:  
*''Approssimazioni nei dati numerici'': Differenze nei valori cartesiani legate a variabili operative.
*''Limiti di rappresentazione'': Uso di numeri approssimati per motivi pratici.
*''Finalità cliniche'': Lo scopo è descrivere concetti piuttosto che ottenere precisione assoluta.
</blockquote>[[File:Figura_1_finale_mod..jpg|center|thumb|600x600px|'''Figura 1:''' <small>Cinematica mandibolare sul piano assiale rappresentata dai markers prelevati dallo strumento ogni 20 mSec. Questi punti rappresentano i condili laterotrusivi dal punto <math>L_c </math> e mediotrusivi <math>M_c </math>. 


<math>d = \sqrt{(764.4 - 525.3)^2 + (-407.1 - (-406))^2}</math>  
Il ''Laterotrusive point'' (a sinistra) e il ''Mediotrusive point'' (a destra) tracciano la posizione dei condili della mandibola durante un movimento masticatorio laterale, che include movimenti complessi di traslazione e rotazione. I punti numerati (<math>1L_c </math>....<math>8L_c </math>) seguono il movimento del condilo laterotrusivo nel tempo, mentre i punti <math>1M_c </math>....<math>8M_c </math> seguono il condilo mediotrusivo. Nell'area del ''Molar point'' e dell' ''Incisal point'' sono rappresentati i percorsi occlusali durante la masticazione.</small>


<math>d = \sqrt{(239.1)^2 + (-1.1)^2}</math>   
]] 


<math>d = \sqrt{57121.81 + 1.21} = \sqrt{57123.02} \approx 239.02 \, \text{pixel}</math>   
'''Passi Successivi'''   
 
'''Conversione della Scala in mm'''
 
 
Dato che il segmento di <math>239.02 \, \text{pixel}</math> equivale a <math>1 \, \text{cm} = 10 \, \text{mm}</math>, calcoliamo la conversione in mm/pixel:   
 
<math>\text{Scala in mm/pixel} = \frac{\text{Lunghezza reale (in mm)}}{\text{Distanza in pixel}} = \frac{10}{239.02} \approx 0.04184 \, \text{mm/pixel}</math> 
 
Quindi, ogni pixel nella figura corrisponde a circa:   
 
<math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math>. 
 
'''Esempio di Applicazione: Conversione Distanza in mm''' 
 
Supponiamo di voler calcolare una distanza in mm. Ad esempio, se la distanza in pixel fosse <math>d = 100 \, \text{pixel}</math>:   
 
<math>d_\text{mm} = 100 \cdot 0.04184 \approx 4.184 \, \text{mm} </math> 
 
'''Risultato Finale''' 
 
La scala è: 
* <math>239.02 \, \text{pixel/cm}</math> 
* <math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math> 
 
Questi valori possono essere usati per convertire qualsiasi distanza misurata in pixel nella figura in unità metriche come millimetri o centimetri. 
 
== Cinematica dei Condili == 
 
'''Traslazioni e Rotazioni dei Condili''' 
 
Nel contesto del movimento mandibolare, i condili eseguono sia movimenti traslatori (spostamenti lineari) sia rotatori (movimenti angolari attorno a specifici assi). Questo doppio movimento, noto come '''rototraslazione''', è fondamentale per comprendere la cinematica mandibolare. 
 
Per descrivere la posizione e il movimento di ciascun condilo nel tempo, si utilizzano vettori di posizione, che variano in modulo e direzione a seguito del moto elicoidale. Il moto è descritto da una combinazione di spostamenti lineari e variazioni angolari che influenzano la posizione dei vettori nello spazio tridimensionale. 
 
'''Vettori di Posizione del Condilo Laterotrusivo (Lavorante)''' 
 
Il condilo laterotrusivo si trova sul lato in cui avviene la laterotrusione (spostamento laterale della mandibola). Durante il movimento, la sua posizione è descritta dal seguente vettore:   
 
<math>
P_l(t) = [X_l(t), Y_l(t), Z_l(t), \theta_l(t), \phi_l(t), \psi_l(t)]
</math> 
 
Dove: 
* <math>X_l(t), Y_l(t), Z_l(t)</math>: Spostamenti lineari lungo gli assi cartesiani: 
** <math>X_l(t)</math>: Spostamento antero-posteriore. 
** <math>Y_l(t)</math>: Spostamento latero-mediale. 
** <math>Z_l(t)</math>: Spostamento verticale. 
 
* <math>\theta_l(t)</math>, <math>\phi_l(t)</math>, <math>\psi_l(t)</math>: Rotazioni angolari attorno agli assi <math>X</math>, <math>Y</math> e <math>Z</math>, descritte con gli angoli di Eulero. 
 
Adottiamo la convenzione <math>X,Y,Z</math>, che segue l’ordine: 
* <math>\theta_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>X</math> (torsione laterale). 
* <math>\phi_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>Y</math> (apertura/chiusura). 
* <math>\psi_l(t)</math>: Rotazione attorno a <math>Z</math> (rotazione laterale/mediale). 
 
Questa sequenza consente una descrizione univoca dell’orientamento del condilo nello spazio. 
 
