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(Created page with "==Discussioni e conclusioni== Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. ===1. Coordinate dei Condili e del Punto Molarare=== Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento...") |
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Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | Per rappresentare matematicamente l'interazione tra i condili e il tracciato del punto molare laterotrusivo, incisale, molare mediotrusivo e condilo mediotrusivo, sviluppiamo un formalismo che modelli i movimenti complessi dei condili e l'effetto risultante sul punto molare laterotrusivo. | ||
=== | ==='''Coordinate dei Condili e del Punto Molarare''' === | ||
Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | Consideriamo le coordinate dei condili e del punto molare laterotrusivo nel sistema di riferimento cartesiano tridimensionale (asse X per l'orientamento antero-posteriore, asse Y per la laterolateralità e asse Z per l'altezza). | ||
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*<math>\mathbf{M}_L(t)= (5, 5, -5)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>. | *<math>\mathbf{M}_L(t)= (5, 5, -5)</math>: coordinate del punto molare laterotrusivo al tempo <math>t = 0</math>. | ||
'''Rotazione e Traslazione dei Condili''' | |||
'''Condilo Laterotrusivo (Lavorante)''' | |||
Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di: | Il movimento del condilo laterotrusivo è descritto da una combinazione di: | ||
*<nowiki>**Rotazione laterale** con angolo </nowiki><math>\theta_L</math> rispetto all’asse verticale <math>Z</math>. | *<nowiki>**Rotazione laterale** con angolo </nowiki><math>\theta_L</math> rispetto all’asse verticale <math>Z</math>. | ||
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dove <math>R(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione intorno all’asse <math>Z</math> (ora considerato correttamente come verticale), e <math>\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)</math> rappresenta la traslazione retrusiva. | dove <math>R(\theta_L)</math> è la matrice di rotazione intorno all’asse <math>Z</math> (ora considerato correttamente come verticale), e <math>\mathbf{d}_L = (-d_L, 0, 0)</math> rappresenta la traslazione retrusiva. | ||
'''Condilo Mediotrusivo (Non Lavorante)''' | |||
Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>: | Il condilo mediotrusivo segue un movimento orbitante che combina una rotazione con angolo <math>\theta_M</math>: | ||
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con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione intorno all’asse <math>Z</math>. | con <math>R(\theta_M)</math> come matrice di rotazione intorno all’asse <math>Z</math>. | ||
=== | ===Tracciato del Punto Molarare Laterotrusivo=== | ||
Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è: | Il tracciato del punto molare laterotrusivo è influenzato sia dalla rotazione retrusiva del condilo laterotrusivo sia dal tragitto orbitante del condilo mediotrusivo. La posizione risultante del punto molare laterotrusivo è: | ||
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*<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili. | *<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono coefficienti di influenza dei movimenti dei condili. | ||
'''Formalizzazione della Componente Lateroretrusiva''' | |||
Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | Per descrivere la componente lateroretrusiva, consideriamo l’effetto orbitante del condilo mediotrusivo come una forza vettoriale aggiuntiva nel movimento del punto molare laterotrusivo: | ||
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dove <math>\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)</math> rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili. | dove <math>\mathbf{M}_{L,\text{ret}}(t)</math> rappresenta la componente lateroretrusiva aggiornata, considerando la posizione inferiore del punto molare rispetto ai condili. | ||
Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata: | Questa versione riveduta riflette la disposizione modificata: | ||
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2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse <math>Z</math>, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione. | 2. Il punto molare laterotrusivo si trova in una posizione più bassa sull'asse <math>Z</math>, rappresentando una configurazione spaziale in sintonia con la nuova disposizione. | ||
Estendiamo ora il formalismo matematico per includere il comportamento del punto incisale e del punto molare mediotrusivo, completando così la descrizione della dinamica tra i condili e i punti di contatto chiave della mandibola. | |||
===Tracciato del Punto Incisale=== | |||
