Masticationpedia

Difference between revisions of "Store:QLMde04"

Store:QLMde04 (view source)

Revision as of 21:43, 12 April 2023

616 bytes added ,  1 year ago
no edit summary
(Created page with "==2. Classical versus quantum probability== CP was mathematically formalized by Kolmogorov (1933)<ref name=":2" /> This is the calculus of probability measures, where a non-negative weight <math>p(A)</math> is assigned to any event <math>A</math>. The main property of CP is its additivity: if two events <math>O_1, O_2</math> are disjoint, then the probability of disjunction of these events equals to the sum of probabilities: {| width="80%" | |- | width="33%" | ...")
 
Tags: Mobile web edit Mobile edit Visual edit
 
Line 1: Line 1:
==2. Classical versus quantum probability==
==2. Klassische versus Quantenwahrscheinlichkeit==


CP was mathematically formalized by Kolmogorov (1933)<ref name=":2" /> This is the calculus of probability measures, where a non-negative weight <math>p(A)</math> is assigned to any event <math>A</math>. The main property of CP is its additivity: if two events <math>O_1, O_2</math> are disjoint, then the probability of disjunction of these events equals to the sum of probabilities:
CP wurde von Kolmogorov (1933)<ref name=":2" /> mathematisch formalisiert. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei der ein nicht negatives Gewicht


<math>p(A)</math> ist jedem Ereignis zugeordnet <math>A</math> . Die Haupteigenschaft von CP ist seine Additivität: wenn zwei Ereignisse  <math>O_1, O_2</math> disjunkt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Disjunktion dieser Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten:
{| width="80%" |
{| width="80%" |
|-
|-
Line 10: Line 11:
|}
|}


QP is the calculus of complex amplitudes or in the abstract formalism complex vectors. Thus, instead of operations on probability measures one operates with vectors. We can say that QP is a ''vector model of probabilistic reasoning.'' Each complex amplitude <math>\psi</math> gives the probability by the Born’s rule: ''Probability is obtained as the square of the absolute value of the complex amplitude.''
QP ist das Kalkül komplexer Amplituden oder im abstrakten Formalismus komplexer Vektoren. Anstelle von Operationen auf Wahrscheinlichkeitsmaßen wird also mit Vektoren operiert. Wir können sagen, dass QP ein Vektormodell des probabilistischen Denkens ist. Jede komplexe Amplitude <math>\psi</math> gibt die Wahrscheinlichkeit nach der Bornschen Regel an: Die Wahrscheinlichkeit erhält man als Quadrat des Betrags der komplexen Amplitude.


{| width="80%" |
{| width="80%" |
Line 20: Line 21:




(zur Formalisierung des Hilbert-Raums siehe Abschnitt 3.2, Formel (7)). Durch das Arbeiten mit komplexen Wahrscheinlichkeitsamplituden anstelle des direkten Arbeitens mit Wahrscheinlichkeiten kann man die Grundgesetze von CP verletzen.


(for the Hilbert space formalization, see Section 3.2, formula (7)). By operating with complex probability amplitudes, instead of the direct operation with probabilities, one can violate the basic laws of CP.
In CP wird die Formel der Gesamtwahrscheinlichkeit (FTP) unter Verwendung der Additivität der Wahrscheinlichkeit und der Bayes-Formel, der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, abgeleitet, <math>P(O_2|O_1)=\tfrac{P(O_2)\cap(O_1)}{PO_1}
 
In CP, the ''formula of total probability'' (FTP) is derived by using additivity of probability and the Bayes formula, the definition of conditional probability, <math>P(O_2|O_1)=\tfrac{P(O_2)\cap(O_1)}{PO_1}
</math>, <math>P(O_1)>0</math>   
</math>, <math>P(O_1)>0</math>   


Consider the pair,  and , of discrete classical random variables. Then
Betrachten Sie das Paar,  und , diskreter klassischer Zufallsvariablen. Dann


{| width="80%" |
{| width="80%" |
Line 37: Line 37:




Thus, in CP the <math>B</math>-probability distribution can be calculated from the <math>A</math>-probability and the conditional probabilities <math>P(B=\beta|A=\alpha)</math>
Thus, in CP the -probability distribution can be calculated from the -probability and the conditional probabilities
 
So ist in CP die <math>B</math>-Wahrscheinlichkeitsverteilung kann aus der berechnet werden <math>A</math>-Wahrscheinlichkeit und die bedingten Wahrscheinlichkeiten <math>P(B=\beta|A=\alpha)</math>
 
 
In QP, classical FTP is perturbed by the interference term (Khrennikov, 2010); for dichotomous quantum observables  and  of the von Neumann-type, i.e., given by Hermitian operators  and , the quantum version of FTP has the form:


In QP, classical FTP is perturbed by the interference term (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>); for dichotomous quantum observables <math>A</math> and <math>B</math> of the von Neumann-type, i.e., given by Hermitian operators <math>\hat{A}</math> and <math>\hat{B}</math>, the quantum version of FTP has the form:  
Bei QP wird klassisches FTP durch den Interferenzterm gestört (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>); für dichotome Quantenobservablen <math>A</math> Und <math>B</math> vom von-Neumann-Typ, d.h. gegeben durch hermitesche Operatoren <math>\hat{A}</math> Und <math>\hat{B}</math> , hat die Quantenversion von FTP die Form:  


{{:F:Krennikov1}}
{{:F:Krennikov1}}
Line 53: Line 58:




If the interference term7 is positive, then the QP-calculus would generate a probability that is larger than its CP-counterpart given by the classical FTP (2). In particular, this probability amplification is the basis of the quantum computing supremacy.
Wenn der Interferenzterm7 positiv ist, dann würde der QP-Kalkül eine Wahrscheinlichkeit erzeugen, die größer ist als sein CP-Gegenstück, das durch die klassische FTP gegeben ist (2). Insbesondere diese Wahrscheinlichkeitsverstärkung ist die Grundlage der Vormachtstellung des Quantencomputings.


There is a plenty of statistical data from cognitive psychology, decision making, molecular biology, genetics and epigenetics demonstrating that biosystems, from proteins and cells (Asano et al., 2015b<ref name=":11" />) to humans (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>, Busemeyer and Bruza, 2012<ref name=":10" />) use this amplification and operate with non-CP updates. We continue our presentation with such examples.
Es gibt eine Fülle statistischer Daten aus der kognitiven Psychologie, Entscheidungsfindung, Molekularbiologie, Genetik und Epigenetik, die zeigen, dass Biosysteme, von Proteinen und Zellen (Asano et al., 2015b<ref name=":11" />) bis hin zum Menschen (Khrennikov, 2010<ref>Khrennikov A. Ubiquitous Quantum Structure: From Psychology To Finances Springer, Berlin-Heidelberg-New York(2010)</ref>, Busemeyer und Bruza, 2012<ref name=":10" />) nutzen diese Verstärkung und arbeiten mit Nicht-CP-Updates. Wir setzen unsere Präsentation mit solchen Beispielen fort. \
\
Luca
Editor, Editors, USER, editor, translator
5,845

edits

Retrieved from "https://www.masticationpedia.org/index.php/Special:MobileDiff/15318"