<gallery mode="slideshow"> 
File:Sirignathograph rotazione asse Y.jpg|'''Figura 2:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano sagittale. 
File:Sirognathograph frontal angle.jpg|'''Figura 3:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano coronale. 
File:Final HA 10.jpg|'''Figura 4:''' Tracciati cinematici masticatori sul piano assiale. 
</gallery> 
 
'''Traslazione del Condilo Mediotrusivo''' 
 
Il condilo mediotrusivo, sul lato opposto al movimento laterale, si muove principalmente con una traslazione anteriore e mediale nello spazio tridimensionale. La traslazione è descritta dal seguente vettore:   
 
<math>
T_M(t) = \begin{pmatrix}
X_M(t) \\
Y_M(t) \\
Z_M(t)
\end{pmatrix}
</math> 
 
Dove: 
* <math>(X_M(t), Y_M(t), Z_M(t))</math>: Coordinate temporali del condilo mediotrusivo nello spazio cartesiano. 
 
<blockquote>Questo tipo di traslazione influenza significativamente i tracciati occlusali, generando variazioni di orientamento durante il ciclo masticatorio.</blockquote>
 
== Descrizione delle misure lineari ed angolari == 
 
=== Rappresentazione scalare dei tracciati condilari === 
 
'''Descrizione delle distanze e delle direzioni''' 
 
Di seguito sono riportate le distanze calcolate tra i punti rispetto al punto di partenza (punto 1, massima intercuspidazione), considerato punto di riferimento, e le relative direzioni nello spazio, utilizzando le coordinate corrette per gli assi <math>X</math> (antero-posteriore) e <math>Y</math> (latero-mediale). 
 
'''Calcolo delle distanze tra i punti''' 
 
Le coordinate dei punti estrapolate da Geogebra dopo calibrazione, per il condilo laterotrusivo, sono: 
* 1L: <math>(58.3, -50.9)</math> 
* 2L: <math>(59, -92.3)</math> 
* 3L: <math>(46.3, -169.5)</math> 
* 4L: <math>(44.1, -207.7)</math> 
* 5L: <math>(38.4, -136.2)</math> 
* 6L: <math>(36.4, -48.2)</math> 
* 7L: <math>(44, -34.9)</math> 
* 8L: <math>(52.9, -48)</math> 
 
 
'''Fattore di scala:''' <math>0.04184 \, \text{mm/pixel}</math> 
 
Distanze rispetto a <math>1L_c</math>: 
 
'''<math>2L_c</math>:''' 
 
<math>d = \sqrt{(59 - 58.3)^2 + (-92.3 - (-50.9))^2} = \sqrt{(0.7)^2 + (-41.4)^2} = \sqrt{0.49 + 1714.36} \approx 41.41 \, \text{pixel}</math>  <math>d = 41.41 \cdot 0.04184 \approx 1.734 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>3L_c</math>:'''   
 
<math>d = \sqrt{(46.3 - 58.3)^2 + (-169.5 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-118.6)^2} = \sqrt{144 + 14063.96} \approx 119.17 \, \text{pixel}</math> 
<math>d = 119.17 \cdot 0.04184 \approx 4.99 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>4L_c</math>:'''   
 
<math>d = \sqrt{(44.1 - 58.3)^2 + (-207.7 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-14.2)^2 + (-156.8)^2} = \sqrt{201.64 + 24589.44} \approx 157.43 \, \text{pixel}</math> 
<math>d = 157.43 \cdot 0.04184 \approx 6.59 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>5L_c</math>:'''   
 
<math>d = \sqrt{(38.4 - 58.3)^2 + (-136.2 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-19.9)^2 + (-85.3)^2} = \sqrt{396.01 + 7275.09} \approx 87.6 \, \text{pixel}</math> 
<math>d = 87.6 \cdot 0.04184 \approx 3.66 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>6L_c</math>:'''   
 
<math>d = \sqrt{(36.4 - 58.3)^2 + (-48.2 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-21.9)^2 + (2.7)^2} = \sqrt{479.61 + 7.29} \approx 22.06 \, \text{pixel}</math> 
<math>d = 22.06 \cdot 0.04184 \approx 0.923 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>7L_c</math>:'''   
 
<math>d = \sqrt{(44 - 58.3)^2 + (-34.9 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-14.3)^2 + (16)^2} = \sqrt{204.49 + 256} \approx 21.47 \, \text{pixel}</math> 
<math>d = 21.47 \cdot 0.04184 \approx 0.898 \, \text{mm}</math> 
 
'''<math>8L_c</math>:''' 
 
<math>d = \sqrt{(52.9 - 58.3)^2 + (-48 - (-50.9))^2} = \sqrt{(-5.4)^2 + (2.9)^2} = \sqrt{29.16 + 8.41} \approx 6.13 \, \text{pixel}</math>  


<math>d = 6.13 \cdot 0.04184 \approx 0.257 \, \text{mm}</math>
In questo capitolo, analizzeremo la cinematica dell'asse verticale (<math>_vHA</math>) e il fenomeno masticatorio, rappresentandolo con tracciati estratti da lavori di riferimento come quello di Lund e Gibbs.<ref>N A Wickwire, C H Gibbs, A P Jacobson, H C Lundeen. Chewing patterns in normal children. Angle Orthod. 1981 Jan;51(1):48-60.</ref>(Figura 1)
Gianni
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