Il punto incisale segue una traiettoria influenzata dalla combinazione dei movimenti di entrambi i condili, ma il suo spostamento è principalmente una funzione del **movimento globale della mandibola**. Questo tracciato può essere modellato considerando la somma delle componenti laterali e retrusive trasmesse dai condili, con pesi che riflettono la loro influenza sul movimento anteriore della mandibola. | |||
Definiamo il punto incisale come: | |||
<math> | |||
\mathbf{I}(t) = (x_{I}(t), y_{I}(t), z_{I}(t)) | |||
</math> | |||
La posizione <math>\mathbf{I}(t)</math> è data da: | |||
<math> | |||
\mathbf{I}(t) = \mathbf{I}(0) + \gamma \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \delta \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t) | |||
</math> | |||
dove: | |||
*<math>\gamma</math> e <math>\delta</math> sono coefficienti che riflettono l'influenza proporzionale dei condili sul tracciato incisale, | |||
*<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> rappresentano le rotazioni dei condili laterotrusivo e mediotrusivo, rispettivamente, intorno all'asse verticale <math>Z</math>. | |||
===Tracciato del Punto Molarare Mediotrusivo=== | |||
Analogamente al punto molare laterotrusivo, il punto molare mediotrusivo (<math>\mathbf{M}_M</math>) è influenzato dai movimenti combinati dei due condili, ma con una maggiore influenza del condilo mediotrusivo. Definiamo: | |||
<math> | |||
\mathbf{M}_M(t) = (x_{m_M}(t), y_{m_M}(t), z_{m_M}(t)) | |||
</math> | |||
Il tracciato di <math>\mathbf{M}_M(t)</math> può essere modellato come: | |||
<math> | |||
\mathbf{M}_M(t) = \mathbf{M}_M(0) + \beta' \cdot R(\theta_L) \cdot \mathbf{C}_L(t) + \alpha' \cdot R(\theta_M) \cdot \mathbf{C}_M(t) | |||
</math> | |||
dove: | |||
*<math>\beta'</math> e <math>\alpha'</math> sono coefficienti che indicano il contributo proporzionale dei movimenti dei condili sul punto molare mediotrusivo, | |||
*<math>R(\theta_L)</math> e <math>R(\theta_M)</math> descrivono le matrici di rotazione dei condili laterotrusivo e mediotrusivo intorno all'asse <math>Z</math>. | |||
===Formalizzazione dei Tracciati e Delle Componenti Lateroretrusive=== | |||
Per completare la rappresentazione della componente lateroretrusiva sui punti incisale e molari, è essenziale considerare la risultante delle **forze vettoriali** generate dai movimenti dei condili. | |||
Componente Lateroretrusiva del Punto Incisale | |||
<math> | |||
\mathbf{I}_{\text{ret}}(t) = \delta \cdot \mathbf{C}_M(t) + (-d_I, 0, -5) | |||
</math> | |||
dove <math>\mathbf{I}_{\text{ret}}(t)</math> rappresenta la traiettoria lateroretrusiva del punto incisale, considerando la componente di retrazione e la posizione inferiore dell'incisale rispetto ai condili sull'asse <math>Z</math>. | |||
==Cnclusioni== | |||
===Anomalia dell'Asse Cerniera Verticale Z=== | |||
Nel campo odontoiatrico, l'asse verticale <math>Z</math> è generalmente considerato un punto di riferimento assoluto poiché determina la 'distanza intercondilare' tra i condili. Tale asse verticale è concepito come un asse cerniera stabile e statico, intorno al quale dovrebbe idealmente avvenire la rotazione laterotrusiva del condilo lavorante. Questa assunzione semplifica la modellizzazione dei movimenti mandibolari, rendendola più prevedibile. | |||
Tuttavia, nel nostro modello emerge una 'anomalia': la retrusione del condilo laterotrusivo non è unicamente influenzata dall’asse verticale <math>Z</math> come asse cerniera indipendente. In realtà, essa dipende anche dalla 'componente orbitante del condilo mediotrusivo', il che implica che i movimenti di entrambi i condili influiscono sul tracciato del punto molare laterotrusivo, del punto incisale e del molare mediotrusivo. | |||
Questo fenomeno rivela che l’asse verticale <math>Z</math> non è in realtà un asse cerniera assoluto e statico, ma piuttosto parte di una dinamica complessa in cui i condili interagiscono reciprocamente. Se si volesse mantenere l'asse <math>Z</math> come un vero asse cerniera stabile, sarebbe necessario ipotizzare che la rotazione laterotrusiva avvenga intorno a un 'centro di rotazione fisso e immutabile'. | |||
Di conseguenza, il formalismo matematico dovrebbe essere modificato come segue: | |||
1. L'asse <math>Z</math> sarebbe trattato come un 'punto fisso di rotazione' per il condilo laterotrusivo, eliminando le componenti variabili associate alla traslazione retrusiva e all’influenza del condilo mediotrusivo. | |||
2. Le equazioni del movimento dovrebbero essere semplificate, assumendo che <math>R(\theta_L)</math> rappresenti una rotazione pura e invariante rispetto a un centro fisso su <math>Z</math>, senza interazioni orbitali. | |||
Tale formalizzazione permetterebbe una descrizione semplificata e statica dei movimenti mandibolari, ma non terrebbe conto della complessità delle interazioni condilari effettive, come abbiamo osservato nel nostro modello fisiologico. | |||
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